Tavole numeriche

Le tavole numeriche sono tabelle che riportano il quadrato, il cubo, la radice quadrata e la radice cubica dei numeri da 1 fino ad un determinato numero, tipicamente grande, come ad esempio 1000. Le tavole numeriche permettono di calcolare facilmente le radici di tali numeri.

 

Nella precedente lezione abbiamo visto che il calcolo della radice quadrata senza calcolatrice non è affatto semplice e spesso richiede molto tempo e attenzione soprattutto se si tratta di un numero con molte cifre. In questa lezione vedremo come usare le tavole numeriche e come calcolare la radice quadrata con le tavole numeriche, che solitamente si trovano alla fine di ogni libro.

 

Prima di procedere mettiamo subito a vostra disposizione una versione delle tavole numeriche in pdf, da scaricare ed eventualmente stampare. ;)

 

Cosa sono le tavole numeriche

 

Le tavole numeriche sono semplicemente una tabella con cinque colonne, di cui ne riportiamo uno stralcio, per poi vedere insieme quali informazioni ci fornisce.

 

 

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{1-5} {\color{Blue}n}  & {\color{Blue}n^2}  & {\color{Blue}\sqrt{n}} & {\color{Blue}n^3} & {\color{Blue}\sqrt[3]{n}} \\ \cline{1-5}\ 530 \ & \ 280.900 \ & \ 23,0217 \ & \ 148.877.000 \ & \ 8,0927 \ \\ \cline{1-5} 531 & 281.961 & 23,0434 & 149.721.291 & 8,0978 \\ \cline{1-5} 532 & 283.024 & 23,0651 & 150.568.768 & 8,1028 \\ \cline{1-5} 533 & 284.089 & 23,0868 & 151.419.437 & 8,1079 \\ \cline{1-5} 534 & 285.156 & 23,1084 & 152.273.304 & 8,1130 \\ \cline{1-5}535 & 286.225 & 23,1301 & 153.130.375 & 8,1180 \\ \cline{1-5}\end{array}

 

 

Ora analizziamo le informazioni fornite dalle tavole numeriche:

 

- la prima colonna, n, riporta tutti i numeri naturali da 1 a 1000;

 

- le colonne, n2 ed n3, indicando rispettivamente la potenze seconda e terza del numero nella prima colonna;

 

- \sqrt{n}\mbox{ e }\sqrt[3]{n} altro non sono se non la radice quadrata e la radice cubica del numero n.

 

Calcolo della radici quadrate con le tavole numeriche

 

Vediamo come calcolare la radice quadrata di un numero naturale con le tavole numeriche. Ora che abbiamo visto com'è fatta una tavola numerica, impariamo ad utilizzarla per calcolare la radice quadrata di un numero naturale distinguendo tre casi.

 

 

Caso 1) il numero di cui vogliamo calcolare la radice è compreso tra 1 e 1000.

 

In questa eventualità l'uso delle tavole numeriche è diretto.

 

Ricordando infatti che la prima colonna contiene tutti i numeri naturali tra 1 e 1000, basta cercare il numero dato nella prima colonna e leggere il corrispondente valore nella colonna \sqrt{n}

 

Supponendo di voler calcolare la radice quadrata di 646

 

 

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{1-5} {\color{Blue}n} & {\color{Blue}n^2} & {\color{Blue}\sqrt{n}} & {\color{Blue}n^3} & {\color{Blue}\sqrt[3]{n}} \\ \cline{1-5}\ 644 \ & \ 414.736 \ & \ 25,3772 \ & \ 267.089.984 \ & \ 8,6357 \ \\ \cline{1-5} 645 & 416.025 & 25,3969 & 268.336.125 & 8,6401 \\ \cline{1-5} {\color{Blue}646} & 417.316 & {\color{Red}25,4165} & 269.586.136 & 8,6446 \\ \cline{1-5} 647 & 418.609 & 25,4362 & 270.840.023 & 8,6490 \\ \cline{1-5}\end{array}

 

e quindi la tavola numerica ci dice che la radice quadrata di 646 è

 

\sqrt{646}=25,4165

 

 

Caso 2) Il numero di cui estrarre la radice quadrata è un numero naturale compreso tra 1001 e 1.000.000 (un milione).

 

In questo caso il numero assegnato va cercato nella colonna n2 delle tavole numeriche e si possono presentare due possibilità:

 

 

2.1) il numero dato è un quadrato perfetto, cioè riusciamo a trovarlo nella colonna n2. La sua radice quadrata si leggerà sulla stessa riga nella colonna n

 

Ad esempio se volessimo calcolare la radice quadrata di 416.025 con le tavole, avremmo

 

 

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{1-5} {\color{Blue}n} & {\color{Blue}n^2} & {\color{Blue}\sqrt{n}} & {\color{Blue}n^3} & {\color{Blue}\sqrt[3]{n}} \\ \cline{1-5}\ 644 \ & \ 414.736 \ & \ 25,3772 \ & \ 267.089.984 \ & \ 8,6357 \ \\ \cline{1-5} {\color{Blue}645} & {\color{Red}416.025} & 25,3969 & 268.336.125 & 8,6401 \\ \cline{1-5} 646 & 417.316 & 25,4165 & 269.586.136 & 8,6446 \\ \cline{1-5} 647 & 418.609 & 25,4362 & 270.840.023 & 8,6490 \\ \cline{1-5}\end{array}

 

 

e di conseguenza

 

\sqrt{416.025}=645

 

 

2.2) Non riusciamo a trovare il numero nella colonna n2, cioè non è un quadrato perfetto.

