Come approssimare un numero

Sarà capitato a tutti di fare un'operazione con la calcolatrice e di vedere apparire come risultato un numero con tantissime cifre decimali: a volte è necessario approssimare i numeri con cui lavoriamo. Come dobbiamo comportarci? Fino a quale cifra dobbiamo fermarci? Come si arrotonda? La Matematica ci viene in aiuto anche in questo caso con l' approssimazione per difetto e l'approssimazione per eccesso di un numero.

 

Per capire fino in fondo il metodo è necessario conoscere il valore delle cifre di un numero decimale e il valore delle cifre di un numero naturale. In caso di dubbi vi basta un click sui precedenti link.  

 

 

Come dicevamo all'inizio, l'approssimazione entra in campo soprattutto dopo aver eseguito un'operazione con la calcolatrice. Proviamo infatti a digitare 6:31, otterremo una cosa del genere

 

 

Come approssimare un numero

 

 

Di certo è improponibile riportare quel numero sul nostro quaderno così com'è. Dobbiamo quindi ricorrere ad un'opportuna approssimazione. Vediamo come.

 

Come si approssima un numero decimale

 

La prima cosa da fare è stabilire rispetto a quale cifra approssimare: se alla cifra dei decimi, dei centesimi o dei millesimi. Solitamente è il testo a dircelo ma se così non fosse la scelta cadrà su di noi e sarà del tutto ininfluente. 

 

Una volta decisa la cifra rispetto cui effettuare l'approssimazione, dobbiamo guardare la cifra successiva (immediatamente alla sua destra):

 

 

1) se è uguale a 0, 1, 2, 3, 4, allora lasciamo la cifra rispetto cui stiamo approssimando così com'è ed eliminiamo tutte le successive. Si dice che stiamo approssimando per difetto;

 

 

2) se la cifra a destra è 5, 6, 7, 8, 9, allora aumenteremo la cifra in esame di uno ed elimineremo le successive. Questa si sirà approssimazione per eccesso.

 

Più difficile a dirsi che a farsi! I seguenti esempi chiariranno definitivamente il tutto.

 

 

Esempio

 

Prendiamo il numero che è rappresentato come risultato nell'immagine della calcolatrice

 

 

0,\underbrace{1}_{\mbox{decimi}}\underbrace{9}_{\mbox{centesimi}}\underbrace{3}_{\mbox{millesimi}}5483870967742

 

 

e approssimiamolo alla cifra dei decimi.

 

Guardiamo la cifra successiva. È un 9. Siamo nel caso 2): dobbiamo aumentare la cifra in esame di 1, ossia dobbiamo approssimare la cifra dei decimi per eccesso e riscrivere il numero approssimato come 0,2.

 

Approssimando alla cifra dei centesimi, essendo la cifra successiva un 3, dobbiamo effettuare un'approssimazione per difetto, ossia cancellare tutte le cifre dai centesimi in poi lasciando il resto così com'è: 0,19.

 

Come approssimare un numero naturale

 

Oltre che per i numeri decimali potrebbe essere richiesta un'approssimazione anche per i numeri naturali. Il procedimento da seguire è quasi identico. Basta considerare la cifra a destra rispetto alla quale stiamo effettuando l'approssimazione e comportarsi di conseguenza in base al suo valore:

 

- se è minore di 5 si lascia la cifra scelta così com'è e si sostiuiscono le altre con degli zeri (approssimazione per difetto);

 

- se è maggiore o uguale a 5 si aumenta la cifra in esame di 1 sostituendo poi le rimanenti con degli zeri (approssimazione per eccesso).

 

A titolo di esempio approssimiamo prima alla cifra delle decine e poi alla cifra delle centinaia il numero naturale 123752.

 

Approssimato alla cifra delle centinaia sarà 123800 in quanto la cifra delle centinaia (7) è seguita da un 5. Dobbiamo quindi aumentare le centinaia di 1 (7+1=8) e sostituire le cifre rimanenti con degli zeri.

 

Approssimato alla cifra delle decine sarà 123750 poiché la cifra successiva al 5 (decine) è un 2 quindi il 5 rimane inalterato.

 

Facile, vero? :)

 

Ora provateci voi! Completate la seguente tabella approssimando i numeri della prima colonna rispetto alla cifra indicata nella seconda

 

 

\begin{array}{|c|c|c|} \cline{1-3} \mbox{numero da approssimare} & \mbox{cifra rispetto cui approssimare} & \mbox{ \ \ \ \ risultato \ \ \ \ } \\ \cline{1-3} 5,4567 & \mbox{decimi} & \\ \cline{1-3} 9,5487 & \mbox{centesimi} &  \\ \cline{1-3}97362 & \mbox{migliaia} & \\ \cline{1-3} 125,4632 & \mbox{millesimi} & \\ \cline{1-3} 658478 & \mbox{unita' di migliaia} & \\ \cline{1-3} 52,457 & \mbox{unita'} & \\ \cline{1-3}\end{array}

 

 

Soluzioni

 

 

\begin{array}{|c|c|c|} \cline{1-3} \mbox{numero da approssimare} & \mbox{cifra rispetto cui approssimare} & \mbox{ \ \ \ \ risultato \ \ \ \ } \\ \cline{1-3} 5,4567 & \mbox{decimi} & 5,5\\ \cline{1-3} 9,5487 & \mbox{centesimi} & 9,55 \\ \cline{1-3}97362 & \mbox{migliaia} & 97000\\ \cline{1-3} 125,4632 & \mbox{millesimi} & 125,463\\ \cline{1-3} 658478 & \mbox{unita' di migliaia} & 658000 \\ \cline{1-3} 52,457 & \mbox{unita'} & 52\\ \cline{1-3}\end{array}

 

 


 

In una delle prossime lezioni parleremo di un'altra bestia nera che spesso mette in crisi gli studenti: vedremo come scrivere un numero in notazione scientifica

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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