Proprietà associativa

La proprietà associativa è una proprietà algebrica dell'addizione e della moltiplicazione, e stabilisce che in una addizione con più addendi si possono sostituire alcuni termini con la loro somma, mentre in una moltiplicazione con più fattori è possibile associare alcuni termini sostituendoli con il loro prodotto.

 

Dopo aver analizzato nella precedente lezione la proprietà commutativa continuiamo con lo studio delle proprietà delle operazioni e vediamo cosa dice la proprietà associativa, a quali operazioni si applica e a cosa serve nella pratica.

 

Come suggerisce il nome stesso, quando siamo in presenza di tre o più termini, la proprietà associativa permette di associare due termini e sostituirli col nuovo termine ottenuto senza avere conseguenze sul risultato. Ma quando è possibile farlo? In questa semplice lezione daremo una risposta alla domanda, proponendo anche diversi esempi che non lasceranno spazio ad alcun dubbio. :)

 

Nota: qui su YM potete consultare anche due schede didattiche dedicate alle scuole elementari. Le trovate qui: proprietà associativa dell'addizione - proprietà associativa della moltiplicazione.

 

A quali operazioni si può applicare la proprietà associativa


Calcoliamo la seguente somma tra numeri naturali:

 

15+23+22

 

Calcolatrice alla mano e procedendo nell'ordine con cui sono scritti, otteniamo

 

15+23+22={\color{Red}60}

 

Possiamo però associare i primi due termini, cioè sostituire ai primi due la loro somma e sommare poi col terzo numero

 

\underbrace{15+23}_{38}+22=38+22={\color{Red}60}

 

oppure associare gli ultimi due, da cui vien fuori

 

15+\underbrace{23+22}_{45}=15+45={\color{Red}60}

 

Come potete notare in tutti i casi il risultato non cambia; non si tratta di un caso, perché per l'addizione vale la proprietà associativa. Vedremo tra poco come si spiega tutto questo in una sola frase.

 

Proviamo a ripetere lo stesso discorso con la sottrazione tra tre numeri naturali. Eseguendo i calcoli nell'ordine in cui li troviamo:

 

55-23-22={\color{Red}10}

 

Proviamo ora ad associare gli ultimi due:

 

55-\underbrace{23-22}_{1}=55-1={\color{Blue}54}

 

Come potete vedere il risultato in questo caso è cambiato, quindi la sottrazione non gode della proprietà associativa!

 

Stesso identico discorso se ci troviamo davanti ad una divisione tra tre numeri:

 

18:6:3={\color{Red}1}

 

se eseguiamo le divisioni nell'ordine in cui le troviamo, ma se calcoliamo prima la divisione tra gli ultimi due (ovvero li associamo)

 

18:\underbrace{6:3}_{2}=18:2={\color{Blue}9}

 

otteniamo un risultato diverso dal primo, per cui anche per la divisione non vale la proprietà associativa.

 

Infine, la moltiplicazione gode della proprietà associativa infatti ad esempio

 

3 \times 5 \times 2 = {\color{Red}30}

 

ma anche

 

3 \times \underbrace{5 \times 2}_{10}=3 \times 10 = {\color{Red}30}

 

Proprietà associativa dell'addizione

 

Per enunciare la proprietà associativa dell'addizione consideriamo un'esempio: un'addizione tra più di due addendi

 

8+2+4+7=21

 

Questa addizione può essere eseguita in diversi modi, associando diversamente i vari addendi

 

\\ \underbrace{8+2}_{10}+4+7=10+4+7=\underbrace{10+4}_{14}+7=14+7=21\\ \\ \\ 8+\underbrace{2+4}_{6}+7=8+6+7=\underbrace{8+6}_{14}+7=14+7=21\\ \\ \\ \underbrace{8+2+4}_{14}+7=14+7=21

 

e così via...

 

Ora che dovremmo aver capito cosa ci permette di fare concretamente la proprietà associativa dell'addizione, cerchiamo di esprimere il tutto in una frase che ci permetterà di ricordarla: la somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

 

 

Notate bene che la proprietà associativa della somma non vale solo per i numeri naturali ma continua a valere anche per i numeri relativi e per i numeri razionali.

 

Proprietà associativa della moltiplicazione

 

Quanto visto per l'addizione si ripete pari pari quando siamo di fronte al prodotto (o moltiplicazione) di tre o più numeri. La proprietà associativa della moltiplicazione afferma che il prodotto di tre o più fattori non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce il loro prodotto.

 

5 \times 2 \times 8 \times 4=320

 

Possiamo eseguire il precedente calcolo in diversi modi, alcuni dei quali sono

 

\\ \underbrace{5 \times 2}_{10} \times 8 \times 4= 10 \times 8 \times 4 = \underbrace{10 \times 8}_{80} \times 4 = 80 \times 4 = 320\\ \\ \\ 5 \times \underbrace{2 \times 8}_{16} \times 4= 5 \times 16 \times 4 = \underbrace{5 \times 16}_{80} \times 4 = 80 \times 4 = 320

 

Utilizzo pratico della proprietà associativa

 

La proprietà associativa, se utilizzata nel modo giusto, permette di facilitare i conti e favorisce il calcolo mentale. Non ci credete? Prendiamo la seguente catena di moltiplicazioni e sbarazziamoci di carta, penna e calcolatrice.

 

5 \times 6 \times 4 \times 25 = ?

 

Eseguendole nell'ordine otteniamo

 

\underbrace{5 \times 6}_{30} \times 4 \times 25 = \underbrace{30 \times 4}_{120} \times 25 = 120 \times 25 = ??

 

Sfido a fare questo calcolo a mente... I più audaci potrebbero anche farcela, ma non sarà di certo facile come eseguire i prodotti nel modo seguente

 

5 \times 6 \times 4 \times 25 = \underbrace{5 \times 6}_{30} \times \underbrace{4 \times 25}_{100} =30 \times 100 = 3000

 

ovvero sfruttando la proprietà associativa della moltiplicazione.

 

 


 

Per quanto riguarda la proprietà associativa è tutto! Nella prossima lezione ci occuperemo della proprietà dissociativa. In caso di dubbi, problemi o esercizi che ti mettono in crisi non esitare a contattarci.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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