Ripartizione composta

Prendono il nome di problemi di ripartizione composta quei problemi in cui una grandezza va divisa in parti direttamente o inversamente proporzionali a più gruppi di numeri. Vedremo ora, con alcuni esempi, come essi si riconducono tutti a problemi di ripartizione semplice diretta.

 

Prima di procedere con la lettura di questo articolo, se ancora non l'avete fatto, è consigliabile dare un'occhiata alla lezione del link precedente.

 

Come si risolvono i problemi di ripartizione composta

 

Come abbiamo già accennato, un problema di ripartizione composta si ricondurrà, con qualche piccolo stratagemma, ad un problema di ripartizione semplice diretta. Vediamo come con qualche esempio.

 

Una merce dal peso complessivo di 700 kg deve essere suddivisa in 3 carichi direttamente proporzionali ai numeri 2, 3 e 5 ed ai numeri 3, 4 e 2. Quanto peserà ciascun carico?

 

 

Svolgimento

 

Ragioniamo nel modo seguente: se i 3 carichi devono essere direttamente proporzionali 

 

 

\begin{array}{l l l l} \mbox{sia a:} & \ 2 \ &  \ 3 \ & \ 5 \  \\ \\ \mbox{che a:} &  \ 3 \ & \ 4 \ & \ 2 \ \end{array}

 

 

saranno direttamente proporzionali anche al loro prodotto, cioè ai numeri

 

 

2 \cdot 3 = {\color{Red}6}, \ \ 3 \cdot 4 = {\color{Red}12}, \ \ 5 \cdot 2 = {\color{Red}10}

 

 

Scriveremo allora, come abbiamo visto nel problemi di ripartizione semplice diretta, la seguente catena di rapporti

 

 

x:{\color{Red}6} = y:{\color{Red}12} = z:{\color{Red}10}

 

 

dove x, \ y \ \mbox{e} \ z indicano le tre parti incognite in cui verrà suddivisa la merce, da cui x+y+z=700 kg.

 

Ora applichiamo la proprietà del comporre e otteniamo le tre proporzioni

 

 

\\ (x+y+z):(6+12+10)=x:6 \ \to \ 700 : 28 = x:6\\ \\ (x+y+z):(6+12+10)=y:12 \ \to \ 700:28=y:12\\ \\ (x+y+z):(6+12+10)=z:10 \ \to \ 700:28=z:10

 

 

A questo punto ricaveremo il valore delle tre incognite utilizzando la proprietà fondamentale delle proporzioni:

 

 

\\ x=\frac{700 \cdot 6}{28}=150 \ \mbox{kg}\\ \\ \\ y=\frac{700 \cdot 12}{28}=300 \ \mbox{kg}\\ \\ \\ z=\frac{700 \cdot 10}{28}=250 \ \mbox{kg}

 

Altro problema di ripartizione composta svolto

 

Marco, Matteo e Luca vincono al lotto 45650 € che decidono di suddividersi in ragione inversa alla loro età e in ragione diretta al numero di figli di ciascuno. Sapendo che: Marco ha 45 anni e 3 figli, Matteo ha 24 anni e 2 figli e Luca 21 anni ed 1 figlio, quanto spetterà a ciascuno di essi?

 

 

Soluzione

 

Indichiamo con x, y e z la somma di denaro che riceveranno, rispettivamente, Marco, Matteo e Luca. Se le tre somme di denaro devono essere:

 

- direttamente proporzionali al numero dei figli, ovvero ai numeri: 3, 2, 1

 

- inversamente proporzionali alla loro età, cioè a: 45, 24, 21

 

allora sarà come affermare che la somma iniziale va divisa in parti direttamente proporzionali 

 

 

\begin{array}{l l l l} \mbox{sia a:} & \ 3 \ &  \ 2 \ & \ 1 \  \\ \\ \mbox{che a:} &  \ \frac{1}{45} \ & \ \frac{1}{24} \ & \ \frac{1}{21} \ \end{array}

 

 

e quindi direttamente proporzionali anche al loro prodotto, cioè ai numeri

 

 

3 \cdot \frac{1}{45} = {\color{Red}\frac{1}{15}}, \ \ 2 \cdot \frac{1}{24} = {\color{Red}\frac{1}{12}}, \ \ 1 \cdot \frac{1}{21} = {\color{Red}\frac{1}{21}}

 

 

Possiamo allora scrivere la catena di rapporti

 

 

x:\frac{1}{15}=y:\frac{1}{12}=z:\frac{1}{21}

 

 

Procedendo come di consueto, ovvero applicando la proprietà del comporre possiamo scrivere:

 

 

\\ (x+y+z):\left(\frac{1}{15} + \frac{1}{12} + \frac{1}{21} \right)=x:\frac{1}{15}\\ \\ \\ (x+y+z):\left(\frac{1}{15} + \frac{1}{12} + \frac{1}{21} \right)=y:\frac{1}{12}\\ \\ \\ (x+y+z):\left(\frac{1}{15} + \frac{1}{12} + \frac{1}{21} \right)=z:\frac{1}{21}

 

 

Sapendo che

 

 

x+y+z=45650 \ \mbox{ e } \ \frac{1}{15}+\frac{1}{12}+\frac{1}{21}=\frac{83}{420}

 

 

(se non ricordi come si svolgono le operazioni tra frazioni - click!) sostituiamo ora i risultati ottenuti nelle proporzioni precedenti e, applicando la proprietà fondamentale, avremo

 

 

45650:\frac{83}{420}=x:\frac{1}{15} \ \to \ x = \frac{45650 \cdot \frac{1}{15}}{\frac{83}{420}}=15400

 

 

cioè a Marco spetteranno 15400 €

 

 

45650:\frac{83}{420}=y:\frac{1}{12} \ \to \ y = \frac{45650 \cdot \frac{1}{12}}{\frac{83}{420}}=19250

 

 

ossia Matteo riceverà 19250 €

 

 

45650:\frac{83}{420}=z:\frac{1}{21} \ \to \ z = \frac{45650 \cdot \frac{1}{21}}{\frac{83}{420}}=11000

 

 

e Luca intascherà 11000 €.

 

 


 

È tutto! Dalla prossima lezione ci addentreremo nel mondo delle percentuali iniziando dal vedere come funziona il calcolo percentuale per poi passare ai problemi che tirano in ballo sconto e percentuale.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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