Operazioni con le frazioni

Le operazioni con le frazioni sono le classiche operazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza) in cui gli operandi sono frazioni. Per questo motivo, le operazioni tra frazioni sono caratterizzate da regole di calcolo specifiche.

 

Se avete dubbi su come si calcolano l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione o la potenza di frazioni, continuate a leggere! In questa lezione dedicata agli studenti della scuola media spiegheremo in modo semplice come svolgere tutte le operazioni con le frazioni. ;)

 

Prima di procedere con la spiegazione premettiamo che è necessario saper effettuare la riduzione ai minimi termini. Se non ricordate come fare basta un click sul link precedente.

 

Somma tra frazioni

 

La prima delle operazioni con le frazioni di cui ci occupiamo è la somma tra frazioni. Vediamo come si effettua proponendo un esempio.

 

Disegniamo un rettangolo e frazioniamolo in 7, cioè dividiamolo in 7 parti uguali. Coloriamo due parti di rosso, ossia i \frac{2}{7} e poi in blu altre tre ovvero i \frac{3}{7}

 

 

Addizione tra frazioni

 

Quante sono in tutto le parti colorate? Sono cinque, cioè i \frac{5}{7} del totale, la somma di \frac{2}{7}\mbox{ e }\frac{3}{7}.

 

In simboli

 

\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}

 

Da questo semplicissimo esempio possiamo dedurre la regola generale della somma tra frazioni, esponendola in due punti.

 

1) La somma di due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che avrà come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori.

 

Ad esempio

 

\\ \frac{5}{2}+\frac{7}{2}=\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}=6\\ \\ \\ \frac{2}{3}+\frac{11}{3}=\frac{2+11}{3}=\frac{13}{3}\\ \\ \\ \frac{27}{8}+\frac{55}{8}=\frac{82}{8}=\frac{41}{4}

 

2) Se le frazioni da sommare non hanno lo stesso denominatore, prima di effettuare l'addizione, si riconducono tutte allo stesso denominatore calcolando il minimo comune denominatore.

 

Ad esempio

 

\\ \frac{5}{2}+\frac{8}{3}+\frac{7}{8}=?\\ \\ \mbox{mcm}(2,3,8)=8 \times 3 = 24

 

A questo punto si traccia un'unica linea di frazione scrivendo come denominatore il mcm trovato

 

\frac{...+...+...}{24}

 

Per trovare i numeratori che formeranno la somma si divide il denominatore comune appena trovato per il vecchio denominatore e si moltiplica per il rispettivo numeratore, cioè

 

\\ 24:2=12 \times 5 = {\color{Red}60}\\ \\ 24:3=8 \times 8 = {\color{Red}64}\\ \\ 24:8=3 \times 7 = {\color{Red}21}

 

quindi scriveremo

 

\frac{60+64+21}{24}=\frac{145}{24}

 

 

L'addizione tra frazioni così come il prodotto (che vedremo tra poco) godono delle proprietà commutativa, associativa e dissociativa.

 

Se vuoi approfondire e vedere altri esempi, dai un'occhiata a addizione di frazioni.

 

Differenza tra frazioni

 

La seconda operazione tra frazioni che trattiamo è la differenza tra frazioni. Prendiamo ancora il nostro famoso rettangolo diviso in 7 parti uguali e coloriamone in rosso, questa volta, 5 parti cioè i \frac{5}{7}. Di queste 5 coloriamone 3 di blu ovvero i \frac{3}{7}

 

 

sottrazione tra frazioni

 

Quante parti sono rimaste colorate di rosso? Ovviamente due, cioè i \frac{2}{7} che corrispondono alla differenza tra \frac{5}{7}\mbox{ e }\frac{3}{7}, ovvero

 

\frac{5}{7}-\frac{3}{7}=\frac{2}{7}

 

È giunto il momento di enunciare la regola per la differenza tra due o più frazioni. Anche qui ci sono due casi da considerare.

 

1) La differenza tra due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione avente per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la differenza dei numeratori.

 

Così, ad esempio

 

\\ \frac{16}{3}-\frac{7}{3}=\frac{16-7}{3}=\frac{9}{3}=3\\ \\ \\ \frac{8}{15}-\frac{4}{15}=\frac{8-4}{15}=\frac{4}{15}\\ \\ \\ \frac{20}{17}-\frac{3}{17}-\frac{5}{17}=\frac{20-3-5}{17}=\frac{12}{17}

 

Nota bene: se il numeratore della prima frazione dovesse essere più piccolo dei successivi, nessuna paura! Ricadremo semplicemente nell'insieme dei numeri relativi, come ad esempio in

 

\\ \frac{8}{13}-\frac{15}{13}=\frac{8-15}{13}=-\frac{7}{13}\\ \\ \\ \frac{3}{5}-\frac{4}{5}=\frac{3-4}{5}=-\frac{1}{5}\\ \\ \\ \frac{3}{11}-\frac{12}{11}=\frac{3-12}{11}=\frac{9}{11}

