Numeri pari e numeri dispari

I numeri pari e i numeri dispari sono due particolari tipi di numeri interi: sono pari tutti i numeri che terminano per 0, 2, 4, 6, 8; di contro, i numeri dispari sono tutti e soli i numeri interi che non sono pari.

 

In questo articolo ci occuperemo di due semplicissimi ma fondamentali insiemi numerici: l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri dispari. Il nostro obiettivo è innanzitutto quello di imparare a distinguere i numeri pari dai numeri dispari per poi dare una definizione più rigorosa, ed infine vedere alcune particolari proprietà di cui godono le operazioni tra numeri intesi come pari e dispari.

 

Nota per i lettori: questa lezione è stata pensata per i ragazzi della scuola media. Abbiamo quindi scelto, per favorire gli studenti di prima media, di lavorare dapprima solo con i numeri naturali per poi estendere i concetti di numero pari e numero dispari all'insieme dei numeri interi relativi. A fine lezione abbiamo poi trattato l'argomento in modo puramente algebrico.

 

Numeri pari

 

Sappiamo che l'insieme dei numeri naturali è formato dai seguenti (infiniti) elementi

 

 

\mathbb{N}=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 10, \ 11, \ 12, \ ... \}

 

 

tra di essi, tutti i numeri che terminano per 0, 2, 4, 6 e 8 sono numeri pari.

 

Ad esempio, tra i numeri naturali, i primi dieci numeri pari sono:

 

 

0, \ 2, \ 4, \ 6, \ 8, \ 10, \ 12, \ 14, \ 16, \ 18

 

 

È quindi evidente che, dato un qualsiasi numero naturale, per capire se esso è pari basta guardare la cifra delle unità. Così, ad esempio, il numero 134765432896 è un numero pari; la sua cifra delle unità è infatti 6.

 

Quale caratteristica accomuna i numeri pari?

 

Per chi ha già sentito parlare di criteri di divisibilità, in particolare del criterio di divisibilità per 2, saprà che un numero è divisibile per 2 se la sua cifra delle unità è uguale a 0, 2, 4, 6, 8.

 

Possiamo quindi dire che i numeri pari sono tutti e soli i multipli di 2, ovvero, un numero è pari se e solo se è divisibile per 2.

 

Numeri dispari

 

Una volta capito quali sono e come si individuano i numeri pari è immediato definire anche i numeri dispari. Infatti, molto semplicemente, ogni numero naturale che non è un numero pari è un numero dispari.

 

Ne segue che i numeri dispari sono tutti quei numeri che non sono multipli di 2, ovvero sono tutti e soli i numeri che hanno come cifra delle unità: 1, 3, 5, 7 o 9.

 

Ad esempio

 

1{\color{red}3}, \ 25{\color{red}7}, \ 192{\color{red}5}, \ 96751{\color{red}9}, 132457{\color{red}1}

 

sono tutti numeri dispari.

 

Per chi ha dimestichezza con la teoria degli insiemi, possiamo dividere l'insieme dei numeri naturali (incluso lo zero, per chi avesse dubbi lo zero è un numero pari) in due sottoinsiemi disgiunti: quello formato dai numeri naturali pari e quello formato dai numeri naturali dispari. La loro unione ci dà proprio \mathbb{N}:

 

 

\mathbb{N}=\mbox{P} \cup \mbox{D} 

 

 

dove con \mbox{P e D} abbiamo indicato, rispettivamente, l'insieme dei numeri pari e dispari.

 

Volendo rappresentare il tutto con un diagramma di Eulero-Venn

 

 

Numeri pari e dispari

 

 

Numeri interi pari e dispari

 

Il concetto di numero pari e di numero dispari, come già anticipato all'inizio, si può estendere anche ai numeri relativi interi, per intenderci all'insieme \mathbb{Z}. Sia ben chiaro infatti che si può parlare di numeri pari e dispari solo se si ha a che fare con interi.

 

Le definizioni sono le stesse: un numero è pari se è divisibile per 2, è dispari se non è pari, cioè se non è un multiplo di 2.

 

Ad esempio: -4, -124, +30, -1562, -14568 sono pari mentre -7, +69, -985 sono dispari.

 

Così come \mathbb{N} anche l'insieme degli interi relativi \mathbb{Z} si può dividere in due sottoinsiemi disgiunti, quello degli interi pari

 

 

\mbox{P}=\{..., \ -6, \ -4, \ -2, \ 0, \ 2, \ 4, \ 6, \ ...\}

 

 

e quello degli interi dispari

 

 

\mbox{D}=\{..., \ -7, \ -5, \ -3, \ -1, \ 1, \ 3, \ 5, \ 7, \  ...\}

 

 

la cui unione ci dà tutto \mathbb{Z}.

 

Aritmetica dei numeri pari e dispari

 

Dando per scontato che sappiate eseguire le operazioni tra numeri naturali o, più in generale, le operazioni tra numeri interi relativi, vediamo cosa accade quando si sommano, sottraggono, dividono o moltiplicano numeri pari e dispari.

 

 

Addizione e sottrazione

 

- La somma di due numeri pari è ancora un numero pari.

 

- Addizionando due numeri dispari si ha un numero pari.

 

- Sommando un numero pari con un numero dispari (e viceversa) si ottiene un numero dispari.

 

- Sottraendo invece due numeri pari si continua ad avere un numero pari.

