Ripartizione semplice diretta e inversa

Un'altra applicazione del concetto di proporzionalità si ha in quelli che vengono detti problemi di ripartizione. Tali problemi consistono nel suddividere delle grandezze (lunghezze, perimetri, aree, somme di denaro, ecc..) in parti direttamente o inversamente proporzionali ad un gruppo o a più gruppi di numeri. In particolare:

 

- se dobbiamo suddividere in parti direttamente proporzionali siamo di fronte a problemi di ripartizione semplice diretta;

 

- se la suddivisione avviene in parti inversamente proporzionali il problema si dirà di ripartizione semplice inversa;

 

- se siamo in presenza di più gruppi avremo quelli che vengono detti problemi di ripartizione composta.

 

In questa lezione ci occuperemo dei problemi di ripartizione semplice partendo dai problemi di ripartizione semplice diretta.

 

Come si risolvono i problemi di ripartizione semplice diretta

 

Non perdiamoci in ulteriori premesse e partiamo spediti con un problema svolto che chiarirà più che bene il metodo di risoluzione.

 

Luca, Matteo e Giovanni hanno 636 € che devono dividere tra loro in modo tale che ciascuno di essi riceva, rispettivamente, una somma direttamente proporzionale ai numeri 3, 4 e 5. Quanto spetterà a ciascuno di essi?

 

 

Svolgimento

 

Indichiamo con x la somma di denaro che dovrà ricevere Luca, y quella che dovrà ricevere Matteo e z quella che spetterà a Giovanni. Sapendo che queste parti devono essere direttamente proporzionali ai numeri 3, 4 e 5, e ricordando che due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante, imposteremo la seguente catena di uguaglianze:

 

 

x:3 = y:4 = z:5

 

 

a cui possiamo applicare la proprietà del comporre ed ottenere le tre proporzioni

 

 

\\ (x+y+z):(3+4+5)=x:3\\ \\ (x+y+z):(3+4+5)=y:4\\ \\ (x+y+z):(3+4+5)=z:5

 

 

Ora, x+y+z altro non è se non la somma di denaro iniziale, ovvero x+y+z=636, ed essendo 3+4+5=12, abbiamo:

 

 

\\ 636:12=x:3\\ \\ 636:12=y:4\\ \\ 636:12=z:5

 

 

Applichiamo ora la proprietà fondamentale delle proporzioni che ci permetterà di trovare il valore delle tre incognite

 

 

\\ x=\frac{636 \cdot 3}{12} = 159\\ \\ \\ y=\frac{636 \cdot 4}{12} = 212\\ \\ \\ z=\frac{636 \cdot 5}{12} = 265

 

 

Ovvero Luca avrà 159 €, Matteo 212 € e Giovanni 265 €. Facile, vero? :)

 

Altro problema di ripartizione semplice diretta svolto

 

Un angolo giro deve essere diviso in 4 parti direttamente proporzionali ai numeri 1, 2, 4 e 5. Calcola l'ampiezza di ciascuna parte.

 

 

Soluzione

 

Indichiamo con x, y, z \ \mbox{e} \ t le 4 parti in cui deve essere diviso l'angolo giro (che misura 360°). Dovendo essere tali parti direttamente proporzionali ai numeri 1, 2, 4 e 5 imposteremo la seguente catena di rapporti:

 

 

x:1=y:2=z:4=t:5

 

 

da cui, per la proprietà del comporre:

 

 

\\ (x+y+z+t):(1+2+4+5)=x:1\\ \\ (x+y+z+t):(1+2+4)+5=y:2\\ \\ (x+y+z+t):(1+2+4+5)=z:4\\ \\ (x+y+z+t):(1+2+4+5)=t:5

 

 

Essendo x+y+z+t=360^{\circ} \ \mbox{e} \ 1+2+4+5=12 avremo le quattro proporzioni

 

 

\\ 360:12=x:1\\ \\ 360:12=y:2\\ \\ 360:12=z:4\\ \\ 360:12=t:5

 

 

da cui, per la proprietà fondamentale:

 

 

\\ x=\frac{360 \cdot 1}{12}=30^{\circ}\\ \\ \\ y=\frac{360 \cdot 2}{12}=60^{\circ}\\ \\ \\ z=\frac{360 \cdot 4}{12}=120^{\circ}\\ \\ \\ t=\frac{360 \cdot 5}{12}=150^{\circ}

 

 

Cioè le 4 parti in cui verrà diviso l'angolo giro misureranno 30°, 60°, 120°, 150°.

 

Problemi di ripartizione semplice inversa

 

L'idea di fondo dei problemi di ripartizione semplice inversa è simile a quella dei problemi di ripartizione semplice diretta. L'unica cosa che cambia è che in questo caso avremo a che fare con grandezze inversamente proporzionali.