 

2) Se invece le frazioni che stiamo sottraendo non hanno lo stesso denominatore, procederemo come visto per l'addizione tra frazioni, cioè calcoleremo il denominatore comune

 

\\ \frac{3}{4}-\frac{1}{10}-\frac{1}{5}-\frac{1}{20}=?\\ \\ \mbox{mcd}(4, \ 10, \ 5, \ 20)=20\\ \\ \mbox{da cui}\\ \\ \frac{3}{4}-\frac{1}{10}-\frac{1}{5}-\frac{1}{20}=\frac{15-2-4-1}{20}=\frac{\not{8}^2}{\not{20}_5}=\frac{2}{5}

 

 

Cerchi altri esempi sulla differenza di frazioni? Click!

 

Complementare di una frazione

 

La sottrazione tra frazioni ci permette di calcolare il complementare di una frazione, ossia quella frazione che addizionata alla prima da come risultato 1.


Per farlo è sufficiente calcolare la differenza:

 

1 \ - \ \mbox{frazione di cui si vuole trovare il complementare}

 

Così ad esempio il complementare di \frac{2}{3} sarà

 

1-\frac{2}{3}=\frac{3-2}{3}=\frac{1}{3}

 

Prodotto tra frazioni

 

La terza delle operazioni con le frazioni che trattiamo è la moltiplicazione tra frazioni. Anche in questo caso partiamo da un esempio.

 

Dato un segmento \overline{\mbox{AB}} lungo 12 cm consideriamone i \frac{3}{4} cioè dividiamo il segmento in 4 parti e prendiamone 3

 

 

Frazionare un segmento

 

 

Si verrà così a formare il segmento \overline{\mbox{AC}} che misurerà

 

(12:4) \times 3=3 \times 3 = 9 \ \mbox{cm}

 

Ancora, su questo segmento \overline{\mbox{AC}} operiamo con la frazione \frac{2}{3} (dividiamolo quindi in 3 parti e prendiamone 2) ottenendo un segmento \overline{\mbox{AD}} che sarà lungo

 

(9:3) \times 2=3 \times 2 = 6 \ \mbox{cm}

 

 

Frazionare segmento

 

 

Osserviamo che il segmento \overline{\mbox{AD}}=6 \ \mbox{cm} così ottenuto rappresenta i \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} del segmento iniziale \overline{\mbox{AB}}, cioè avremmo ottenuto lo stesso risultato se avessimo operato su \overline{\mbox{AB}} direttamente con la frazione \frac{6}{12 }

 

 

frazionare un segmento in dodici parti

 

 

Possiamo quindi dire che \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} di \mbox{AB} è uguale a \frac{6}{12 } di \overline{\mbox{AB}} e scrivere

 

{\color{Red}\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}=\frac{6}{12}}=\frac{1}{2}

 

Notate che nell'ultimo passaggio abbiamo ridotto la frazione ai minimi termini.

 

Ora siamo pronti per esporre la regola: il prodotto di due o più frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto tra i numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori delle frazioni date.

 

Ecco un paio di altri esempi

 

\\ \frac{5}{4} \times \frac{8}{3}= \frac{5 \times 8}{4 \times 3}=\begin{array}{l c r} & & 10 \\ & \not{40} & \\ \cline{2-2} & \not{12} & \\ 3 & &  \end{array}=\frac{10}{3}\\ \\ \\ \frac{3}{2} \times \frac{1}{6} \times \frac{4}{9}= \frac{3 \times 1 \times 4}{2 \times 6 \times 9}=\begin{array}{l c r} & & 1 \\ & \not{12} & \\ \cline{2-2} & \not{108} & \\ 9 & &  \end{array}=\frac{1}{9}

 

Semplificazione nel prodotto tra frazioni

 

Riprendiamo uno degli esempi appena visti:

 

\frac{5}{4} \times \frac{8}{3}=\frac{10}{3}

 

in cui siamo giunti al risultato finale semplificando il risultato. Vogliamo farvi notare che saremmo giunti alla stessa frazione semplificando, prima di eseguire la moltiplicazione, nel seguente modo:

 

semplificazione nel prodotto tra frazioni

 

cioè semplificando il denominatore di una frazione con il numeratore dell'altra. In generale solo ed escusivamente nel prodotto tra frazioni la semplificazione può avvenire ad incrocio cioè si può semplificare il numeratore di una col denominatore dell'altra.

 

Esempi di semplificazione ad incrocio nel prodotto tra frazioni

 

semplificazione ad incrocio nel prodotto di frazioni

 

 

Se ti servono altri esempi sulla moltiplicazione tra frazioni - click!

 

Frazioni inverse o reciproche

 

Prima di passare a parlare della divisione tra frazioni è necessario introdurre il concetto di frazione inversa, o frazione reciproca.

 

Due frazioni si dicono inverse o reciproche (frazioni reciproche) se il loro prodotto è uguale ad uno.

