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Equazioni fratte di secondo grado

Ormai sappiamo cos'è un'equazione fratta, e in questo articolo ci occuperemo dei metodi di risoluzione delle equazioni fratte di secondo grado. Nell’articolo sulle equazioni di secondo grado abbiamo parlato dei metodi di risoluzione per le equazioni di secondo grado, ora vogliamo trattare un caso un po’ più complicato: quello in cui l’incognita x compare al denominatore.

 

Un'importante premessa: la risoluzione delle equazioni fratte di secondo grado prevede di saper fare i calcoli con le frazioni algebriche. Se vuoi ripassarle, la guida di riferimento è a portata di click!

 

Come risolvere le equazioni fratte di secondo grado

 

Per risolvere questo tipo di equazioni dobbiamo per prima cosa riuscire a scriverle come

 

\frac{N(x)}{D(x)}=0

 

N(x) e D(x) saranno al più di secondo grado, (non preoccupatevi se facendo i calcoli le x compaiono con gradi più alti del secondo, si semplificheranno sicuramente…posto che siate nella sezione giusta del libro di matematica…).

 

A questo punto sarà sufficiente

 

1. porre D(x)\neq 0 perché non possiamo dividere per zero;

 

2. risolvere N(x)= 0;

 

3. infine, e qui sta la novità, confronteremo le soluzioni di N(x)= 0, con i valori che avevamo escluso ponendo D(x)\neq 0, se le soluzioni non sono state scartate in precedenza allora le chiameremo accettabili, e saranno soluzioni, altrimenti le dovremo scartare.

 

Esempi sulle equazioni fratte di secondo grado

 

Il metodo non è chiaro? Proviamo con l’esempio svolto qui sotto, tutto dovrebbe diventare comprensibile. Consideriamo

 

\frac{x}{x+3}+\frac{3}{x-3}=-\frac{x^2-12}{(x-3)(x+3)}

 

Mettiamo tutto a denominatore comune calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore per portarci alla forma \frac{N(x)}{D(x)}=0:

 

\frac{x(x-3)+3(x+3)}{(x+3)(x-3)}=-\frac{x^2-12}{(x-3)(x+3)}

 

\frac{x^2-3x+3x+9+x^2-12}{(x+3)(x-3)}=0

 

Ora abbiamo

 

N(x)= x^2-3x+3x+9+x^2-12

 

e

 

D(x)= (x-3)(x+3)=x^2-9.

 

Seguiamo il procedimento:

 

1. poniamo D(x)\neq 0:

 

x^2-9\neq 0, cioè x\neq\pm 3

 

2. risolviamo N(x)= 0:

 

x^2-3x+3x+9+x^2-12=0

 

Sommiamo i termini simili:

 

2x^2-3=0

 

Risolviamo l’equazione di secondo grado:

 

x^2=\frac{3}{2}, cioè x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}.

 

3. Confrontiamo le soluzioni con i valori che avevamo scartato: le soluzioni sono

 

x_1=-\sqrt{\frac{3}{2}} e x_2=\sqrt{\frac{3}{2}},

 

i valori di x che abbiamo scartato sono x\neq\pm 3, poiché le soluzioni sono diverse dai valori non ammessi, sono entrambe accettabili.

 

Qualche altro esempio sulle equazioni fratte di secondo grado

 

1. \frac{x^2}{x^2-5}=0

 

D(x)\neq 0:

 

x^2-5\neq 0, cioè x\neq \pm\sqrt{5}

 

N(x)= 0:

 

x^2= 0, dunque x= 0

 

Confronto tra soluzioni e valori esclusi: i valori non accettabili sono \pm\sqrt{5}, la soluzione trovata è x= 0, non coincidono, quindi la soluzione è accettabile.

 

2. \frac{x}{x+1}+\frac{2}{x-1}-2=0

 

Calcoliamo il denominatore comune per arrivare alla forma \frac{N(x)}{D(x)}= 0:

 

\frac{x^2-x+2x+2-2x^2+2}{(x+1)(x-1)}=0

 

D(x)\neq 0:

 

(x+1)(x-1)\neq 0, cioè x\neq\pm 1

 

N(x)= 0:

 

x^2-x+2x+2-2x^2+2=0

 

sommando i termini simili e cambiando segno otteniamo x^2-x-4=0,

 

il discriminante è \Delta=17 e le due soluzioni sono x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}

 

Confronto tra soluzioni e valori esclusi: i valori esclusi non coincidono con alcuna soluzione. Dunque le soluzioni sono entrambe accettabili.

 

3. \frac{2x^2+3x+2}{(x-1)^2}+\frac{1}{1-x}=1

 

Anche in questo caso, il primo passaggio prevede di passare al denominatore comune in modo da arrivare alla forma \frac{N(x)}{D(x)}= 0: per prima cosa raccogliamo un meno dal denominatore della seconda frazione in modo da avere

 

\frac{2x^2+3x+2}{(x-1)^2}+\frac{1}{-(-1+x)}=1

 

cioè

 

\frac{2x^2+3x+2}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}=1

 

Facciamo il denominatore comune e sommiamo i termini simili:

 

\frac{x^2+4x+2}{(x-1)^2}=0

 

Procediamo come al solito:

 

D(x)\neq 0: (x-1)^2\neq 0 cioè x\neq 1

 

N(x)= 0: x^2+4x+2= 0, le cui soluzioni sono x_{1,2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2}=-2\pm\sqrt{2}

 

Confronto tra soluzioni e valori esclusi: le soluzioni non coincidono con i valori esclusi ponendo il denominatore diverso da zero, dunque sono accettabili.

 

 


 

 

Se qualcosa non fosse chiaro sappi che hai a disposizione migliaia di esercizi interamente risolti e spiegati, che puoi cercare e trovare con la barra di ricerca...e se ancora non bastasse, puoi sempre aprire una discussione nel Forum.

 

 

\alpha

 

 

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