Numeri irrazionali

I numeri irrazionali, indicati con il simbolo I, sono tutti e soli i numeri decimali illimitati non periodici, che quindi non possono essere espressi sotto forma di frazione. Esempi particolarmente ricorrenti di numeri irrazionali sono dati da √2, √3, ∏, e.

 

Ci occupiamo ora dell'insieme dei numeri irrazionali. Visto che non vogliamo lasciare nulla al caso vedremo dapprima qual è stata l'esigenza che ha portato all'introduzione dei numeri irrazionali, per poi darne una definizione rigorosa e vedere il legame che c'è tra l'insieme dei numeri irrazionali e gli altri insiemi numerici.

 

Come nascono i numeri irrazionali

 

Visto che un piccolo ripasso non fa mai male, partiamo dai numeri naturali e ricordiamo come sono stati introdotti i vari insiemi numerici, fino a giungere ai numeri irrazionali.

 

Quando abbiamo a che fare con le operazioni tra numeri naturali, non tutte danno sempre come risultato un numero naturale. Ad esempio il risultato della divisione tra due numeri naturali in cui il dividendo non è un multiplo del divisore non appartiene all'insieme \mathbb{N}, così come la sottrazione tra due numeri naturali in cui il minuendo è minore del sottraendo.

 

Di conseguenza, affinché l'operazione di sottrazione tra numeri naturali sia sempre possibile, si introduce l'insieme dei numeri interi relativi \mathbb{Z} e per dare senso alla divisione tra una qualsiasi coppia di numeri si passa all'insieme dei numeri razionali \mathbb{Q} per poi parlare, in generale, di numeri relativi, ovvero di numeri con segno.

 

Nell'insieme dei numeri razionali \mathbb{Q} tutto sembrerebbe funzionare alla perfezione. Le operazioni tra frazioni (somma, differenza, prodotto, divisione ed elevamento a potenza) sono infatti tutte interne all'insieme dei numeri razionali. 

 

Non abbiamo però tenuto conto dell'estrazione della radice quadrata di un numero positivo. Con il metodo per calcolare la radice quadrata a mano o con la calcolatrice, troviamo, ad esempio, la radice quadrata di 2. Ecco il risultato che otteniamo utilizzando la calcolatrice:

 

 

\sqrt{2}=1,41421356237309504880168872420969807856967187...

 

 

Che numero è? Senza ombra di dubbio è un numero decimale illimitato e non periodico e quindi non è esprimibile sotto forma di frazione, cioè non esiste una frazione generatrice che lo determini.

 

In generale, l'estrazione di radice (non solo quadrata) di un numero non è un'operazione interna all'insieme dei numeri razionali!

 

Da qui nasce l'esigenza di introdurre un nuovo insieme numerico: l'insieme dei numeri irrazionali che, come suggerisce il nome stesso, può essere pensato come l'insieme di quei numeri che non sono razionali, ossia che non sono esprimibili sotto forma di frazione.

 

Definizione di numero irrazionale

 

Ora che abbiamo capito come nasce l'insieme dei numeri irrazionali diamo una vera e propria definizione di numero irrazionale.

 

Un numero irrazionale è un numero decimale illimitato e non periodico.

 

 

\mbox{\color{red}Numero decimale }\begin{cases}\mbox{limitato }\\ \\ \mbox{\color{red}illimitato}\begin{cases}\mbox{periodico }\begin{cases}\mbox{semplice}\\ \\\mbox{misto}\end{cases}\\ \\ \mbox{\color{red}non periodico}\end{cases}\end{cases}

 

 

L'insieme dei numeri irrazionali si indica generalmente, alla scuola media, con il simbolo \mathbb{I}.

 

Essendo numeri illimitati (formati cioè da un numero infinito di cifre) e non periodici (ovvero nessun gruppo viene ripetuto all'infinito) i numeri irrazionali si rappresentano lasciando indicato il segno di radice. Ecco alcuni esempi di numeri irrazionali:

 

 

\sqrt{2}, \ \sqrt[3]{5}, \ \sqrt[5]{\frac{3}{2}}, \ \sqrt[4]{62}

 

 

Consideriamo ora:

 

 

\sqrt{144} \ \mbox{oppure} \ \sqrt[3]{\frac{8}{27}}

 

 

che, all'apparenza, potrebbero sembrare numeri irrazionali.

 

Essendo però 144 un quadrato perfetto, risulta

 

144=2^4 \cdot 3^2

 

e si ha che:

 

\sqrt{144}=\sqrt{2^4 \cdot 3^2} = 2^2 \cdot 3 = 12

 

Allo stesso modo,

 

\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\sqrt{\frac{2^3}{3^3}}=\frac{2}{3}

 

Di conseguenza non tutti i numeri definiti mediante una radice quadrata (o cubica, o ennesima) sono necessariamente numeri irrazionali!

 

Esistono inoltre numeri irrazionali che sono così famosi da meritare un vero e proprio nome così come accade per Pi Greco (\pi) (*), o anche il numero di Nepero e.

 

Naturalmente i numeri irrazionali possono essere sia positivi che negativi; per capirlo basta considerare come esempi

 

 

-\sqrt{2}, \ -\sqrt[3]{5}, \ -\sqrt[5]{-\frac{3}{2}}, \ -\sqrt[4]{62},\ -\pi,\ -e

 

Numeri razionali e numeri irrazionali

 

Qual è quindi la relazione tra i numeri irrazionali e gli altri insiemi numerici? La risposta è semplice: come già avevamo intuito, un numero o è razionale (e quindi potrebbe essere un numero intero) o è irrazionale.

 

L'unione tra gli insiemi dei numeri razionali e dei numeri irrazionali forma quello che viene detto insieme dei numeri reali e che si indica con \mathbb{R}.

 

Il seguente diagramma di Eulero-Venn rende tutto molto chiaro

 

 

Insiemi numerici

 

 

Detto quindi in altri termini, un qualsiasi numero reale o appartiene all'insieme dei numeri razionali (di cui sono sottoinsiemi propri gli insiemi dei numeri relativi e quello dei numeri naturali) o è un numero irrazionale.

 

 


 

 

(*) Essendo una lezione pensata per ragazzi di scuola media abbiamo preferito introdurre il Pi Greco in quel modo. Ci sembra comunque doveroso spendere qualche altra riga per i lettori che hanno confidenza con le equazioni.

 

Possiamo dividere l'insieme dei numeri irrazionali in due sottoinsiemi:

 

- l'insieme dei numeri irrazionali algebrici formato dai numeri irrazionali che si possono ottenere come soluzione di un'equazione polinomiale.

 

Ad esempio \pm \sqrt{2} sono irrazionali algebrici in quanto soluzioni dell'equazione di secondo grado x^2-2=0. Generalmente, tutti i numeri irrazionali definibili tramite radicali sono algebrici.

 

- L'insieme dei numeri irrazionali trascendenti come Pi Greco o il Numero di Nepero che non si ottengono dalla soluzione di alcuna equazione polinomiale.

 

 


 

Per questa lezione è tutto. In caso di dubbi, perplessità ed esercizi che proprio non tornano, non esitate e fate buon uso della barra di ricerca interna! Qui su YM ci sono tonnellate di risposte e di esercizi svolti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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