 

In questo caso dobbiamo trovare, sempre nella colonna n2due numeri tra cui è compreso il nostro, in modo da cercare una radice approssimata all'unità.

 

Più difficile a dirsi che a farsi. Vediamone un esempio calcolando la radice quadrata del numero 282.300 con le tavole numeriche.

 

Leggendo le tavole numeriche nella colonna dei quadrati

 

 

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{1-5} {\color{Blue}n} & {\color{Blue}n^2} & {\color{Blue}\sqrt{n}} & {\color{Blue}n^3} & {\color{Blue}\sqrt[3]{n}} \\ \cline{1-5}\ 530 \ & \ 280.900 \ & \ 23,0217 \ & \ 148.877.000 \ & \ 8,0927 \ \\ \cline{1-5} 531 & {\color{Blue}281.961} & 23,0434 & 149.721.291 & 8,0978 \\ \cline{1-5} 532 & {\color{Red}283.024} & 23,0651 & 150.568.768 & 8,1028 \\ \cline{1-5} 533 & 284.089 & 23,0868 & 151.419.437 & 8,1079 \\ \cline{1-5}\end{array}

 

 

abbiamo il numero 281.961 seguito da 283.024. Il nostro numero (282.300) è compreso tra essi, pertanto come abbiamo già visto nella lezione sul calcolo della radice quadrata di un numero possiamo dire che

 

\sqrt{282.300}=531 approssimata per difetto a meno di una unità;

 

\sqrt{282.300}=532 approssimata per eccesso a meno di una unità.

 

Se vogliamo un'approssimazione maggiore non abbiamo vie di scampo; dobbiamo necessariamente procedere come visto nell'articolo sul calcolo della radice quadrata senza calcolatrice.

 

 

Caso 3) Il numero di cui calcolare la radice quadrata è maggiore di un milione.

 

In questo caso le tavole numeriche saranno utili solo in parte. Supponiamo ad esempio di voler calcolare \sqrt{1.927.351}

 

a) Scomponiamo il radicando in gruppi di due cifre a partire da destra

 

1^{\cdot}92^{\cdot}73^{\cdot}51

 

b) Partendo da sinistra prendiamo tanti gruppi di cifre tali da formare un numero minore di un milione. Nel nostro caso prenderemo quindi le prime 3 suddivisioni, ovvero

 

1^{\cdot}92^{\cdot}73

 

cioè il numero 19.273, e cercheremo una radice di questo numero approssimata per difetto come visto nel caso 2)



\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{1-5} {\color{Blue}n} & {\color{Blue}n^2} & {\color{Blue}\sqrt{n}} & {\color{Blue}n^3} & {\color{Blue}\sqrt[3]{n}} \\ \cline{1-5}\ 137 \ & \ 18.769 \ & \ 11,7047 \ & \ 2.571.353 \ & \ 5,1551 \ \\ \cline{1-5} {\color{Blue}138} & {\color{Red}19.044} & 11,7473 & 2.628.072 & 5,1676 \\ \cline{1-5} 139 & {\color{Red}19321} & 11,7898 & 2.685.619 & 5,1801 \\ \cline{1-5} 140 & 19.600 & 11,8322 & 2.744.000 & 5,1925 \\ \cline{1-5}\end{array}

 

 

per cui \sqrt{19273}=138 approssimata per difetto a meno di una unità, e in particolare abbiamo 138^2=19044.

 

c) Consideriamo il numero di partenza

 

1^{\cdot}92^{\cdot}73^{\cdot}51

 

e inseriamo 138 ed il suo quadrato al posto in cui risulterebbero se avessimo calcolato la radice quadrata secondo l'algoritmo visto nella lezione precedente.

 

 

\begin{array}{c|c}\sqrt{\color{blue}1^{\color{red}\cdot\color{black}}\color{black}92^{\color{red}\cdot\color{black}}73^{\color{red}\cdot}51}&\color{blue}138\color{black}\quad\quad\\\cline{2-2}\,\,\color{blue} \ \ \ \ 1.90.44\quad\quad\\ \cline{1-1}\,\,\color{blue}\quad\quad\end{array}

 

 

d) Continuiamo il calcolo

 

 

\begin{array}{c|c}\sqrt{19273\color{DarkGreen}51}&\color{blue}138\color{black}\color{red}8\color{black}\\\cline{2-2}\ \ 19044  \downarrow& 276\color{red}8\color{black}\times\color{red}8\color{black}=22144\\ \cline{1-2} \ \ \ \ \ \ 229{\color{DarkGreen}51}\\\,\quad \ \  22144\\\cline{1-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ 807\end{array}

 

 

In definitiva avremo che la radice del numero è \sqrt{1927351}=1388, approssimata per difetto a meno di una unità.

 

 


 

Per ora è tutto! Teniamo a sottolineare che imparare ad usare le tavole numeriche è ormai più che altro un (utile) esercizio per sviluppare determinate capacità nel ragionamento. Avrete di certo notato che quando si ha a che fare con la radice quadrata di un numero molto grande, e non si dispone di una calcolatrice, purtroppo non possiamo far altro se non conti, conti ed ancora conti.

 

Il metodo non sarà divertentissimo, di certo però le tavole numeriche forniscono un buon modo per tenerci in allenamento! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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