Proporzionalità quadratica

La proporzionalità quadratica è una relazione tra due grandezze in cui una grandezza è direttamente proporzionale al quadrato della seconda. In simboli, y è in proporzionalità quadratica con x se vale la relazione y=cx2, con c una costante.

 

Dopo aver visto nelle precedenti lezioni quando due grandezze si dicono direttamente proporzionali o inversamente proporzionali, occupiamoci ora di quella che in Matematica è conosciuta col nome di proporzionalità quadratica.

 

Come di consueto partiremo dalla definizione per poi vedere un esempio di grandezze quadraticamente proporzionali e come rappresentare graficamente la proporzionalità quadratica.

 

Definizione di proporzionalità quadratica

 

Tra due grandezze x e y si ha una relazione di proporzionalità quadratica se esiste una costante (un numero) c tale che 

 

 

y=c \cdot x^2

 

 

o, equivalentemente, se vale la formula di proporzionalità quadratica

 

 

\frac{y}{x^2}=c

 

Cosa significa che due grandezze sono in proporzionalità quadratica?

 

Supponiamo di avere due grandezze x e y. Esse sono in proporzionalità quadratica quando y è direttamente proporzionale al quadrato di x, ossia se il rapporto tra y e x2 si mantiene costante. La costante c si dirà, in questo caso, costante di proporzionalità quadratica.

 

Abbiamo a che fare molto spesso con questo genere di grandezze, molto più di quanto possiate immaginare!

 

 

Esempio di grandezze in proporzionalità quadratica

 

Pensate ad esempio al calcolo dell'area di un quadrato, la quale cresce proporzionalmente al quadrato del suo lato. Così, indicando con

 

x = misura del lato del quadrato 

 

y = area del quadrato

 

e assegnando dei valori arbitrari ad x, avremo:

 

 

\\ x=1\ \to\ y=x^2=1\\ \\ x=2\ \to\ y=x^2 = 4\\ \\ x=3\ \to\ y=x^2= 9

 

 

Come potete vedere quindi, in questo caso vale proprio la formula della proporzionalità quadratica

 

 

y= c \cdot x^2 \ \mbox{con} \ c=1

 

 

Esempio di grandezze NON in proporzionalità quadratica

 

Considerando, ad esempio, il perimetro del quadrato ed indicando con x la misura del suo lato e con y la misura del suo perimetro, ovvero y=4x, allora, come si deduce dalla precedente relazione non abbiamo una proporzionalità quadratica ma bensì una proporzionalità diretta.

 

Come si rappresenta la proporzionalità quadratica

 

Nel piano cartesiano due grandezze in proporzionalità quadratica sono rappresentate dal ramo positivo di una parabola. Per convincercene riprendiamo l'esempio precedente e riportiamo i valori prima in una tabellina e poi in un sistema di riferimento cartesiano:

 

 

\begin{array}{|c|c|} \cline{1-2} \mbox{x}=\mbox{lato} & \mbox{y}=x^2=\mbox{Area} \\ \cline{1-2} 1 & 1 \\ \cline{1-2} 2 & 4 \\ \cline{1-2} 3 & 9 \\ \cline{1-2}\end{array}

 

 

Proporzionalità-quadratica-nel-piano

 

 

La parte in rosso è proprio il ramo di parabola che ci aspettavamo.

 

 


 

Per questa lezione è tutto! In caso di dubbi, perplessità, o se vi servissero problemi ed esercizi svolti, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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