 

Ad esempio \frac{3}{2} è l'inversa di \frac{2}{3}, infatti

 

\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 1

 

così come \frac{5}{6} è la reciproca di \frac{6}{5} essendo

 

\frac{5}{6} \times \frac{6}{5} = 1

 

Dovreste aver capito che, molto semplicemente, l'inversa di una frazione si ottiene scambiando numeratore e denominatore.

 

Rapporto tra frazioni

 

Per eseguire la divisione tra due frazioni basta moltiplicare la prima per l'inversa della seconda. Così

 

\frac{3}{5}:\frac{7}{2}=\frac{3}{5}\times \frac{2}{7}=\frac{3 \times 2}{5 \times 7}=\frac{6}{35}

 

Quindi se sapete svolgere il prodotto tra frazioni, la divisione risulterà una passeggiata in quanto, come abbiamo visto, tramite un semplicissimo artificio ci si riconduce proprio alla moltiplicazione.

 

Esempi

 

\\ \frac{5}{8}:\frac{9}{4}=\frac{5}{8} \times \frac{4}{9} = \mbox{semplificazione ad incrocio} = \frac{5}{18}\\ \\ \\ \frac{3}{5}:\frac{7}{11}=\frac{3}{5} \times \frac{11}{7} = \frac{33}{35}\\ \\ \\ \frac{5}{7}:\frac{3}{14}=\frac{5}{7} \times \frac{14}{3} = \mbox{semplificazione ad incrocio} = \frac{10}{3}

 

 

La divisione tra frazione così come la sottrazione godono della proprietà invariantiva. Vuoi dare un'occhiata ad altri esempi sulla divisione tra frazioni? Click!

 

Elevamento a potenza di una frazione

 

Sappiamo che una frazione è formata da due numeri naturali, uno dei quali andrà a formare il numeratore e l'altro il denominatore. Quindi, in analogia con quanto visto nella lezione sulle operazioni tra numeri naturali, la potenza di una frazione è il prodotto della frazione che stiamo considerando per se stessa tante volte quanto indicato dall'esponente:

 

\left(\frac{2}{3}\right)^{{\color{Red}2}}=\underbrace{\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}}_{\mbox{2 volte}} = \frac{4}{9}, \ \ \left(\frac{5}{2}\right)^{{\color{Red}3}}=\underbrace{\frac{5}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{2}}_{\mbox{3 volte}} = \frac{125}{8}

 

Dagli esempi visti possiamo dedurre la regola di calcolo della potenza di una frazione: la potenza di una frazione è una nuova frazione che ha a numeratore la potenza del numeratore e a denominatore la potenza del denominatore.

 

Per fare un esempio:

 

\left(\frac{3}{2}\right)^{{\color{Red}2}}=\frac{3^{\color{Red}2}}{2^{\color{Red}2}}=\frac{9}{4}, \ \ \left(\frac{4}{3}\right)^{{\color{Red}3}}=\frac{4^{\color{Red}3}}{3^{\color{Red}3}}=\frac{64}{27}

 

Attenzione alle parentesi! La potenza di una frazione va sempre indicata mettendo la frazione tra parentesi, in quanto la parentesi va riferita sia al numeratore che al denominatore; se si tralascia la parentesi la potenza si intende riferita al solo numeratore

 

\left(\frac{5}{4}\right)^{{\color{Red}3}}=\frac{5^{\color{Red}3}}{4^{\color{Red}3}}=\frac{125}{64},  \ \ \mbox{invece} \ \ {\frac{5}{4}}^{{\color{Red}3}}=\frac{125}{4}

 

 

Anche per le potenze di frazioni continuano a valere le proprietà delle potenze.

 

Frazione di un numero

 

Ora che è chiaro come si svolgono le principali operazioni tra frazioni vediamo come si calcola la frazione di un numero.

 

Per trovare la frazione di un numero è sufficiente svolgere una moltiplicazione tra frazioni in cui uno dei due fattori è un numero intero.

 

Ad esempio, per calcolare i \frac{3}{4} \mbox{ di } 12 basta procedere come segue:

 

\frac{3}{4} \mbox{ di } 12 \ = \ \frac{3}{4} \times 12 \ = \mbox{ semplificazione ad incrocio } = \ \frac{3}{1} \times 3 \ = \ 9

 

Ecco un altro esempio

 

\frac{2}{5} \mbox{ di } 20 \ = \ \frac{2}{5} \times 20 \ = \mbox{ semplificazione ad incrocio } = \ \frac{2}{1} \times 4 = 8

 

 


 

That's all! Nelle prossime lezioni vedremo come si risolvono le espressioni con le frazioni e i problemi con le frazioni! Nel frattempo vi suggeriamo di mettervi alla prova con le schede di esercizi correlati, di cui trovate i link più in basso; e se avete degli esercizi per casa e volete controllare i risultati delle operazioni con le frazioni online, potete ricorrere allo strumento risolvi espressioni. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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