Radice quadrata senza calcolatrice

Il calcolo della radice quadrata senza calcolatrice è un procedimento algebrico che, mediante una serie di operazioni base, consente di calcolare l'approssimazione di una radice quadrata senza calcolatrice, o il valore esatto nel caso dei quadrati perfetti.

 

Dopo aver visto, nella precedente lezione, cos'è la radice quadrata di un numero, spiegheremo in questo articolo come si calcola la radice quadrata a mano cioè senza l'aiuto della calcolatrice.

 

Il calcolo delle radici senza calcolatrice non è facile e richiede esercizio e soprattutto pazienza, ma ci permetterà di calcolare la radice quadrata approssimata anche di numeri che non sono quadrati perfetti, cioè di quei numeri per i quali non esiste la radice qudrata esatta.

 

Come calcolare la radice quadrata a mano

 

Nella precedente lezione abbiamo visto che per calcolare la radice quadrata esatta di un quadrato perfetto basta ricorrere alla scomposizione in fattori primi.

 

Ora procederemo in un altro modo utile per trovare la radice quadrata senza calcolatrice approssimata al decimo, al centesimo, o al millesimo, di un numero che non sia un quadrato perfetto.

 

Mostreremo i passi da seguire calcolando la radice quadrata di 636.804.

 

 

1) Scriviamo il numero di cui si vuole calcolare la radice quadrata in una tabella.

 

 

\begin{array}{c|c}\sqrt{636804}&\quad\quad\\\cline{2-2}\end{array}

 

 

2) Partendo dall'unità raggruppiamo le cifre del radicando a due a due.

 

 

\begin{array}{c|c}\sqrt{63^{\color{red}\cdot\color{black}}68^{\color{red}\cdot\color{black}}04}&\quad\quad\\\cline{2-2}\end{array}

 

 

3) Abbassiamo il primo gruppo di cifre di sinistra e determiniamo il più grande numero intero positivo che, elevato al quadrato, sia minore o uguale del gruppo. 

 

Nell'esempio proposto, abbiamo la coppia 63 e il numero cercato è 7, infatti 7x7=49.

 

Osserviamo che 8 non va bene perché 8x8=64 ed è più grande di 63.

 

Scriveremo:

 

 

\begin{array}{c|c}\sqrt{\color{blue}63^{\color{red}\cdot\color{black}}\color{black}68^{\color{red}\cdot\color{black}}04}&7\quad\\\cline{2-2}\end{array}

 

 

4) Riportiamo il quadrato del numero determinato nel passaggio 3) sotto il gruppo di cifre e calcoliamone la differenza:

 

Nell'esempio: 63-49=14.

 

 

\begin{array}{c|c}\sqrt{\color{blue}63^{\color{red}\cdot\color{black}}\color{black}68^{\color{red}\cdot\color{black}}04}&\color{blue}7\color{black}\quad\quad\\\cline{2-2}\,\,\color{blue}49\quad\quad\\ \cline{1-1}\,\,\color{blue}14\quad\quad\end{array}

 

 

5) Abbassiamo il gruppo successivo di cifre, moltiplichiamo per due la cifra del risultato parziale e scriviamolo su una nuova riga.

 

Nel nostro esempio abbassiamo 68 ed affianchiamolo al resto parziale, ottenendo il numero 1468. Inoltre moltiplichiamo per due il risultato parziale 7 e inseriamo il risultato in una nuova riga nella forma: 14_x_

 

 

\begin{array}{c|c}\sqrt{63^{\color{red}\cdot\color{black}}\color{blue}68^{\color{red}\cdot\color{black}}\color{black}04}&\color{blue}7\color{black}\quad\quad\\\cline{2-2}\,\,49\downarrow\quad&14\textunderscore\times\textunderscore\\ \cline{1-2}\,\,\quad\color{blue}1468\quad\quad\end{array}

 

 

6) Questo è il passaggio più delicato: dobbiamo determinare per tentativi il più grande numero da inserire al posto dei trattini di modo che il prodotto sia minore o uguale al resto parziale.

