Radice quadrata

La radice quadrata di un numero (detto radicando), o radice con indice 2, è quel numero che elevato alla seconda restituisce il radicando. La radice quadrata può essere calcolata solo di un numero positivo o nullo, ed è l'operazione inversa dell'elevamento a seconda.

 

In questa lezione parleremo della radice quadrata di un numero, operazione che in genere si affronta per la prima volta quando si studia il teorema di Pitagora.

 

Nello specifico ci occuperemo della radice quadrata esatta e della radice quadrata approssimata all'unità. Vedremo anche cosa si intende con quadrato perfetto e come calcolarne la radice senza usare la calcolatrice.

 

Radice quadrata di un numero naturale

 

Calcolare la radice quadrata di un numero naturale vuol dire trovare quel numero positivo che elevato alla seconda potenza ci dà come risultato il numero di partenza.

 

Ecco alcuni esempi sulla radice quadrata

 

 

\\ \sqrt[2]{25}=5 \ \mbox{in quanto} \ 5^2=25\\ \\ \sqrt[2]{36}=6 \ \mbox{dal momento che} \ 6^2=36\\ \\ \sqrt[2]{121}=11 \ \mbox{essendo} \ 11^2=121

 

 

Generalmente quando si parla di radici quadrate si omette l'indice 2 sopra al segno di radice. Impariamo ora il nome dei termini di questa operazione:

 

- il numero di cui vogliamo calcolare la radice quadrata si chiama radicando;

 

- il simbolo della radice quadrata \sqrt{ \ \ \ } si dice segno di radice;

 

- il risultato prende il nome di radice quadrata.

 

 

radice quadrata di un numero

 

 

In altri termini, possiamo enunciare la definizione di radice quadrata nel modo seguente: la radice quadrata di un numero (cioè la radice quadrata del radicando) è quel numero naturale che, elevato alla seconda, ci dà come risultato il radicando.

 

Radice quadrata di un quadrato perfetto

 

Consideriamo alcune radici quadrate, per esempio

 

 

\\ \sqrt{64}=8 \ \ \ \sqrt{100}=10 \ \ \ \sqrt{81}=9 \ \ \ \sqrt{49}=7\\ \\ \sqrt{27}={\color{Red}?} \ \ \ \sqrt{39}={\color{Red}?} \ \ \ \sqrt{72}={\color{Red}?}

 

 

Possiamo notare che solo per alcuni numeri esiste la radice quadrata esatta, ovvero esiste un numero che, elevato alla seconda, ci dà esattamente il radicando.

 

Questi numeri (64, 100, 81, 49, 144, ...) vengono detti quadrati perfetti.

 

Riconoscere i quadrati perfetti e calcolarne la radice quadrata

 

Come facciamo a capire se un numero è un quadrato perfetto? Per riuscirci basta scomporre il numero in fattori primi; se risulta uguale al prodotto di fattori tutti con esponente pari è un quadrato perfetto altrimenti no. 

 

Per esempio, utilizzando i criteri di divisibilità scomponiamo in fattori primi i numeri 64, 72, 100 e 27 e vediamo se sono o meno dei quadrati perfetti. 

 

 

\begin{array}{r|l r|l r|l r|l} {\color{Red}64} & 2 \ \ \ & {\color{Red}72} & 2 \ \ \ & {\color{Red}100} & 5 \ \ \ & {\color{Red}27} & 3 \\ 32 & 2 \ & 36 & 2 \ & 20 & 5 \ & 3 & 3 \\ 16 & 2 \ & 18 & 2 \ & 4 & 2 \ & 3 & 3 \\ 8 & 2 \ & 9 & 3 \ & 2 & 2 \ & 1 & \\ 4 & 2 \ & 3 & 3 \ & 1 & \\ 2 & 2 & \ 1 & \\ 1  \end{array}

 

Allora

 

64=2^{{\color{Blue}6}}, \ \ \ 72=2^{{\color{Blue}3}} \times 3^{{\color{Blue}2}}, \ \ \ 100=2^{{\color{Blue}2}} \times 5^{{\color{Blue}2}}, \ \ \ 27=3^{{\color{Blue}3}}

 

100 e 64 sono uguali al prodotto di numeri primi con esponente pari, quindi sono dei quadrati perfetti, mentre 72 e 27 non sono quadrati perfetti perché nello rispettive scomposizioni compaiono esponenti dispari.

 

E come si calcola la radice quadrata di un quadrato perfetto? È semplice: la radice quadrata di un quadrato perfetto si ottiene dimezzando gli esponenti dei fattori che compaiono nella scomposizione.

 

Ad esempio

 

\begin{array}{r|l} {\color{Red}3025} & 5 \\ 605 & 5 \\ 121 & 11 \\ 11 & 11 \\ 1 & \end{array}

 

e quindi essendo

 

3025=5^2 \times 11^2

 

la sua radice quadrata è semplicemente data da

 

\sqrt{3025}=5 \times 11 = 55 

 

Radice quadrata approssimata

 

Abbiamo appena visto che se un numero non è un quadrato perfetto allora non ne esiste la radice quadrata esatta. Come ci comportiamo in questi casi? Possiamo procedere scrivendo la radice quadrata approssimata all'unità.

 

Vediamone un esempio:

 

 

Radice quadrata approssimata

 

 

Dove 5 è la radice quadrata di 27 approssimata per difetto a meno di una unità, cioè è il numero più grande che, elevato alla seconda, ci dà un numero che non supera 27. Infatti

 

5^2=25<27

 

Al contrario, 6 è la radice quadrata di 27 approssimata per eccesso a meno di una unità, ovvero è il numero più piccolo che, elevato alla seconda, ci dà un numero che supera 27. Infatti

 

6^2=36>27

 

Questo ci basta per concludere che la radice quadrata di 27 è un numero compreso tra 5 e 6, ma al momento non possiamo dire di più.

 

Prendiamo per un momento la calcolatrice e calcoliamo la radice quadrata di 27. Otterremo

 

\sqrt{27}=5,196152...

 

ovvero, come ci aspettavamo, un numero decimale compreso tra 5 e 6.

 

E se volessimo calcolare le cifre decimali senza l'aiuto della calcolatrice, cioè ottenere un approssimazione maggiore dell'unità? È possibilissimo farlo a mano, serve solo un po' di pazienza ed una buona dose di calcoli. Sarà proprio questo l'argomento della prossima lezione, dove vedremo come calcolare la radice quadrata senza calcolatrice di un numero.

 

 

Per chi fosse interessato, qui è disponibile una tabella con le radici quadrate dei primi 1000 interi, con i valori approssimati alla quinta cifra decimale. È in formato pdf, da scaricare gratuitamente e da stampare. :)

 

 


 

 

Prima di salutarvi permetteteci di fare due piccole ed utili osservazioni; senza dilungarci più di tanto (avrete modo di approfondire questo aspetto proseguendo con i vostri studi) badate bene che, nell'insieme dei numeri reali, la radice quadrata di un numero negativo non esiste.

 

Inoltre, per chi ha già studiato le frazioni, consigliamo un'interessante lettura sulla radice quadrata di una frazione.

 

Con questo è davvero tutto! Nelle prossime lezioni parleremo del calcolo delle radici a mano e passeremo successivamente a parlare della radice cubica. In caso di dubbi, problemi o perplessità vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna e di allenarvi con gli esercizi risolti disponibili sul sito, e se volete effettuare il calcolo online della radice quadrata potete servirvi della nostra calcolatrice: per indicare la radice di un numero vi basta scrivere sqrt(numero). ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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