Multipli, sottomultipli e divisori

I multipli di un numero in Algebra sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando quel numero per tutti gli altri numeri interi; al contrario, i sottomultipli o divisori di un numero sono tutti i numeri interi che dividono quel numero senza resto.

 

Introduciamo ora tre concetti estremamente semplici ma basilari dell'Algebra: preso un qualsiasi numero naturale, vedremo cosa sono e come determinare i suoi multipli, i suoi sottomultipli ed i suoi divisori

 

 

Per comprendere pienamente tali concetti, riprendiamo un attimo il concetto di divisione tra due numeri naturali.

 

Dati due qualsiasi numeri naturali (ad esempio 16 e 2) eseguiamo la divisione:

 

16:2=8

 

Diremo quindi che 16 è divisibile per 2, in quanto la divisione non ci ha dato resto.

 

Se invece, consideriamo i numeri naturali 11 e 2, ed eseguiamo la divisione, avremo:

 

11:2=5 \ \mbox{resto} \ 1

 

ed, in tal caso, diremo che 11 non è divisibile per 2 perché abbiamo ottenuto come resto un numero che non è zero.

 

Morale della favola: presi due numeri naturali, il primo numero è divisibile per il secondo se la divisione dà come resto zero.

 

Cosa sono i multipli, i sottomultipli ed i divisori di un numero intero

 

Consideriamo due numeri naturali divisibili tra loro, ad esempio 27 e 3, infatti:

 

27:3 = 9, \ \mbox{resto} \ 0

 

in questo caso diremo che 27 è un multiplo di 3 3 è un sottomultiplo o divisore di 27.

 

In generale, se un numero naturale è divisibile per un altro (ossia il resto della loro divisione è zero) diciamo che:

 

- il primo è un multiplo del secondo e il secondo è un sottomultiplo (o divisore) del primo.

 

Esempi su multipli e sottomultipli

 

Vediamo qualche esempio sui multipli e sui sottomultipli.

 

 

1) 63 : 7 = 9, \ \mbox{resto} \ 0;

 

In questo caso:

 

- il primo numero (63) è un multiplo del secondo (7);

 

- il secondo (7) è un sottomultiplo (o divisore) del primo (63).

 

 

2) 64:8 = 8 \ \mbox{resto} \ 0.

 

Possiamo quindi affermare che 64 è un multiplo di 8 e che 8 è un sottomultiplo di 64.

 

 

3) 18:5 = 3 \ \mbox{resto} \ 3

 

Poiché in questo caso il resto della divisione tra 18 e 5 non è zero, risulta che 18 non è un multiplo di 5, così come 5 non è un sottomultiplo di 18. In altri termini possiamo dire che 5 non divide 18 o che 5 non è un divisore di 18.

 

 

Dovreste ormai aver capito che si possono utilizzare indistintamente i termini divisore e sottomultiplo, ovvero i due termini sono sinonimi.

 

 

Dati due numeri naturali qualsiasi abbiamo quindi visto come stabilire se l'uno è un multiplo o sottomultiplo dell'altro. Vediamo il procedimento pratico che ci permette di trovare tutti i multipli e sottomultipli di un qualsiasi numero naturale.

 

Come trovare i multipli di un numero naturale

 

Prendiamo un qualsiasi numero naturale, ad esempio 5, e proponiamoci di trovare tutti i suoi multipli. È molto semplice: basta prendere il numero e moltiplicarlo per tutti i numeri naturali!

 

\\ 5 \times 0 = 0\\ \\ 5 \times 1 = 5\\ \\ 5 \times 2 = 10\\ \\ 5 \times 3 = 15\\ \\ 5 \times 4 = 20

 

e così via...

 

Capirete bene che essendo i numeri naturali infiniti, tali saranno anche i multipli di un numero. Inoltre lo zero è multiplo di un qualsiasi numero naturale!

 

Come trovare i sottomultipli di un numero naturale

 

Prendiamo un numero naturale, ad esempio 24, e proponiamoci di trovare i suoi sottomultipli (o divisori), ovvero quei numeri, tali che, se si esegue la divisione con 24 danno come resto zero.

 

Due divisori sono sicuramente 1 ed il numero stesso, infatti:

 

\\ 24 : 24 = 1 \ \mbox{resto} \ 0\\ \\ 24:1 = 24 \ \mbox{resto} \ 0

 

La strada che ci permette di trovare tutti gli altri e non dimenticarne nessuno si basa sulla scomposizione in fattori primi (se non sai come fare lo spieghiamo nella lezione del link)

 

 

\begin{array}{r|c} 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 \\  \end{array}

 

 

Da qui vediamo che i sottomultipli di 24 sono: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, i quali si ottengono da tutti i possibili prodotti degli elementi della colonna di destra.

 

Quindi, ricapitolando, i sottomultipli o divisori di 24 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

 

Un altro esempio sui sottomultipli

 

Cerchiamo i sottomultipli di 36:

 

 

\begin{array}{r|c} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 \\  \end{array}

 

 

Svolgiamo tutti i possibili prodotti fra i numeri ottenuti nella colonna di destra:

 

\\ 2 \times 2 = 4;\\ \\ 2 \times 3 = 6;\\ \\ 3 \times 3 = 9;\\ \\ 2 \times 2 \times 3 = 12;\\ \\ 2 \times 3 \times 3 = 18;\\ \\ 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36

 

Quindi, (non dimentichiamoci 1 che è un sottomultiplo di qualsiasi numero), i divisori o sottomultipli di 36 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

 

 


 

 

Potrebbe sembrare un procedimento lungo e tortuoso, ma in realtà non è così. Dopo un po' di tempo, con un po' di pratica, il calcolo dei divisori di un numero diventa immediato, grazie anche all'utilizzo dei criteri di divisibilità. ;)

 

 


 

 

Ricapitolando

 

I multipli di un numero sono infiniti e si ottengono moltiplicando il numero dato per tutti i numeri naturali.

 

Lo zero è multiplo di qualsiasi numero.

 

I sottomultipli o divisori di un numero naturale sono quei numeri per i quali la divisione col numero di partenza da come resto zero.

 

L'uno è un divisore (sottomultiplo) di qualsiasi numero.

 

 

Per questa lezione è tutto! Se ci dovessero essere dubbi o problemi di qualsiasi genere non esitate e chiedete pure nel Forum!

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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