Proprietà dissociativa

La proprietà dissociativa è una proprietà algebrica derivata dell'addizione e della moltiplicazione. Essa stabilisce che in un'addizione (o in una moltiplicazione) è possibile sostituire un addendo (o un fattore) con due addendi (o due fattori) la cui somma (il cui prodotto) coincida con esso.

 

Molto spesso nelle verifiche capita di non poter utilizzare la calcolatrice per fare i nostri conticini. Abbiamo già visto nelle precedenti lezioni come la proprietà commutativa e la proprietà associativa ci vengono in aiuto in questi casi, ma da sole potrebbero non bastare. La vera proprietà che ci permetterà di fare conti mentali all'apparenza improponibili è la proprietà dissociativa, di cui ci oppuremo ora.

 

Nota: a titolo di cronaca, qui su YM ci sono anche due schede didattiche per la scuola elementare. Le potete leggere qui: proprietà dissociativa dell'addizione - proprietà dissociativa della moltiplicazione.

 

Proprietà dissociativa dell'addizione

 

Per introdurre la proprietà dissociativa dell'addizione proponiamoci di calcolare a mente la seguente somma

 

184+34+97=?

 

Possiamo procedere scrivendo il 184 come 180+4, il 34 come 30+4 ed il 97 come 90+7. In questo modo avremo

 

184+34+97=\underbrace{180+4}_{184}+\underbrace{30+4}_{34}+\underbrace{90+7}_{97}=

 

che, grazie alla proprietà commutativa dell'addizione, possiamo riscrivere il tutto come

 

180+30+90+4+4+7=

 

Ora facciamo intervenire la proprietà associativa

 

\underbrace{300}_{180+30+90}+\underbrace{15}_{4+4+7}=315

 

Facile, vero? Il tutto è stato possibile grazie alla proprietà dissociativa dell'addizione, la quale ci dice che la somma di due o più addendi non cambia se ad uno o a più di essi se ne sostituiscono altri la cui somma è uguale all'addendo sostituito.

 

Proprietà dissociativa della moltiplicazione

 

Nulla di diverso da quanto visto per l'addizione. La proprietà dissociativa della moltiplicazione permette in un prodotto di due o più fattori di sostituire ad uno o più di essi altri termini, il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito, senza avere modifiche nel risultato finale: il prodotto di due o più fattori non cambia se ad uno di essi se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito.

 

 

Se ad esempio vogliamo calcolare

 

35 \times 120

 

possiamo scrivere il 120 come 120=10x12 e ottenere, sostituendo il tutto nel prodotto iniziale

 

 

35 \times 120 = 35 \times 10 \times 12 = \underbrace{35 \times 10}_{350} \times 12=350 \times 12

 

Ancora, scrivendo 12 come 12=2x6, abbiamo:

 

 

\\ 35 \times 120 = 350 \times 12 = 350 \times 2 \times 6 = \underbrace{350 \times 2}_{700} \times 6 =\\ \\ =700 \times 6 = \underbrace{100 \times 7}_{700} \times 6 =100 \times \underbrace{42}_{7 \times 6}=4200

 

 

Attenzione ora: la proprietà dissociativacosì come è stata enunciata per addizione e moltiplicazione, non vale per la sottrazione e la divisione.

 

Non ci credete? Nessun problema, i seguenti esempi ve lo dimostreranno.

 

 

In riferimento alla sottrazione, sappiamo tutti che

 

21-11={\color{Red}10}

 

Scriviamo l'11 come 11=12-1 e, come fatto nei casi precedenti, sostituiamolo nell'espressione iniziale. Otteniamo

 

21-\underbrace{11}_{12-1} = 21-12-1={\color{Blue}8}

 

Sapreste dirci a cos'è dovuto questo? Ve lo diciamo noi: nel momento in cui sostituiamo non dobbiamo dimenticarci delle parentesi!

 

Avremmo piuttosto dovuto scrivere:

 

21-11=21-(12-1)

 

ed applicare ora la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla sottrazione ossia, essendo in presenza di un segno meno fuori la parentesi, cambiare il segno ai termini dentro la tonda

 

21-11=21-(12-1)=21-12+1={\color{Red}10}

 

 

Stesso discorso per la divisione. Ad esempio

 

15:5={\color{Red}3}

 

ma scrivendo 5 come 5=10:2 e sostituendo, vien fuori

 

15:10:2=\underbrace{1,5}_{15:10}:2={\color{Blue}0,75}

 

 


 

Per ora è tutto! Nella prossima lezione vedremo la proprietà invariantiva che ci permetterà di facilitare il calcolo mentale di sottrazioni e divisioni. In caso di dubbi, problemi o perplessità di qualsiasi genere non esitate a contattarci!

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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