Criteri di divisibilità

I criteri di divisibilità sono regole che permettono di capire a priori se un numero è divisibile per un altro specifico numero senza bisogno di calcolare la divisione. Tali criteri si riferiscono alla divisibilità per i numeri naturali più ricorrenti, come ad esempio 2, 3, 5, 7 e 11.

 

In questa importantissima lezione vedremo tutti i criteri di divisibilità possibili e immaginabili. Ovviamente nessuno pretenderà mai che li conosciate tutti a memoria: l'importante è ricordare quelli più famosi o, per meglio dire, quelli che vengono utilizzati più spesso.

 

Inizieremo quindi dando la precedenza ai criteri di divisibilità più usati e che vengono maggiormente utilizzati nella scomposizione di un numero in fattori primi.

 

Criterio di divisibilità per 2

 

Il criterio di divisibilità per 2 stabilisce che un numero è divisibile per 2 se è pari, oppure, equivalentemente, un numero è divisibile per 2 se la sua cifra delle unità è 0, 2, 4, 6 oppure 8.

 

Ad esempio: 72, 140, 1876, 7865432036 sono tutti divisibili per 2.

 

Criterio di divisibilità per 3

 

Il criterio di divisibilità per 3 dice che un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.

 

Esempi:

 

147 è divisile per 3 in quanto 1+4+7=12 (che è un multiplo di 3).

 

Anche 36513 è divisibile per 3, infatti 3+6+5+1+3=18.

 

Criterio di divisibilità per 5

 

Il criterio di divisibilità per 5 stabilisce che un numero è divisibile per 5 se la cifra delle unità è 0 oppure 5.

 

Ad esempio 890, 1445 e 14975 sono tre numeri divisibili per 5.

 

Criterio di divisibilità per 7

 

Il criterio di divisibilità per 7 afferma che un numero è divisibile per 7 se il valore assoluto della differenza fra il numero scritto senza la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è uguale a 0, 7, o un suo multiplo.

 

Ad esempio, 91 è divisibile per 7.

 

Infatti il numero privato della cifra delle unità è 9, il doppio della cifra delle unità è 2 e 9-2=7.

 

Allo stesso modo 119 è divisibile per 7, poiché 11 (numero senza cifra unità) meno 18 (doppio cifra unità) è uguale a -7 (il cui valore assoluto è proprio 7).

 

Criterio di divisibilità per 11

 

Il criterio di divisibilità per 11 stabilisce che un numero è divisibile per 11 se la differenza (in valore assoluto) tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre si posto pari è uguale a 0, 11, o un suo multiplo.

 

Così 297 è divisibile per 11, infatti:

 

|(2+7)-9|=0

 

dove 2+7 rappresenta la somma delle cifre di posto dispari: 2 è la cifra di posto uno, 7 la cifra di posto tre, mentre 9 è la cifra di posto pari.

 

Allo stesso modo, possiamo verificare che 2453 è divisibile per 11:

 

|(2+5)-(4+3)| = 0

 

Caso particolare del criterio di divisibilità per 11: un numero avente un numero pari di cifre è divisibile per 11 se le cifre vicine sono a due a due uguali.

 

Per esempio: 55, 88, 1122, 889955, 77881144 sono tutti divisibili per 11.

 

 

Passiamo ora a vedere i criteri di divisibilità meno conosciuti, che non riguardano solo numeri primi, ma che potrebbero comunque essere utili, ad esempio quando dobbiamo ridurre una frazione ai minimi termini o dobbiamo trovare il massimo comun divisore o il minimo comune multiplo tra due o più numeri.

 

Criterio di divisibilità per 4

 

Un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre sono tali che:

 

- la cifra delle decine è dispari e quella delle unità è 2 oppure 6

 

- la cifra delle decine è pari e quella delle unità è 0, 4 oppure 8.

 

Così, 136, 752, 14180, 82168 e 12652 sono tutti divisibili per 4.

 

Criterio di divisibilità per 6

 

Un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3

 

Ad esempio 72 è divisibile per 6 essendo divisibile sia per 2 (è pari) sia per 3: 7+2=9 (multiplo di 3). 

 

Allo stesso modo verificate che 378 e 2046 sono divisibile per 6.

 

Criterio di divisibilità per 9

 

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un suo multiplo.

 

Tali sono 54, 279, 6876.

 

Criterio di divisibilità per 10

 

Un numero è divisibile per 10 se la sua cifra delle unità è pari a zero.

 

Criterio di divisibilità per 13

 

Un numero è divisibile per 13 se il valore assoluto della somma tra il numero senza la cifra delle unità e quattro volte la cifre delle unità è 0, 13 oppure un suo multiplo.

 

Esempio: 221 è divisibile per 13, infatti 22 + 4 \cdot 1 = 26 che è un multiplo di 13.

 

Allo stesso modo, 377 è divisibile per 13, in quanto 37 + 4 \cdot 7 = 37+28=65 che è un multiplo di 13. Ovviamente, badate bene, se il numero ottenuto dalla precedente somma è grande e non si riesce a vedere subito se è o meno un multiplo di 13, possiamo riapplicare lo stesso criterio ad esso.

 

Criterio di divisibilità per 17

 

Un numero è divisibile per 17 se il valore assoluto della differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è uguale a 0, 17, o un suo multiplo

 

Applicando questa regoletta è immediato vedere che 391 è divisibile per 17, infatti:

 

39 - 5 \cdot 1 = 34 che è un multiplo di 17.

 

Criterio di divisibilità per 23

 

Un numero è divisibile per 23 se la somma tra il numero scritto senza la cifra delle unità e 7 volte la cifra delle unità è uguale a zero, 23, o un suo multiplo.

 

Ormai dovreste aver capito come si fa! Verificate che 598 e 1794 sono divisibili per 23. ;)

 

 


 

 

Per studenti universitari o più volenterosi di scuola superiore, possiamo generalizzare il criterio di divisibilità per 10 in questo modo:

 

Criterio di divisibilità per 10^n

 

un numero è divisibile per 10^n, con n \in \mathbb{N}, \ n \geq 1 se esso termina con n zeri.

 

Chiudiamo quest'articolo con un'altra generalizzazione

 

Per tutti i numeri naturali n della forma n=pq, con p, \ q numeri primi, possiamo scrivere un criterio di divisibilità che li accumuna tutti:

 

un numero è divisibile per n=pq se esso è divisibile sia per p che per q

 

Così, ad esempio, un numero è divisibile per 26= 2\cdot 13 se esso è divisibile sia per 2 che per 13. Facile vero? :)

 

 


 

È davvero tutto! Non ci resta che esortarvi per mettervi alla prova con gli esercizi e in caso di dubbi, problemi, perplessità non esitare a contattarci facendoci la tua domanda sul Forum!

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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