Media, moda, mediana

Media moda e mediana sono tre caratteristiche di un qualsiasi insieme di dati statistico. La media è il rapporto tra la somma dei dati numerici ed il numero dei dati; la moda è il valore che si presenta con maggiore frequenza; la mediana è il valore centrale tra i dati numerici.

 

Parleremo in questa lezione di media moda e mediana di un insieme di dati statistici. Prima di entrare nel dettaglio facciamo una piccola premessa che aiuterà chiunque si sia affacciato da poco al mondo della Statistica, in modo da capire questi nuovi concetti.

 

Supponiamo per esempio di voler confrontare il rendimento degli alunni di due classi dopo una verifica; l'aver raccolto il voto di ciascun ragazzo in una tabella non permette di certo un confronto immediato. Sarebbe più semplice avere un unico dato che rappresenti il rendimento medio della classe. Tale valore viene chiamato indice di posizione e, in statistica, tre tra i più importanti indici di posizione sono proprio media, moda e mediana.

 

Possiamo quindi dire che media, moda e mediana sono indici di posizione che permettono, in base alle esigenze, di esprimere in modo sintetico le caratteristiche di un'indagine statistica. Vediamoli nel dettaglio...

 

Media aritmetica

 

Si dice media aritmetica di un insieme di dati numerici il valore che si ottiene addizionandoli tra loro e dividendo la somma ottenuta per il numero dei dati raccolti.

 

Esempio di calcolo della media aritmetica

 

Martino negli ultimi 5 compiti di Matematica ha preso i seguenti voti: 5, 7, 4, 6, 5. Qual è la media aritmetica dei voti?  

 

Addizionando i risultati ottenuti abbiamo:

 

5+7+4+6+5=27

 

che, diviso per 5 (numero dei voti)

 

\frac{5+7+4+6+5}{5}=\frac{27}{5}=5,4

 

ci dà una media di 5,4. Una media un po' bassina, è il caso che Martino si impegni un po' di più! ;)

 

Ora che abbiamo capito cos'è e soprattutto come si calcola la media aritmetica, esprimiamo il tutto in formule: dati n dati numerici x_1, \ x_2, \ ... \ x_n la formula per la media aritmetica, che indicheremo con \bar{x}, è data da:

 

 

\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}

 

Mediana

 

Dopo aver raccolto un insieme di dati numerici disponiamoli in ordine crescente o decrescente (la scelta dell'uno o dell'altro modo è del tutto indifferente). Si chiama mediana il valore che occupa il valore centrale.

 

Sorpresi? Ebbene sì, la mediana è proprio il valore che occupa il posto centrale in una serie di dati disposti in ordine crescente o decrescente. Dobbiamo solo prestare attenzione ad una cosa: se la serie è costituita da un numero pari di elementi allora non esiste un solo elemento centrale, bensì due. In questi casi la mediana è data dalla media aritmetica dei due dati centrali.

 

Per maggior chiarezza vediamo subito qualche esempio.

 

Esempi di calcolo della mediana

 

1) L'altezza dei 5 giocatori titolari di una squadra di basket è:

 

\begin{array}{|l|c|} \cline{1-2} \mbox{giocatore 1} & 1,98 \ \mbox{m} \\ \cline{1-2} \mbox{giocatore 2} & 2,01 \ \mbox{m} \\ \cline{1-2} \mbox{giocatore 3} & 1,97 \ \mbox{m} \\ \cline{1-2} \mbox{giocatore 4} & 1,96 \ \mbox{m} \\ \cline{1-2} \mbox{giocatore 5} & 2,06 \ \mbox{m} \\ \cline{1-2}\end{array}

 

Innanzitutto disponiamoli in ordine crescente (dal più basso al più alto):

 

\begin{array}{|l|c|} \cline{1-2} \mbox{giocatore 4} & 1,96 \ \mbox{m} \\ \cline{1-2} \mbox{giocatore 3} & 1,97 \ \mbox{m} \\ \cline{1-2} \mbox{giocatore 1} & {\color{red}1,98} \ \mbox{m} \\ \cline{1-2} \mbox{giocatore 2} & 2,01 \ \mbox{m} \\ \cline{1-2} \mbox{giocatore 5} & 2,06 \ \mbox{m} \\ \cline{1-2}\end{array}

 

Il posto centrale è occupato dal giocatore 1, il quale ha un'altezza di 198 centimetri che sarà la mediana cercata.

