Operazioni con i numeri naturali

Sicuramente sai già dalla scuola elementare come eseguire le operazioni con i numeri naturali; ora però siamo più grandicelli ed è arrivato il momento di ripassarle analizzandone il significato. Inoltre rivedremo come effettuare l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e l'elevamento a potenza tra numeri naturali.

 

Cominciamo quindi col chiederci cos'è un'operazione matematica.

 

Cos'è un'operazione matematica

 

Prendiamo una qualsiasi operazione che conoscono anche i bambini, ad esempio 1+2=3. Cosa abbiamo fatto per ottenere quel risultato? Abbiamo applicato un certo procedimento su due numeri (l'uno ed il due) per ottenere un terzo numero ben preciso (il tre) che soddisfa le condizioni dell'operazione eseguita (in questo caso un'addizione).

 

Possiamo quindi dire che: un'operazione matematica è un procedimento che ci permette di associare a due numeri dati in un certo ordine un terzo numero che soddisfa determinate condizioni dettate dall'operazione che stiamo eseguendo.

 

Chiarito questo concetto andiamo ora ad analizzare le quattro operazioni nel dettaglio.

 

Addizione tra numeri naturali

 

Consideriamo due numeri naturali, ad esempio 3 e 4. Contando successivamente alle unità del primo le unità del secondo si esegue l'operazione aritmetica detta addizione il cui simbolo è il +.

 

 

addizione tra numeri naturali

 

 

Possiamo quindi dire che l'addizione è l'operazione che ci permette di associare a due numeri detti addendi un terzo numero detto somma a cui si giunge contando successivamente al primo tanti numeri consecutivi quante cono le unità del secondo

 

 

termini addizione

 

 

Notiamo che la somma di due qualsiasi numeri appartenenti ad \mathbb{N} (insieme dei numeri naturali) è sempre un numero che appartiene ancora all'insieme \mathbb{N}. In termini matemtici questo si esprime dicendo che l'addizione è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali, ovvero l'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all'addizione.

 

Come si esegue l'addizione tra numeri naturali

 

Per eseguire l'addizione tra due numeri naturali si può procedere in riga se l'addizione da eseguire non è particolarmente difficile, altrimenti si esegue l'addizione in colonna, cioè si incolonnano gli addendi in modo che le unità dello stesso ordine si trovino sulla stessa colonna (cioè unità sotto unità, decine sotto decine, centinaia sotto centinaia.. e così via) come mostra il seguente esempio

 

 

\\ 74+327+1924=?\\ \\ \begin{array}{c c c c c} \mbox{M} & \mbox{h} & \mbox{da} & \mbox{u} & \\ & & 7 & 4 & + \\ & 3 & 2 & 7 & + \\ 1 & 9 & 2 & 4 & = \\ \cline{1-5} 2 & 3 & 2 & 5 & \end{array}

 

 

Hai dubbi sul valore delle cifre di un numero? Ne parliamo qui: il sistema decimale. Invece, se vuoi leggere le guide didattiche per la scuola primaria dedicate all'addizione e alle addizioni in colonna, le trovi nelle pagine dei rispettivi link.

 

Proprietà di cui gode l'addizione

 

Proprietà commutativa: scambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.

 

Proprietà associativa: la somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

 

Proprietà dissociativa: la somma di due o più addendi non cambia se ad uno o a più di essi se ne sostituiscono altri la cui somma è uguale all'addendo sostituito.

 

Invitiamo chi volesse approfondire a leggere la lezione sulle proprietà dell'addizione.

 

Sottrazione tra numeri naturali

 

Prendiamo due numeri naturali, ad esempio 7 e 3. Se all'unità del primo togliamo le unità del secondo eseguiamo l'operazione aritmetica detta sottrazione il cui simbolo è -

 

 

sottrazione tra numeri naturali

 

 

La sottrazione è quindi quell'operazione che permette di associare a due numeri, detti rispettivamente minuendo e sottraendo, un terzo numero, detto differenza o resto, tale che addizionato al sottraendo ci dia come risultato il minuendo, infatti

 

7-4=3

 

proprio perché 3+4=7.

 

Detto in matematichese: la sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.

