Proprietà della sottrazione

Le proprietà della sottrazione sono le proprietà algebriche di cui gode l'operazione di sottrazione tra due numeri. Considerando la sottrazione tra numeri naturali, l'unica proprietà è quella invariantiva; con i numeri relativi si può intendere la sottrazione come somma algebrica, per cui essa gode delle proprietà dell'addizione.

 

In questa lezione, pensata per i ragazzi della Scuola Media, vedremo le proprietà di cui gode la sottrazione tra due o più numeri naturali. A fine dell'articolo dedichiamo qualche riga per i nostri lettori più grandicelli e mostriamo come, estendendo l'insieme considerato all'insieme dei numeri relativi, ci saranno sorprese quasi inaspettate. ;)

 

Nota bene: qui su YM è disponibile anche una guida didattica sulla sottrazione per la scuola primaria.

 

Proprietà della sottrazione tra numeri positivi

 

L'unica proprietà della sottrazione tra numeri naturali, o più in generale tra numeri positivi, è la proprietà invariantiva. Vediamo cosa dice ed impariamo a metterla in pratica.

 

 

Proprietà invariantiva: addizionando o sottraendo sia al minuendo che al sottraendo uno stesso numero, il risultato della sottrazione non cambia.

 

Facciamo un esempio. Se vogliamo calcolare la differenza tra 185 e 96, in virtù della proprietà invariantiva, possiamo addizionare o sottrarre ad entrambi uno stesso numero e poi eseguire la sottrazione.

 

Ok, ma quale numero? Non abbiamo nessuna restrizione, possiamo scegliere di addizionare o sottrarre qualsiasi numero!

 

Dato che la scelta è libera conviene farsi furbi. Se sommiamo o sottraiamo un numero in modo tale che il sottraendo (96) diventi un numero che termina con 0, la sottrazione risulterà molto più semplice e, magari, possiamo evitare di eseguire la sottrazione in colonna.

 

Nel nostro caso, possiamo addizionare sia a 185 che a 96 il numero 4, così da avere

 

185-96 = (185+4)-(96+4)=189-100=89

 

oppure possiamo sottrarre ad entrambi 6 in modo da ricondurci a

 

185-96 = (185-6)-(96-6)=179-90=89

 

In buona sostanza, se adoperata sapientemente la proprietà invariantiva della sottrazione ci può aiutare nello svolgere le tanto odiate sottrazioni. Per altri esempi vi rimandiamo alla lezione sulla proprietà invariantiva.

 

Altre proprietà della sottrazione

 

Sicuramente vi starete chiedendo: possibile che la sottrazione non goda di altre proprietà? La risposta è: dipende dall'insieme numerico in cui stiamo lavorando. Cerchiamo di essere più chiari.

 

A partire dalla Scuola Elementare ed almeno fino al primo anno di Scuola Media lavoriamo solo con i numeri naturali o, al più, con le frazioni o con i numeri decimali intesi sempre e solo come numeri positivi.

 

Sappiamo che possiamo eseguire la sottrazione tra numeri naturali o la sottrazione tra numeri decimali a patto che il minuendo sia maggiore o uguale al sottraendo. Ad esempio, è possibile eseguire la sottrazione tra 35 e 12

 

35-12 = 23

 

ma, sempre ammesso di lavorare con i soli numeri positivi, se scambiamo il sottraendo con il minuendo, il risultato non è più un numero naturale, quindi diremo che

 

12-35

 

è impossibile in \mathbb{N}.

 

È quindi evidente che la sottrazione non gode della proprietà commutativa.

 

Possiamo facilmente vedere anche che la sottrazione non gode neanche della proprietà associativa. Ad esempio, se eseguiamo le seguenti sottrazioni nell'ordine in cui si presentano

 

12-4-3 = \underbrace{8}_{12-4}-3 = 5

 

otteniamo come risultato 5. Se invece calcoliamo la sottrazione tra gli ultimi due termini e poi sottraiamo il risultato al primo

 

12-4-3 = 12-\underbrace{1}_{4-3} = 11

 

otteniamo un risultato differente, nonché errato.

 

 


 

 

Proseguendo gli studi viene poi introdotto l'insieme dei numeri relativi, ovvero dei numeri con segno. Qui il discorso cambia. La sottrazione diventa infatti un'operazione sempre possibile e possiamo pensare alla differenza tra due numeri come alla somma tra il primo e l'opposto del secondo.

 

Ad esempio, possiamo considerare la sottrazione

 

35-12

 

come la somma tra 35 e l'opposto di 12, ovvero

 

35-12=35+(-12)

 

Si parla in questo caso di somma algebrica, la quale gode di tutte le proprietà dell'addizione viste nella lezione precedente.

 

 


 

Per ora è tutto! Nella prossima lezione vedremo le proprietà di cui gode la moltiplicazione fermo restando che, se avete bisogno di esercizi svolti, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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