Proprietà commutativa

La proprietà commutativa è una proprietà algebrica che caratterizza l'addizione e la moltiplicazione, e stabilisce nel primo caso che cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia, nel secondo che cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia.

 

La proprietà commutativa è senza ombra di dubbio la prima tra le tante proprietà delle operazioni che vengono studiate a scuola, ma siamo sicuri di averne colto appieno il significato? Cosa dice la proprietà commutativa? A quali operazioni si applica? A cosa serve? La proprietà commutativa afferma che scambiando l'ordine il risultato non cambia. Ma l'ordine di cosa? Saranno queste le domande a cui risponderemo nel corso di questa lezione.

 

Nota: qui su YM ci sono anche due schede didattiche per maestri e genitori degli alunni della scuola elementare. Le trovate qui: proprietà commutativa dell'addizione - proprietà commutativa della moltiplicazione.

 

Operazioni che godono della proprietà commutativa

 

Per rispondere alla domanda che ci siamo posti dobbiamo tenere ben presenti le quattro operazioni fondamentali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. 

 

La proprietà commutativa vale per l'addizione e la moltiplicazione ma non per la sottrazione né per la divisione!

 

Cominciamo con un esempio e poi vediamo tutto nel dettaglio: prendiamo i numeri 15 e 5.

 

Sommiamoli: 15+5=20. Scambiamoli di posto e vediamo cosa vien fuori: 5+15=20.

 

Facendone invece la sottrazione: 15-5=10, ma 5-15=-10.

 

Moltiplicandoli: 15x5=75 così come 5x15=75.

 

Eseguendo la divisione: 15:5=3 ma scambiandone l'ordine: 5:15=0,\overline{3}.

 

Proprietà commutativa dell'addizione

 

Sappiamo tutti che 6+4=10 come anche che 4+6=10, come si può verificare rappresentandoli sulla retta orientata:

 

 

proprietà commutativa dell'addizione

 

 

In altri termini, la proprietà commutativa dell'addizione afferma che scambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.

 

 

Finora abbiamo lavorato coi numeri naturali. La proprietà commutativa continua comunque a valere anche se lavoriamo coi numeri relativi o coi numeri razionali. Calcolando infatti, ad esempio la somma tra -30 e 25 avremo:

 

(-30) + 25 = -5

 

così come

 

25 + (-30) = -5

 

Stesso identico discorso per la somma tra frazioni:

 

\\ \frac{3}{8}+\frac{7}{8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}\\ \\ \\ \frac{7}{8}+\frac{3}{8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}

 

Proprietà commutativa per la moltiplicazione

 

Lo stesso discorso si ripete pari pari per la motiplicazione. Come si può vedere sulla retta orientata: 3x2=6 (segmenti verdi) così come 2x3=6 (segmenti blu):

 

 

proprietà commutativa della moltiplicazione

 

 

In una frase, la proprietà commutativa della moltiplicazione afferma che scambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia.

 

 

Proviamo, a titolo di esempio, ad eseguire la moltiplicazione in colonna tra i numeri 121 e 23

 

\begin{array}{r r r r r} & 1 & 2 & 3 & \times \\ & & 2 & 3 & = \\ \cline{1-5} &  3 & 6 & 9 & + \\ 2 & 4 & 6 & & = \\ \cline{1-5} 2 & 8 & 2 & 9\end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r r r r r} &  & 2 & 3 & \times \\ & 1 & 2 & 3 & = \\ \cline{1-5} & & 6 & 9 & + \\ & 4 & 6 & & + \\ 2 & 3 & & & = \\ \cline{1-5} 2 & 8 & 2 & 9\end{array}

 

Anche in questo caso il tutto continua a valere se invece di numeri naturali consideriamo il prodotto tra numeri razionali o numeri relativi. 

 

A cosa serve la proprietà commutativa

 

La proprietà commutativa insieme alla proprietà associativa riveste un ruolo chiave per effettuare quelli che vengono detti calcoli rapidi, ovvero calcoli mentali senza l'uso della calcolatrice.

 

Esempi sulla proprietà commutativa

 

Calcoliamo senza utilizzare la calcolatrice e senza carta e penna le seguenti operazioni:

 

\\ 1)\ \ \ 17+12+3+88\\ \\ 2)\ \ \ 4 \times 3 \times 5

 

Eseguirli nell'ordine in cui sono scritte non è impossibile, ma non è tanto immediato.

 

Partiamo dalla 1): utilizzando la proprietà commutativa possiamo scriverla come 17+3+12+88 e, grazie alla proprietà associativa possiamo eseguire la somma tra i primi due e gli ultimi due:

 

\underbrace{17+3}_{20}+\underbrace{12+88}_{100} = 20+100=120

 

Applicando anche in 2) la proprietà commutativa della moltiplicazione avremo:

 

4 \times 3 \times 5= \underbrace{4 \times 5}_{20} \times 3=20 \times 3 = 60

 

 


 

Facile vero? Se dovessi avere dubbi di qualsiasi genere non esitare a contattarci.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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