Tre composto

Con tre composto ci si riferisce ad una tipologia di problemi, tipici della scuola media, in cui sono coinvolte grandezze direttamente od inversamente proporzionali, e che presentano un'incognita il cui valore dipende da diversi dati.

 

Ora che sappiamo come risolvere i problemi del tre semplice, ovvero problemi in cui entrano in gioco grandezze direttamente oppure inversamente proporzionali, è il momento di alzare un po' il tiro e vedere come affrontare i problemi in cui la grandezza incognita dipende dal valore di più dati forniti dal testo. I problemi di questo tipo si dicono problemi del tre composto e saranno l'argomento di questa lezione.

 

Se vi state chiedendo da dove nasce questo nome, lo scopriremo presto! ;)

 

Problemi del tre composto

 

Vediamo ora come risolvere i problemi del tre composto, che sono semplicemente l'unione di due o più problemi del tre semplice diretto o del tre semplice inverso. Se hai dubbi a riguardo ti basta un click sui link precedenti.

 

Come di consueto partiamo da un esempio: un panificio produce, con 50 kg di farina, 300 panini da 100 grammi ciascuno. Per fare 425 panini da 120 grammi ciascuno, quanti chlilogrammi di farina occorrono?

 

 

Svolgimento

 

Come potete notare la grandezza incognita (kg di farina) dipende sia dal numero di panini sia dal peso di ogni panino, ovvero dipende da due grandezze. Siamo quindi di fronte ad un problema del tre composto. 

 

Come prima cosa costruiamoci lo specchietto dei dati:

 

 

\begin{array} {c c c c c} \mbox{{\color{Red} Farina}} & \ \ \ \ \ \  & \mbox{{\color{Red}Numero panini}} & \ \ \ \ \ \ & \mbox{{\color{Red}Peso panino}} \\ 50 \ \mbox{kg} & & 300 & & 100 \ \mbox{g} \\ x \ \mbox{(valore da calcolare)} & & 425 & & 120 \ \mbox{g} \end{array}

 

 

e disegnamo una freccia che va dalla x verso il valore noto

 

 

problema 3 composto

 

 

Fatto questo ignoriamo, a turno, una tra le grandezze note.

 

Facciamo finta per un momento che non ci sia la seconda colonna sul numero dei panini e stabiliamo la relazione che c'è tra "Farina" e "Peso di un panino". In altri termini stabiliamo se le due grandezze sono direttamente proporzionali o inversamente proporzionali.

 

Per farlo basta chiederci: al raddoppiare del peso di un panino la quantità di farina necessaria per farlo raddoppia o dimezza? Ovviamente anche lei raddoppia quindi "farina" e "peso panino" sono grandezze direttamente proporzionali, ragion per cui tracceremo una freccia avente lo stesso verso della prima:

 

 

Dati problema tre composto

 

 

Trascuriamo ora l'ultima grandezza (peso panino) e vediamo che relazione intercorre tra la prima e la seconda. Poiché al raddoppiare del numero di panini anche i kg di farina necessari raddoppieranno, anche queste due grandezze sono direttamente proporzionali tra loro. Tracceremo allora una freccia avente lo stesso verso della prima

 

 

scrittura dati problema tre composto

 

 

Possiamo ora calcolare la quantità incognita direttamente in questo modo: il valore noto per il rapporto delle altre grandezze secondo il verso delle frecce, ossia

 

 

x=50 \cdot \frac{425}{300} \cdot \frac{120}{100} = 85 \ \mbox{kg}

 

 

Tutto qui! Come avrete di certo notato questo problema racchiudeva in sè due problemi del tre semplice diretto in quanto formato da due coppie di grandezze direttamente proporzionali.

 

 

Ora che siamo caldi passiamo a vedere un altro problema in cui le grandezze coinvolte sono ben 6!

 

Per costruire un muro lungo 14 metri, largo 0,8 m ed alto 3 m, 9 muratori lavorando 8 ore al giorno hanno impiegato 18 giorni. Quanti giorni impiegheranno 6 muratori lavorando 9 ore al giorno per costruire un muro alto 32 m, largo 0,7m ed alto 2 metri?

 

 

Svolgimento

 

Come ormai abbiamo imparato a fare, costruiamo lo specchietto dei dati e disegnamo una freccia che va dalla x verso il valore noto

 

 

Problema del tre composto con molte grandezze

 

 

Ora dobbiamo capire qual è la relazione che intercorre tra la grandezza che contiene l'incognita e le rimanenti, ricordando che se sono direttamente proporzionali disegneremo una freccia con lo stesso verso, se sono inversamente proporzionali di verso opposto.

 

Poniamoci quindi le seguenti domande:

 

- al raddoppiare della lunghezza, larghezza, altezza del muro i giorni impiegati per la costruzione raddopieranno o dimezzeranno?

 

Di certo raddoppieranno ovvero le grandezze lunghezza e giorni, larghezza e giorni, altezza e giorni sono direttamente proporzionali.

 

- al raddoppiare del numero dei muratori o delle ore in cui lavorano cosa accadrà alla durata dei giorni impiegati per la costruzione del muro?

 

Di certo il numero dei giorni dimezzerà, quindi numero muratori e giorni così come ore e giorni sono grandezze inversamente proporzionali.

 

Lo specchietto finale sarà quindi il seguente

 

 

schema dati problema tre composto

 

 

La grandezza incognita x sarà quindi data dal prodotto tra il valore noto ed il rapporto di tutte le altre grandezze scritto seguendo l'ordine delle frecce, cioè

 

 

x=18 \cdot \frac{32}{14} \cdot \frac{0,7}{0,8} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{6} \cdot \frac{8}{9} = 32 \ \mbox{giorni}

 

 

Più facile a farsi che a dirsi!

 

 


 

Nella prossima lezione parleremo dei problemi di ripartizione, iniziando dai problemi di ripartizione semplice per poi passare ai problemi di ripartizione composta.

 

Cliccando sull'immagine in basso troverai una scheda di esercizi svolti sui problemi del tre semplice e del tre composto che vi invitiamo a non tralasciare se volete una preparazione impeccabile per la vostra verifica.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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