Equazioni fratte di primo grado

Negli articoli sulle equazioni di primo grado ad un incognita, abbiamo affrontato e imparato a risolvere le equazioni di primo grado ad un’incognita. Ora passiamo alle equazioni fratte di primo grado. Diciamo che un’equazione è fratta se l’incognita x compare al denominatore. Dunque un’equazione di primo grado fratta sarà un’equazione dove la x compare solo con esponente 1, (ricordate che x^1=x), e anche al denominatore.

 

Insomma dobbiamo imparare a risolvere delle equazioni fatte in questo modo:

 

\frac{N(x)}{D(x)}=0

 

dove N(x) e D(x) sono rispettivamente numeratore e denominatore e la x scritta tra parentesi significa che sono delle espressioni qualsiasi contenenti la x.

 

 

Partiamo da una qualunque equazione di primo grado, per esempio

 

\frac{2}{3}x+x+\frac{1}{6}=0

 

I passaggi per risolvere questa equazione sono

 

\frac{2}{3}x+x=-\frac{1}{6}

 

\frac{4x+6x}{6}=-\frac{1}{6}

 

\frac{10x}{6}=-\frac{1}{6}

 

6\cdot\frac{10x}{6}=-\frac{1}{6}\cdot 6

 

10x=-1

 

x=-\frac{1}{10}

 

Moltiplicando per 6 nel quarto passaggio ci siamo liberati senza problemi del denominatore. Possiamo fare la stessa cosa quando la x compare al denominatore? Certamente si, a patto di assicurarci di non moltiplicare per zero!

 

Come risolvere le equazioni fratte di primo grado

 

Data un’equazione fratta di primo grado, dovremo:

 

1. ricondurci alla forma \frac{N(x)}{D(x)}=0. Per farlo è importante saper lavorare con le frazioni algebriche;

 

2. trovare le condizioni di esistenza (C.E.) ponendo D(x)\neq 0

 

3. a questo punto possiamo disfarci del denominatore e risolvere N(x)=0

 

4. confrontare le soluzioni ottenute nel terzo passo con i valori di x che abbiamo escluso nel secondo.

 

Procediamo con un esempio:

 

\frac{3}{x}+5=0

 

a) Calcolando il denominatore comune ci riportiamo alla forma \frac{N(x)}{D(x)}=0:

 

\frac{3+5x}{x}=0

 

Abbiamo N(x)=3+5x \ \mbox{e} \ D(x)=x.

 

b) Troviamo le condizioni di esistenza. Poniamo D(x)\neq 0, cioè x\neq 0.

 

c) Possiamo ora moltiplicare ambo i membri per x e liberarci del denominatore:

 

3+5x=0

 

d) Risolviamo l’equazione di primo grado N(x)= 0:

 

3+5x=0

 

cioè

 

x=-\frac{3}{5}.

 

e) Abbiamo quasi finito: rimane l’ultimo passaggio! Confrontiamo la soluzione con quanto abbiamo ottenuto nel passaggio b. Cioè, verifichiamo che la soluzione ottenuta rispetti le condizioni di esistenza. 

 

La soluzione è x=-\frac{3}{5}, il valore che avevamo escluso era x=0, dunque la soluzione che abbiamo ottenuto è accettabile poiché non coincide con il valore che avevamo escluso.

 

Altri esempi sulle equazioni fratte di primo grado

 

1. \frac{1}{x}+\frac{1}{6}=-\frac{2}{3}

 

Cominciamo dal denominatore comune:

 

\frac{6+x}{6x}=-\frac{4x}{6x}

 

\frac{x+4x+6}{6x}=0

 

Poniamo D(x)\neq 0 e ricaviamo le condizioni di esistenza per l'equazione fratta

 

6x\neq 0, cioè x\neq 0

 

Ora risolviamo N(x)= 0

 

x+4x+6=0

 

5x=-6

 

x=-\frac{6}{5}

 

Confrontiamo la soluzione con il valore escluso: -\frac{6}{5}\neq 0, dunque la

soluzione trovata è accettabile.

 

2. \frac{1}{x+3}+2=0

 

Anche nel caso di questa equazione fratta di primo grado dobbiamo cominciare calcolando il denominatore comune

 

\frac{1+2(x+3)}{x+3}=0

 

Poniamo D(x)\neq 0 in modo da determinare le CE

 

x+3\neq 0, cioè x\neq -3.

 

A questo punto risolviamo l'equazione N(x)= 0

 

1+2(x+3)=0

 

1+2x+6=0

 

2x=-7

 

x=\frac{-7}{2}

 

Confrontando il valore escluso con la soluzione vediamo che sono differenti quindi la soluzione è accettabile.

 

3. \frac{x}{x+1}=\frac{2x+1}{x}-1

 

Questo esempio è molto importante ed è più complicato dei precedenti (non è propriamente di primo grado), ma non preoccupatevi già adesso abbiamo tutte le armi per arrivare alla soluzione. Procediamo con calma e ricordiamo la legge di annullamento del prodotto che ci sarà molto utile per escludere i valori che annullano il denominatore: il prodotto di due fattori è zero quando almeno uno dei due fattori è zero.

 

Ora seguiamo il nostro procedimento portando l’equazione alla forma \frac{N(x)}{D(x)}=0:

 

\frac{x^2-(2x+1)(x+1)+x(x+1)}{x(x+1)}=0

 

\frac{x^2-2x^2-2x-x-1+x^2+x}{x(x+1)}=0

 

Mettiamo vicini i termini in x^2, e sommiamoli tra loro, facciamo la stessa cosa per quelli in x e per i termini noti:

 

\frac{x^2-2x^2+x^2-2x-x+x-1}{x(x+1)}=0

 

Sommiamo i termini simili:

 

\frac{-2x-1}{x(x+1)}=0

 

Ora, per trovare le condizioni di esistenza, usiamo la legge di annullamento del prodotto (per studiare i valori che annullano il denominatore).

 

Poniamo D(x)\neq 0:

 

x(x+1)\neq 0

 

Questo significa che deve essere x\neq 0 e x+1\neq 0, cioè x\neq -1. Pertanto, in definitiva, x deve essere diverso sia da 0 che da -1.

 

Risolviamo ora l'equazione:

 

N(x)=0 \ \to \ -2x-1=0 \ \to \ -2x=1 \ \to \ 2x=-1 \ \to \ x=-\frac{1}{2}

 

che è accettabile! ;)

 

Equazioni fratte che si riducono al primo grado

 

Attenzione, l'ultimo esempio che abbiamo visto mette in luce un aspetto importantissimo: ci sono equazioni fratte che inizialmente non sembrano di primo grado, ma che con qualche semplificazione si riducono ad equazioni fratte di primo grado.

 

Quindi se ti capitasse di leggere equazione fratta di primo grado a proposito di un'equazione che non lo sembra, non saltare a conclusioni affrettate...Wink

 


 

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\alpha.

 

 

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