Proprietà distributiva

La proprietà distributiva è una proprietà algebrica che mette in relazione la moltiplicazione e la divisione con l'addizione e la sottrazione, e che permette di semplificare i calcoli distribuendo il prodotto e la divisione sui termini di un'addizione o di una sottrazione.

 

Come promesso ci occuperemo ora di capire cos'è la proprietà distributiva e a cosa serve. Essa, a differenza delle altre proprietà viste nelle precedenti lezioni, viene ampiamente usata e a volte senza rendersene conto. Essa è l'unica tra le proprietà delle operazioni che ne coinvolge alla stesso tempo più di una. Si parlerà infatti di:

 

- proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma o alla differenza;

 

- proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione o alla sottrazione.

 

Nota: per chi fosse interessato, qui su YM c'è anche una scheda dedicata alle scuole elementari. Eccola: proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

 

Proprietà distributiva del prodotto 

 

Quando ci troviamo di fronte ad una scrittura del genere

 

15 \times (2+3)

 

al primo anno della scuola media ci hanno insegnato a svolgere prima il contenuto delle parentesi tonde e poi tutto il resto (in pratica a seguire l'ordine delle operazioni)

 

15 \times (2+3)=15 \times 5 = {\color{Red}75}

 

Sappiate però che c'è un modo equivalente di svolgere la precedente espressione. Come? Sfruttando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma o differenza di due o più numeri, la quale dice che: per moltiplicare un numero per una somma o per una differenza si può moltiplicare il numero per ciascun termine della somma (o differenza) e successivamente addizionare (o sottrarre) i prodotto ottenuti.

 

Così

 

15 \times (2+3)=(15 \times 2)+(15 \times 3)=30+45={\color{Red}75}

 

e, ad esempio

 

7 \times (5-3+4)=(7 \times 5) - (7 \times 3) + (7 \times 4) = 35 - 21 + 28 = 42

 

detto in parole povere non facciamo altro se non distribuire quello che sta fuori la parentesi al suo interno, da cui il nome di proprietà distributiva. 

 

Proprietà distributiva della divisione

 

Ormai dovreste aver capito come funziona. Così come accade per la moltiplicazione, la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma o differenza di due o più numeri dice che: per dividere una somma (o una differenza) per un numero si può dividere ciasun termine della somma (differenza) per quel numero e poi addizionare (sottrarre) i risultati ottenuti.

 

Vediamo un esempio

 

(24+15-6):3=33:3={\color{Red}11}

 

se eseguiamo prima i conti all'interno della tonda

 

(24+15-6):3=(24:3)+(15:3)-(6:3)=8+5-2={\color{Red}11}

 

Nota bene: la proprietà distributiva della divisione vale a patto che la somma e/o differenza stia nel dividendo. Se sta nel divisore non è più applicabile.

 

Ad esempio:

 

60:(3+20)=60:23\simeq 2,6

 

Provate ad applicare la proprietà distributiva. Il risultato che verrà fuori è diverso e quanto mai sbagliato!

 

Proprietà distributiva nelle espressioni letterali

 

A prima vista sembrerebbe che la proprietà distributiva complichi i calcoli invece di semplificarli. Se stiamo lavorando coi numeri naturali o coi numeri razionali questo potrebbe essere vero ma presto (sempre ammesso che già non lo sappiate fare) imparerete a lavorare anche con le lettere cioè a svolgere quelle che vengono dette espressioni letterali per le quali farete ricorso alle operazioni tra monomi.

 

Bene! In questi casi potrebbe capitare che le operazioni tra parentesi tonde non si possano svolgere ed ecco che la proprietà distributiva diventerà più che necessaria. Supponiamo ad esempio di dover svolgere la seguente espressione

 

\frac{1}{2}ab (2a+4b)

 

Poiché i termini (monomi) nella parentesi non si possono sommare in quanto non sono monomi simili, per risolvere la nostra espressione letterale non ci rimane altro da fare se non applicare la proprietà distributiva del prodotto, grazie alla quale possiamo scrivere:

 

\frac{1}{2}ab (2a+4b)=\left[\left(\frac{1}{2}ab\right) \cdot (2a) \right] + \left[\left(\frac{1}{2}ab \right) \cdot (4b) \right]=a^2b+2ab^2

 

Anche quando siamo di fronte ad un'espressione del tipo

 

7-(2a^2-5b+3a)

 

sentirete dire "poiché c'è il meno fuori dalla parentesi dobbiamo togliere le parentesi cambiando tutto di segno" quindi scriveremo

 

7-(2a^2-5b+3a)=7-2a^2+5b-3a

 

Vi siete mai chiesti a cos'è dovuto tutto questo? Cambiando di segno non abbiamo fatto altro che applicare la proprietà distributiva del prodotto moltiplicando tutti i termini all'interno della parentesi per -1.

 

 


 

Per questa lezione è tutto! C'è qualcosa di poco chiaro o qualche esercizio che proprio non riesci a svolgere? Nessun problema, il Forum è a tua disposizione!

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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