 

Vediamo un esempio: 2765 € devono essere divisi tra Paolo, Francesco e Simone in modo che ciascuno di essi riceva, rispettivamente, una somma di denaro inversamente proporzionale ai numeri 5, 8 e 3. Quanto riceverà ciascuno?

 

 

Risoluzione

 

Indichiamo con x la somma di denaro che riceverà Paolo, y quella che riceverà Francesco e z quella che spetterà a Simone. Poiché tali somme di denaro devono essere inversamente proporzionali ai numeri 5, 8 e 3, ricordando che due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante, imposteremo la seguente catena di uguaglianze:

 

 

x \cdot 5 = y \cdot 8 = z \cdot 3

 

 

che, ricordando com'è definita la divisione tra frazioni, equivale a scrivere:

 

 

x:\frac{1}{5}=y:\frac{1}{8}=z:\frac{1}{3}

 

 

Ci siamo così ricondotti ad un problema di ripartizione semplice diretta! Ci basterà allora applicare la proprietà del comporre ed infine la proprietà fondamentale delle proporzioni per ricavare i tre valori incogniti.

 

 

\\ (x+y+z):\left(\frac{1}{5}+ \frac{1}{8}+\frac{1}{3}\right)=x:\frac{1}{5}\\ \\ \\ (x+y+z):\left(\frac{1}{5}+ \frac{1}{8}+\frac{1}{3}\right)=y:\frac{1}{8}\\ \\ \\ (x+y+z):\left(\frac{1}{5}+ \frac{1}{8}+\frac{1}{3}\right)=z:\frac{1}{3}

 

 

Ora, essendo x+y+z=2765 \ \mbox{e} \ \frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{3}=\frac{79}{120}, abbiamo:

 

 

\\ 2765:\frac{79}{120}=x:\frac{1}{5} \ \to \ x=\frac{2765 \cdot \frac{1}{5}}{\frac{79}{120}}=840\\ \\ \\ 2765:\frac{79}{120}=y:\frac{1}{8} \ \to \ y=\frac{2765 \cdot \frac{1}{8}}{\frac{79}{120}}=525\\ \\ \\ 2765:\frac{79}{120}=z:\frac{1}{3} \ \to \ z=\frac{2765 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{79}{120}}=1400

 

 

Dunque a Paolo spetteranno 840 €, a Francesco 525 € e a Simone 1400 €.

 

Avrete quindi capito che basta saper risolvere i problemi di ripartizione semplice diretta per saper risolvere anche quelli di ripartizione semplice inversa, infatti ci si ricondurrà in ogni caso ai primi con un semplicissimo stratagemma.

 

Altro problema di ripartizione semplice inversa svolto

 

Il perimetro di un quadrilatero è 84 cm e le misure dei suoi lati sono inversamente proporzionali ai numeri \frac{1}{2}, \ \frac{3}{2}, \ \frac{3}{4} \ \mbox{e} \ \frac{1}{3}. Calcolare la lunghezza di ciascun lato.

 

 

Svolgimento

 

Indicate con x, y, z, t le misure dei 4 lati, poiché esse devono essere inversamente proporzionali ai numeri \frac{1}{2}, \ \frac{3}{2}, \ \frac{3}{4} \ \mbox{e} \ \frac{1}{3} imposteremo la seguente catena di uguaglianze

 

 

x \cdot \frac{1}{2} = y \cdot \frac{3}{2} = z \cdot \frac{3}{4} = t \cdot \frac{1}{3} \ \mbox{(prodotto costante)}

 

 

che possiamo scrivere come

 

 

x : 2 = y : \frac{2}{3} = z : \frac{4}{3} = t : 3

 

 

Applichiamo ora la proprietà del comporre:

 

 

\\ (x+y+z+t): \left(2+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+3 \right) = x:2\\ \\ \\ (x+y+z+t): \left(2+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+3 \right) =y:\frac{2}{3}\\ \\ \\ (x+y+z+t): \left(2+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+3 \right) = z:\frac{4}{3}\\ \\ \\ (x+y+z+t): \left(2+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+3 \right) = t:3

 

 

Essendo x+y+z+t=84 \ \mbox{e} \ 2+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+3=\frac{21}{3}=7, avremo le quattro proporzioni

 

 

\\ 84:7=x:2 \ \to \ x=\frac{84 \cdot 2}{7}=24 \ \mbox{cm}\\ \\ \\ 84:7=y:\frac{2}{3} \ \to \ y=\frac{84 \cdot \frac{2}{3}}{7}=8 \ \mbox{cm}\\ \\ \\ 84:7=z:\frac{4}{3} \ \to \ z=\frac{84 \cdot \frac{4}{3}}{7}= 16 \ \mbox{cm}\\ \\ \\ 84:7=t:3 \ \to \ t=\frac{84 \cdot 3}{7}=36 \ \mbox{cm}

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Nella prossima vedremo come si risolvono i problemi di ripartizione composta. In caso di dubbi, problemi, perplessità o esercizi che vi creano grattacapi non esitate a contattarci!

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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