 

- La differenza tra due numeri dispari è un numero pari;

 

- Eseguendo la sottrazione tra un numero pari ed un numero dispari (o viceversa) si ha un numero dispari.

 

Volendo esprimerci con delle formulette abbiamo:

 

 

\\ \mbox{pari} \pm \mbox{pari} = \mbox{pari}\\ \\ \mbox{dispari} \pm \mbox{dispari} = \mbox{pari}\\ \\ \mbox{pari} \pm \mbox{dispari} = \mbox{dispari} \pm \mbox{pari}=\mbox{dispari}

 

 

Moltiplicazione

 

Il prodotto tra due numeri pari, così come il prodotto tra un numero pari ed un numero dispari è ancora un numero pari, mentre il prodotto tra due numeri dispari è un numero dispari. Abbiamo cioè:

 

 

\\ \mbox{pari} \cdot \mbox{pari} = \mbox{pari}\\ \\ \mbox{dispari} \cdot \mbox{dispari} = \mbox{dispari}\\ \\ \mbox{pari} \cdot \mbox{dispari} = \mbox{dispari} \cdot \mbox{pari}=\mbox{pari}

 

 

In altri termini, in una moltiplicazione tra due o più fattori, se appare anche solo un numero pari allora il prodotto sarà un numero pari; se nessun numero è pari, allora il prodotto sarà un numero dispari.

 

Per quanto appena scritto risulta che l'elevamento a potenza di un numero pari è un numero pari, mentre l'elevamento a potenza di un numero dispari è un numero dispari.

 

 

Divisione

 

Per quanto riguarda la divisione non è tutto rose e fiori come per le altre operazioni. Sapendo che non è un'operazione interna né all'insieme dei numeri naturali né all'insieme dei numeri interi relativi, possiamo parlare di quoto pari o dispari a patto che il quoziente tra i due numeri sia un intero e che il divisore sia diverso da zero (ricordiamo infatti che non si può dividere per zero).

 

Chiarito ciò abbiamo che:

 

- il quoziente (se esiste intero) tra un numero pari ed un numero dispari è un numero pari;

 

- il quoziente tra due numeri dispari (sempre ammesso che sia un intero) è un numero dispari;

 

- il quoziente tra due numeri pari può essere sia pari che dispari;

 

- il risultato della divisione tra un numero dispari ed un numero pari non è mai un numero intero, cioè dividendo un numero dispari per un numero pari verrà sempre fuori una frazione o un numero decimale.

 

A cosa serve l'aritmetica tra numeri pari e numeri dispari e come ricordarla

 

Sicuramente vi starete chiedendo a cosa servono e soprattutto come fare a ricordare queste regolette. Chiarito che, a parte la divisione, valgono per qualsiasi coppia di numeri interi (tra poco, per non lasciare spazi a dubbi ne vedremo la dimostrazione) proprio per questo motivo non serve ricordarle a memoria ma, se dovessero servire basta farsi un esempio.

 

Cosa vogliamo dire? Supponiamo che ci venga chiesto quanto vale la somma tra un numero pari ed un numero dispari.

 

Proprio perché, ripetiamo ancora una volta, valgono per qualsiasi coppia di numeri, essendo:

 

\underbrace{2}_{\mbox{un qualsiasi numero pari}}+\underbrace{3}_{\mbox{un qualsiasi numero dispari}}=\underbrace{5}_{\mbox{numero dispari}}

 

Possiamo dire che la somma tra numero pari e numero dispari dà un numero dispari.

 

Queste formulette potrebbero essere utili come piccola verifica del risultato di un'operazione. Se ad esempio, dopo aver eseguito la moltiplicazione tra quattro numeri interi di cui uno pari vien fuori un numero dispari, evidentemente, abbiamo sbagliato qualcosa. Abbiamo visto, infatti, che il prodotto tra più numeri, di cui almeno uno pari, dà un numero pari.

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Gli studenti universitari, quelli più volenterosi della scuola superiore e tutti gli appassionati possono approfondire ulteriormente continuando con la lettura...

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva

 

Abbiamo detto che un numero intero è pari se è un multiplo di 2. Ovvero un numero intero a \in \mathbb{Z} è pari se e solo se esiste un intero k \in \mathbb{Z} tale che:

 

a=2k, \ k\in \mathbb{Z}

 

Inoltre, poiché ogni numero dispari è il successivo o il precedente di un numero pari, un numero b \in \mathbb{Z} è dispari se e solo se esiste k \in \mathbb{Z} tale che

 

b=2k-1 \ \mbox{oppure} \ b=2k+1, \ \mbox{con} \ k \in \mathbb{Z}

 

Alla luce di queste due considerazioni, dimostriamo che la somma algebrica di due numeri dispari è un numero pari:

 

Siano quindi a \ \mbox{e} \ b due numeri dispari. Per definizione esistono h,k \in \mathbb{Z} tali che:

 

a=2h+1 \ \mbox{e} \ b=2k+1

 

Allora:

 

a + b = (2h+1)+(2k+1) = 2h+1 + 2k + 1 = 2h + 2k + 2 = 2(h+k+1)

 

che è un numero pari in quanto ottenuto dal prodotto tra 2 per l'intero h+k+1. Allo stesso modo:

 

a-b=(2h+1)-(2k+1)=2h+1-2k-1=2h-2k=2(h-k)

 

anch'esso pari.

 

Procedendo allo stesso modo potete dimostrare le altre. ;)

 


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