 

- Il numero determinato verrà affiancato al risultato parziale.

- Sottraiamo il resto parziale per il prodotto.

 

Andiamo per tentativi scopriremo che il numero da inserire è il 9: 149x9=1341. Il resto parziale diventa 1468-1341=127.

 

 

\begin{array}{c|c}\sqrt{63^{\color{red}\cdot\color{black}}\color{blue}68^{\color{red}\cdot\color{black}}\color{black}04}&\color{blue}7\color{black}\color{red}9\color{black}\quad\quad\quad\quad\quad\\\cline{2-2}\,\,49\downarrow\quad&14\color{red}9\color{black}\times\color{red}9\color{black}=1341\\ \cline{1-2}\color{blue}1468\\\,\quad 1341\quad\,\\\cline{1-1}\,\,\,127\end{array}



7) Ripetiamo i passaggi 5) e 6) per tutti i gruppi di cifre del radicando fino a che non terminano, otterremo finalmente la radice quadrata del numero.

 

Completiamo il calcolo della radice dell'esempio: abbassiamo l'ultima coppia ed affianchiamola al resto parziale, moltiplichiamo per due il risultato parziale, scriviamolo su una nuova riga e determiniamo, per tentativi, il più grande numero naturale da inserire all'unità di modo che il prodotto sia minore o uguale del resto parziale.

 

 

Radice quadrata senza calcolatrice

 

 

Abbiamo finito! La radice quadrata del numero 636804 è 798 perché 798x798=636804.

 

 


 

 

Prendiamo ora il numero 27 (che non è un quadrato in quanto 27=33) e ripetiamo il procedimento appena visto. In un solo semplicissimo passaggio otteniamo

 

 

\begin{array}{c|c} \sqrt{27} & {\color{Red}5} \\ \cline{2-2} \ \ 25 \\ \cline{1-1} \ \ \ 2 \end{array}

 

 

Come potete vedere a differenza dell'esempio precedente abbiamo un resto (in quanto il 27 non è un quadrato perfetto) cioè quello che abbiamo ottenuto (il numero 5) è la radice quadrata approssimata a meno di una unità e scriveremo

 

\sqrt{27}^{\ 1}=5

 

Proseguendo col calcolo otterremo un'approssimazione migliore. Come proseguire? Dipende dall'approssimazione che vogliamo:

 

- se richiediamo un'approssimazione al decimo (cioè di una cifra decimale) aggiungeremo accanto al 27 due zeri;

 

- se richiediamo un'approssimazione al centesimo (due cifre decimali) scriveremo 4 zeri;

 

- se richiediamo un'approssimazione al millesimo (tre cifre dopo la virgola) aggiungeremo 6 zeri;

 

e così via...

 

Volendo ad esempio un'approssimazione al centesimo di \sqrt{27} che indicheremo con \sqrt{27}^{\ 0,01} procederemo al calcolo aggiungendo 4 zeri e procedendo come spiegato, ricordando di aggiungere una virgola nel risultato non appena consideriamo la prima coppia di zeri, ovvero:

 

 

Esempio sulla radice quadrata senza calcolatrice

 

 

e quindi \sqrt{27}^{\ 0,01} = 5,19.

 

Volendo potremmo continuare semplicemente aggiungendo altre coppie di zeri.

 

 


 

Ah, che faticaccia! Avremmo fatto prima a prendere la calcolatrice, questo è vero. Però volete mettere la soddisfazione di calcolare le radici quadrate con le proprie manine? Tra l'altro nella prossima lezione ci occuperemo di un ulteriore metodo di calcolo, quello che prevede di calcolare le radici quadrate con le tavole numeriche, non perdetevela! ;)



Buon proseguimento su YouMath

Salvatore Zungri (alias Ifrit)

 

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