Numeri primi

I numeri primi sono tutti e soli i numeri naturali che sono divisibili solamente per 1 e per se stessi; tutti i numeri che non sono primi vengono chiamati numeri composti.

 

In questa lezione chiariamo, una volta per tutte, cosa sono i numeri primi e soprattutto come fare a capire se un numero è primo, che è uno dei compiti senza dubbio più difficili. ;)

 

Nota: qui su YM è disponibile anche una guida didattica dedicata ai docenti e ai genitori degli alunni della scuola elementare. Potete leggerla qui: numeri primi e numeri composti.

 

Cosa sono i numeri primi

 

Consideriamo i seguenti numeri naturali: 5, 6, 15, 17, 25, 30 e, per ognuno di essi, scriviamo tutti i sottomultipli (o divisori).

 

 

\begin{array}{l l} \mbox{D(5)}=\{1, \ 5\} & \mbox{D(6)}=\{1, \ 2, \ 3, \ 6\}, \\ & \\ \mbox{D(15)}=\{1, \ 3, \ 5, \ 15\} \ \ \ \ \ \ \ & \mbox{D(17)}=\{1, \ 17\} \\ & \\ \mbox{D(25)}=\{1, \ 5, \ 25\} & \mbox{D(30)}=\{1, \ 2, \ 3, \ 5, \ 6, \ 10, \ 15, \ 30\} \end{array}

 

 

Osserviamo i numeri 5 e 17 ed i loro divisori: entrambi hanno come sottomultipli soltanto il numero 1 e se stessi, mentre tutti gli altri numeri oltre ad 1 e se stessi ne hanno anche altri.

 

I numeri 5 e 17 si dicono numeri primi, mentre 6, 15, 25 e 30 son detti numeri composti.

 

Volendo dare una definizione per i numeri primi, diremo che: un numero maggiore di 1 è primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso.

 

Al contrario, possiamo dare una definizione per i numeri composti scrivendo che: un numero maggiore di 1 è un numero composto se non è un numero primo.

 

1 è un numero primo?

 

La risposta è no! Ovvero si è stabilito che 1 non è un numero primo ed il motivo non è difficile da capire, neanche per un ragazzo di scuola media.

 

Se siete curiosi la spieghiamo in questo paragrafo, altrimenti saltate direttamente al successivo. ;)

 

Esiste infatti un teorema, conosciuto col nome di Teorema fondamentale dell'Aritmetica che dice che per ogni numero esiste (a meno dell'ordine) un'unica scomposizione in fattori primi. Cosa vuol dire?

 

Prendiamo ad esempio il numero 15. Sappiamo che la sua scomposizione in fattori primi è 15=3 \times 5, che volendo possiamo scrivere anche 15=5 \times 3 grazie alla proprietà commutativa della moltiplicazione.

 

Come potete vedere, potrebbe cambiare l'ordine in cui scriviamo i fattori (3 e 5) ma essi sono sempre gli stessi e non cambiano, cioè sono unici. Se considerassimo 1 come numero primo potremmo invece scrivere:

 

15 = 3 \times 5 \times 1 \ \mbox{oppure} \ 15 = 3 \times 5 \times 1 \times 1 \ \mbox{o ancora} \ 15 = 3 \times 5 \times 1 \times 1 \times 1

 

e potremmo continuare. In parole povere l'1 nella fattorizzazione si può ripetere anche infinite volte, ottenendo sempre 15. Si verrebbe quindi a perdere l'unicità della scomposizione in fattori primi, ecco il motivo per cui i matematici hanno convenuto di non considerare l'1 come numero primo.

 

Come riconoscere i numeri primi

 

In generale capire se un numero molto grande è un numero primo non è affatto semplice! Anzi, ci sono ancora parecchi studi al riguardo... Ma noi, per fortuna, nelle verifiche non abbiamo a che fare con numeroni e proprio nella precedente lezione abbiamo introdotto gli strumenti che ci permettono di stabilire velocemente se un numero è o non è primo: i criteri di divisibilità.

 

Prendiamo ad esempio il numero 125. È primo? No, in quanto termina con 5 e come tale è divisibile proprio per 5. Avendo quindi trovato un divisore di 125 che sia diverso da 1 e da se stesso possiamo concludere che 125 non è un numero primo.

 

Ragionando allo stesso modo possiamo quindi affermare che:

 

- tutti i numeri pari, eccetto 2, non sono numeri primi, in quanto come loro divisore avranno di certo il 2;

 

- tutti i numeri che terminano per 5 non sono primi in quanto sono divisibili per 5;

 

- tutti i numeri, eccetto 3, la cui somma delle cifre è un multiplo di 3 avranno come loro sottomultiplo il 3, quindi non sono primi.

 

Potremmo continuare a lungo, semplicemente ricordando i criteri di divisibilità. ;)

 

Quanti sono i numeri primi?

 

I numeri primi sono infiniti e purtroppo, per questo motivo, non è possibile elencare tutti i numeri primi in una tabella. Inoltre, come già vi abbiamo detto, più un numero è grande più è difficile capire se è primo.

 

Fortunatamente non avremo mai a che fare, almeno per il momento, con numeri con molte cifre; noi di YouMath abbiamo messo a vostra disposizione una tavola dei numeri primi da 1 a 15000 con cui non dovreste avere problemi.

 

Inoltre, il caro Eratostene nel 200 avanti Cristo circa elaborò un procedimento per ricercare abbastanza velocemente i numeri primi compresi tra due numeri naturali, quello conosciuto col nome di Crivello di Eratostene.

 

Curiosità: il numero primo più grande ad oggi scoperto (Febbraio 2013) ha oltre 17 milioni di cifre e per chi dovesse trovare il successivo ci sono in palio un bel po' di soldini! ;)

 

 


 

Ora che avete capito cos'è un numero primo e soprattutto come riconoscerlo possiamo passare oltre; in una delle lezioni successive vedremo come scomporre un numero nel prodotto di fattori primi. Nel caso voleste giochicchiare un po', potete usare il tool per controllare i numeri primi online.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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