 

 

2) Nei 10 mesi dell'anno scolastico (da Settembre a Giugno) Martino si è assentato da scuola i seguenti numeri di giorni:

 

\begin{array}{|l|c|} \cline{1-2} \mbox{Mese} & \mbox{Numero assenze}\\ \cline{1-2} \mbox{Settembre} & 0 \\ \cline{1-2} \mbox{Ottobre} & 5 \\ \cline{1-2} \mbox{Novembre} & 1 \\ \cline{1-2} \mbox{Dicembre} & 2 \\ \cline{1-2} \mbox{Gennaio} & 7 \\ \cline{1-2} \mbox{Febbraio} & 0 \\ \cline{1-2} \mbox{Marzo} & 3 \\ \cline{1-2} \mbox{Aprile} & 4 \\ \cline{1-2} \mbox{Maggio} & 6 \\ \cline{1-2} \mbox{Giugno} & 5 \\ \cline{1-2}\end{array}

 

Disponiamoli, questa volta, in ordine decrescente

 

\begin{array}{|l|c|} \cline{1-2} \mbox{Mese} & \mbox{Numero assenze}\\ \cline{1-2} \mbox{Gennaio} & 7 \\ \cline{1-2} \mbox{Maggio} & 6 \\ \cline{1-2} \mbox{Giugno} & 5 \\ \cline{1-2} \mbox{Ottobre} & 5 \\ \cline{1-2} \mbox{Aprile} & {\color{red}4} \\ \cline{1-2} \mbox{Marzo} & {\color{red}3} \\ \cline{1-2} \mbox{Dicembre} & 2 \\ \cline{1-2} \mbox{Novembre} & 1 \\ \cline{1-2} \mbox{Febbraio} & 0 \\ \cline{1-2} \mbox{Settembre} & 0 \\ \cline{1-2}\end{array}

 

i due valori centrali sono quelli evidenziati in rosso, ovvero Aprile con 4 assenze e Marzo con 3. La mediana di questi dati, come abbiamo detto prima, è data dalla media aritmetica dei due dati centrali, ovvero:

 

\mbox{mediana}=\frac{4+3}{2}=3,5

 
 

Moda

 

Nulla di più semplice! La moda o valore modale di un insieme di dati è quel valore, se esiste, che si presenta con maggiore frequenza. Come vedremo nei seguenti esempi potrebbe capitare che ci sia più di un valore modale.

 

Esempi di calcolo della moda

 

1) Scegliamo a caso 10 compagni di classe di Martino e riportiamo, in una tabella, il colore della loro maglietta

 

\begin{array}{|c|c|} \cline{1-2} \mbox{Compagni} & \mbox{Colore maglietta}\\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 1} & \mbox{blu} \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 2} & \mbox{nero} \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 3} & \mbox{rosso} \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 4} & \mbox{blu} \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 5} & \mbox{giallo} \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 6} & \mbox{blu} \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 7} & \mbox{blu} \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 8} & \mbox{nero} \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 9} & \mbox{blu} \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 10} & \mbox{verde} \\ \cline{1-2}\end{array}

 

Il colore che si presenta con più frequenza è il colore blu (5 volte su 10) che sarà quindi la moda dell'indagine statistica appena svolta.

 

 

2) Riportiamo, adesso, il numero di scarpa dei 10 compagni di Martino

 

\begin{array}{|c|c|} \cline{1-2} \mbox{Compagni} & \mbox{Numero di scarpa}\\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 1} & 42 \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 2} & 40 \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 3} & 38 \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 4} & 42 \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 5} & 39 \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 6} & 40 \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 7} & 43 \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 8} & 41 \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 9} & 40 \\ \cline{1-2} \mbox{Compagno 10} & 42 \\ \cline{1-2}\end{array}

 

Come potete osservare abbiamo due valori che si ripetono con la stessa frequenza, infatti sia il numero 40 che il numero 42 sono presenti tre volte. In questi casi si dice che l'insieme di dati raccolti ha due valori modali.

 

 


 

Tutto qui ragazzi! In caso di dubbi non esitate, potete usare la barra di ricerca e trovare tantissimi altri esempi ed esercizi svolti, oltre ad un utilissimo tool per calcolare la media online. ;)

 

 

Buon Proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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