Minimo comune denominatore

Il minimo comune denominatore di due o più frazioni è il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni date, ed è il denominatore che si ottiene calcolando la somma o la differenza delle medesime frazioni.

 

Chiunque ha o abbia avuto a che fare con le frazioni prima o poi da qualche parte avrà letto: "Ora bisogna calcolare il minimo comune denominatore", o eventualmente: "Calcoliamo il denominatore comune".

 

Bene, alla fine di questa lezione il significato delle precedenti frasi sarà chiarissimo! :)

 

Come calcolare il minimo comune denominatore

 

Per spiegare cos'è il minimo comune denominatore di due o più frazioni conviene partire da un esempio. Iniziamo col prendere due frazioni:

 

\frac{2}{15}\ \ \ \frac{3}{10}

 

e proponiamoci di trovare il denominatore comune.

 

È più semplice di quanto possiate immaginare. Il denominatore comune tra due o più frazioni è infatti, per definizione, il minimo comune multiplo tra i denominatori delle frazioni che stiamo considerando.

 

Se non sai come calcolare il minimo comune multiplo di due o più numeri puoi dare un'occhiata alla lezione del precedente link, qui vediamo un riepilogo veloce e alcuni esempi.

 

1) Si prendono i denominatori e si scompongono in fattori primi.

 

2) Da tali scomposizioni si prendono i fattori comuni e non comuni, una sola volta e col massimo esponente.

 

3) Il prodotto fra questi fattori è proprio il nostro minimo comun denominatore, cioè il minimo comune multiplo dei denominatori.

 

Nell'esempio che stavamo considerando, abbiamo le frazioni \frac{2}{15}\mbox{ e }\frac{3}{10}. Scomponiamo i denominatori in fattori primi

 

\\ 15=3 \times 5\\ \\ 10=2 \times 5

 

L'unico fattore comune è 5, quelli non comuni sono 2 e 3. Hanno tutti esponente uno, quindi:

 

\mbox{mcm}(15,10)= 2\times 3 \times 5 = 30

 

Facile, vero? :)

 

Minimo comune denominatore di più frazioni

 

Il procedimento per calcolare il minimo comune denominatore di più di due frazioni non cambia rispetto a quello già visto. Anche in questo caso facciamo riferimento ad un esempio, e consideriamo 4 frazioni

 

\frac{7}{12}, \ \ \frac{11}{15}, \ \ \frac{5}{6}, \ \ \frac{13}{24}

 

Come abbiamo detto iniziamo dallo scomporre ciascun denominatore in fattori primi:

 

\\ 12 = 2^2 \times 3\\ \\ 15= 3 \times 5\\ \\ 6 = 2 \times 3\\ \\ 24 = 2^3 \times 3

 

Il minimo comun denominatore è dato dal prodotto dei fattori comuni (che sono 2 e 3) e non comuni (il 5) presi una sola volta e col massimo esponente, quindi:

 

\mbox{mcm}(12, 15, 6, 24) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120

 

Metodo più veloce per calcolare il minimo comune denominatore

 

Con la pratica imparerete ad accelerare il processo di calcolo. Se facciamo riferimento all'esempio precedente, possiamo notare che 12 e 6 sono sottomultipli di 24 e li avremmo potuti escludere già a priori, infatti i loro divisori primi sono in automatico divisori del 24, di conseguenza sarebbe bastato fattorizzare i soli denominatori 15 e 24.

 

Potrebbe sembrare un'osservazione inutile, ma a volte, potrebbe semplificarvi (non poco) la vita, come mostra il seguente esempio.

 

Determinare il denominatore comune fra:

 

\frac{5}{12}, \ \ \frac{11}{15}, \ \ \frac{5}{24}, \ \ \frac{13}{9}, \ \ \frac{13}{81}, \ \ \frac{8}{27}, \ \ \frac{17}{30}

 

Ora, come visto nell'esempio precedente, potremmo armarci di santa pazienza e scomporre in fattori primi tutti i denominatori. Se invece aguzziamo la vista e osserviamo che:

 

12 è un sottomultiplo di 24;

15 è un sottomultiplo di 30;

9 e 27 sono sottomultipli di 81;

 

allora ci basta fattorizzare 24, 30 e 81!

 

\\ 24 = 2^3 \times 3\\ \\ 30= 2 \times 3 \times 5\\ \\ 81 = 3^4

 

da cui troviamo subito il denominatore comune

 

\mbox{mcm}(24,30,81)=2^3 \times 3^4 \times 5= 3240

 

A cosa serve il calcolo del minimo comune denominatore

 

Due degli utilizzi più comuni del denominatore comune tra due o più frazioni sono:

 

- le espressioni con le frazioni

 

- il confronto tra frazioni

 

Ne parliamo in due altre lezioni, per raggiungerle ti basta un click! ;)

 

 


 

 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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