Ordine delle operazioni

L'ordine delle operazioni è un insieme di regole di calcolo delle varie operazioni algebriche, che stabiliscono le priorità e l'ordine con cui devono essere svolte le operazioni in un'espressione matematica.

 

Chiunque si sia trovato di fronte ad un'espressione aritmetica, almeno una volta avrà avuto dei dubbi su quale operazione svolgere per prima. Poco male! Lo scopo di questo articolo è proprio quello di vedere le regole che stabiliscono, in modo universale, l'ordine con cui eseguire le operazioni.

 

 

Se vi chiedessimo di svolgere 2+3 \times 2, svolgendo prima l'addizione e poi la moltiplicazione risulterebbe

 

(2+3) \times 2 = 5 \times 2 = {\color{Red}10}

 

mentre svolgendo prima il prodotto e poi la somma

 

2+(3 \times 2)=2+6={\color{Blue}8}

 

Come potete vedere i due risultati sono diversi. Ecco allora la necessità di stabilire delle regole che permettono di stabilire l'ordine delle operazioni.

 

Ordine con cui eseguire le operazioni e precedenze

 

Il metodo migliore di procedere è distinguere le varie situazioni, in questo modo avrete uno specchietto corredato da esempi che non lascerà più spazio a dubbi.

 

 

1) L'espressione non contiene parentesi.

 

 

1a) Se sono presenti solo addizioni o solo moltiplicazioni, grazie alla proprietà associativa si può procedere in qualsiasi ordine come mostrato negli esempi che seguono

 

 

\\ 5+10+6+3=\underbrace{{\color{Red}15}}_{5+10}+6+3=\underbrace{{\color{Blue}21}}_{15+6}+3=24\\ \\ \\ 5+10+6+3=5+\underbrace{{\color{Red}16}}_{10+6}+3=5+\underbrace{{\color{Blue}19}}_{16+3}=24\\ \\ \\ 5+10+6+3=\underbrace{{\color{Red}15}}_{5+10}+\underbrace{{\color{Blue}9}}_{3+6}=24\\ \\ \\ \mbox{allo stesso modo}\\ \\ \\ 3 \times 7 \times 4 \times 2 = \underbrace{{\color{Red}21}}_{3 \times 7} \times 4 \times 2 = \underbrace{{\color{Blue}84}}_{21 \times 4} \times 2 = 168\\ \\ \\ 3 \times 7 \times 4 \times 2 = 3 \times \underbrace{{\color{Red}28}}_{7 \times 4} \times 2 = \underbrace{{\color{Blue}84}}_{3 \times 28} \times 2 = 168\\ \\ \\ 3 \times 7 \times 4 \times 2 = \underbrace{{\color{Red}21}}_{3 \times 7} \times \underbrace{{\color{Blue}8}}_{4 \times 2} = 168

 

 

1b) Se l'espressione contiene solo sottrazioni, solo divisioni, oppure solo addizioni e sottrazioni, oppure moltiplicazioni e divisioni si procede eseguendo le operazioni nell'ordine in cui sono scritte.

 

 

\\ 54-6-20-12=\underbrace{{\color{Red}48}}_{54-6}-20-12=\underbrace{{\color{Blue}28}}_{48-20}-12=16\\ \\ \\ 600:10:2:5=\underbrace{{\color{Red}60}}_{600:10}:2:5=\underbrace{{\color{Blue}30}}_{60:2}:5=6\\ \\ \\ 124+36-54-6+12=\underbrace{{\color{Red}160}}_{124+36}-54-6+12=\underbrace{{\color{Blue}106}}_{160-54}-6+12=\underbrace{{\color{DarkGreen}100}}_{106-6}+12=112\\ \\ \\ 44:2 \times 3 : 11 = \underbrace{{\color{Red}22}}_{44:2} \times 3 : 11 = \underbrace{{\color{Blue}66}}_{22 \times 3} : 11=6

 

 

1c) Se sono presenti tutte e quattro le operazioni si procede eseguendo prima le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine in cui sono scritte e poi le addizioni e le sottrazioni sempre nell'ordine in cui compaiono

 

 

\\ 25 + 3 \times 5 - 30 : 3 + 2 = 25 + \underbrace{{\color{Red}15}}_{3 \times 5} - \underbrace{{\color{Blue}10}}_{30:3} + 2 = 25+15-10+2=40-10+2=\\ \\ =30+2=32

 

 

2) Se l'espressione contiene delle parentesi queste hanno delle precedenze. Esistono tre tipi di parentesi chiamate:

 

- parentesi tonde {\color{Red} \big( \ \big)}

 

- parentesi quadre {\color{Blue} \big[ \ \big]}

 

- parentesi graffe {\color{DarkGreen} \big\{ \ \big\}}


Le regole da tener presenti in caso di parentesi sono le seguenti:

 

2a) si comincia risolvendo le operazioni che compaiono dentro le parentesi tonde rispettando le regole viste al punto 1);

 

2b) si procede risolvendo le operazioni all'interno delle parentesi quadre;

 

2c) in ultimo si effettuano le operazioni dentro le parentesi graffe rispettando le medesime regole;

 

2d) si eseguono le operazioni rimaste.

 

Esempio sull'ordine delle operazioni

 

Proviamo, seguendo quanto appena visto a calcolare il valore della seguente espressione con le principali operazioni tra numeri naturali

 

42:{\color{DarkGreen}\{}{\color{Red}(}19 \times 5 +10{\color{Red})} : {\color{blue}[}{\color{Red}(}5 \times 4 + 7{\color{Red})}:9+{\color{Red}(}49:7+3{\color{Red})}:5{\color{Blue}]}{\color{DarkGreen}\}}=

 

Iniziamo dalle parentesi tonde eseguendo prima moltiplicazioni e divisioni e poi le addizioni

 

 

\\ {\color{Red}(}19 \times 5 +10{\color{Red})}=\underbrace{95}_{19 \times 5}+10=105\\ \\ \\ {\color{Red}(}5 \times 4 + 7{\color{Red})}=\underbrace{20}_{5 \times 4}+7=27\\ \\ \\ {\color{Red}(}49:7+3{\color{Red})}=\underbrace{7}_{49:7}+3=10

 

Sostituendo nell'espressione iniziale otteniamo

 

=42:{\color{DarkGreen}\{}105 : {\color{Blue}[}27 : 9 + 10 : 5{\color{Blue}]}{\color{DarkGreen}\}}=

 

Passiamo ora a svolgere le operazioni all'interno delle parentesi quadre dando la precedenza alle due divisioni e poi eseguendo la sottrazione

 

\\ =42:{\color{DarkGreen}\{}105 : {\color{Blue}[}3 + 2{\color{Blue}]}{\color{DarkGreen}\}}=\\ \\ =42:{\color{DarkGreen}\{}105 : 5{\color{DarkGreen}\}}=

 

Eseguiamo ora la divisione all'interno delle graffe giungendo così al risultato finale.

 

=42:21=2

 

 

Le regole viste in questo articolo continuano a valere quando si ha a che fare con operazioni con i numeri decimali e operazioni tra frazioni.

 

Come avrete di certo notato non abbiamo parlato delle potenze. Il motivo è semplice. Vi abbiamo dedicato un'intero articolo: espressioni con le potenze - click! 

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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