 

termini sottrazione

 

 

Osserviamo ora che se il minuendo dovesse essere più piccolo del sottraendo il risultato della sottrazione non sarebbe più un numero naturale bensì un numero relativo, ovvero la sottrazione non è un'operazione interna all'insieme \mathbb{N} dei numeri naturali.

 

Come si esegue la sottrazione tra numeri naturali

 

Abbiamo visto che la sottrazione tra numeri naturali è possibile a patto che il minuendo sia maggiore o uguale del sottraendo. Proprio come accade per l'addizione, la sottrazione può essere eseguita in riga se è semplice. Se i conti si fanno complicati la eseguiremo in colonna seguendo le stesse regole di incolonnamento viste per l'addizione.

 

 

\\ 1774-225=?\\ \\ \begin{array}{c c c c c} \mbox{M} & \mbox{h} & \mbox{da} & \mbox{u} & \\ 1 & 7 & 7 & 4 & - \\ & 2 & 2 & 5 & =\\ \cline{1-5} 1 & 5 & 4 & 9 & \end{array}

 

 

Per approfondire puoi leggere le guide didattiche per le scuole elementari sulla sottrazione e sulle sottrazioni in colonna.

 

Proprietà della sottrazione

 

L'unica proprietà di cui gode la sottrazione tra numeri naturali è la proprietà invariantiva (click per scoprirne utilizzo, vita, morte e miracoli). L'argomento viene trattato nel dettaglio anche nella lezione sulle proprietà della sottrazione.

 

Moltiplicazione tra numeri naturali

 

Presi due numeri naturali, la somma di tanti addendi tutti uguali al primo numero tante volte quante sono le unità del secondo è detta moltiplicazione il cui simbolo è x oppure ·. Considerando ad esempio i numeri 3 e 4, avremo:

 

 

moltiplicazione tra numeri naturali

 

 

Eseguire la moltiplicazione 3x4 equivale a sommare il 3 con se stesso per 4 volte, ovvero la moltiplicazione è l'operazione aritmetica che permette di associare a due numeri, detti fattori, un terzo numero, detto prodotto, a cui si giunge addizionando tanti addendi uguali al primo tante volte quante sono le unità del secondo.

 

 

termini moltiplicazione

 

 

Proprio come accadeva per l'addizione, il prodotto tra due numeri naturali è ancora un numero naturale, ossia la moltiplicazione è un'operazione interna all'insieme \mathbb{N} dei numeri naturali. Detto in altri termini, l'insieme \mathbb{N} è chiuso rispetto al prodotto.

 

Come si esegue il prodotto tra numeri naturali

 

Ormai dovreste aver capito.. Se la moltiplicazione da eseguire è semplice, ovvero se uno dei due fattori è composto da una sola cifra si può eseguire in riga, altrimenti procederemo col calcolo in colonna. Come?

 

- Si incolonnano i due termini e si traccia una linea;

 

- si moltiplica ciascuna cifra del secondo fattore per il primo fattore;

 

- si scrive il risultato del primo prodotto e si cambia di volta in volta riga per riportare gli altri ricordando di lasciare un posto vuoto sotto la cifra delle unità di ciascun risultato;

 

- si sommano i vari risultati ottenuti.

 

Vediamone un esempio calcolando

 

 

\\ 168 \times 47=?\\ \\ \begin{array}{c c c c c c} & 1 & 6 & 8 & \times & \\ & & 4 & 7 & = & \\ \cline{1-5} 1 & 1 & 7 & 6 & + & \to 168 \times 7\\ 6 & 7 & 2 &  & = & \to 168 \times 4 \\ \cline{1-5} 7 & 8 & 9 & 6 &   \end{array}

 

 

Per approfondire sono disponibili due apposite guide didattiche dedicate alla scuola primaria: moltiplicazione e moltiplicazioni in colonna.

 

Proprietà della moltiplicazione

 

La moltiplicazione gode delle proprietà commutativa, associativa, dissociativa e distributiva che abbiamo affrontato in altri articoli, quindi non ci dilunghiamo oltre. Eventualmente puoi dare uno sguardo alla lezione sulle proprietà della moltiplicazione. ;)

 

Divisione tra numeri naturali

 

Consideriamo due numeri naturali, ad esempio 6 e 3. Se ci proponiamo di formare con le unità del primo numero tanti gruppi quante sono le unità del secondo, tutti contenenti le stesse unità, eseguiamo l'operazione aritmetica detta divisione il cui simbolo è :.

 

 

divisione tra numeri naturali

 

 

cioè la divisione è quella operazione che ci permette di associare a due numeri, detti rispettivamente dividendo e divisore, un terzo numero (se esiste) detto quoto, che moltiplicato per il divisore ci dà come risultato il dividendo.

 

 

termini divisione

 

 

Attenzione! Ci sono due aspetti importantissimi da tenere a mente!

 

1) La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione, infatti 6:3=2 in quanto 2x3=6.

 

2) Il quoto esiste a patto che il dividendo sia un multiplo del divisore. Se così non fosse, dalla divisione otterremo un numero che possiamo rappresentare come un numero decimale o come un numero razionale, o ancora lasciare la divisione nella forma di un quoziente e di un resto.

 

Dal punto 2) si deduce subito che la divisione non è un'operazione interna all'insieme \mathbb{N} dei numeri naturali, ovvero il risultato della divisione tra due numeri naturali potrebbe non essere tale.

 

Come si esegue la divisione tra numeri naturali

 

Dati due numeri naturali se la divisione da eseguire è semplice si esegue in riga altrimenti si passa al metodo della divisione in colonna che richiamiamo brevemente per iscritto applicando poi il metodo per eseguire la divisione 552:24=?

 

1) Nel dividendo, a partire da sinistra, si considerano le cifre tali da formare un numero maggiore o uguale del divisore e le si contrassegnano con una linea. Nel nostro caso 55.

 

2) Si vede quante volte il dividendo è contenuto nel numero che abbiamo e si scrive questo numero sotto al divisore (nell'esempio, in verde). Nel nostro esempio poichè il 55 sta due volte nel 24 scriveremo un 2.

 

3) Si moltiplica il numero così ottenuto per il divisore e si scrive il risultato sotto alle cifre del dividendo (in blu) che abbiamo contrassegnato con una linea. 24x2=48.

 

4) Si esegue la sottrazione (in rosso) (55-48=7) e si scrive accanto al risultato la cifra successiva del dividendo, nel nostro caso 2 (in arancione).

 

5) Si ripete il tutto a partire dal punto 2 fino a quando non terminano le cifre del dividendo.

 

 

\begin{array}{c c c |c c c} \cline{1-2} 5 & 5 & 2 & 2 & 4 \\ \cline{4-5} {\color{Blue}4} & {\color{Blue}8} & & {\color{Green}2} & 3 \\ \cline{1-3} & {\color{Red}7} & {\color{Orange}2} \\ & 7 & 2 & \\ \cline{1-3} & & 0\end{array}

 

 

Più difficile a dirsi che a farsi! Ad ogni modo, se vuoi ripassare puoi leggere le guide didattiche delle scuole elementari dedicate alla divisione e alle divisioni in colonna.

 

Proprietà di cui gode la divisione

 

La proprietà invariantiva e la proprietà distributiva sono le due proprietà di cui gode la divisione. Ne parliamo anche nella lezione sulle proprietà della divisione.

 

Elevamento a potenza di numeri naturali

 

Se abbiamo una moltiplicazione del tipo 4x4x4x4x4x4x4, ovvero una moltiplicazione tra fattori tutti uguali tra loro, c'è un modo più abbreviato per indicarla: quello che è conosciuto col nome di elevamento a potenza.

 

La scrittura 4x4x4x4x4x4x4=16384 si indica infatti come

 

 

termini potenza

 

 

cioè l'elevamento a potenza è l'operazione aritmetica che permette di associare a due numeri detti base ed esponente un terzo numero detto potenza ottenuto moltiplicando la base per se stessa tante volte quante indicate dall'esponente. 

 

L'elevamento a potenza gode di moltissime proprietà che agevolano (e non poco) i conti. Le incontrerete sempre nel corso della vostra carriera scolastica e rivestono un ruolo chiave, per questo motivo abbiamo deciso di trattarle in un articolo a parte: le proprietà delle potenze.

 

 


 

Per questa lunga ed intensa lezione è davvero tutto! Dalla prossima inizieremo ad esaminare le proprietà delle operazioni a partire da quella commutativa.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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