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Equazioni scomponibili (equazioni di grado superiore al secondo)

Come si risolve un’equazione di grado superiore al secondo che non sia né binomiatrinomia? Come si risolve un'equazione scomponibile? L’unico modo è cercare di scomporla in fattori per ottenere prodotti di polinomi di gradi inferiore a quello di partenza, e poi risolvere l’equazione applicando la legge di annullamento del prodotto.

 

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Come risolvere le equazioni scomponibili di grado superiore al secondo

 

Quali armi abbiamo per scomporre in fattori un’equazione?

 

Raccoglimento

 

Tramite raccoglimenti opportuni è possibile ricondurre un’equazione di grado superiore al secondo a prodotti di polinomi di primo e secondo grado, o equazioni binomie e trinomie. Questo metodo, sebbene intuitivo e rapido non è sempre applicabile facilmente; in ogni caso saper effettuare i raccoglimenti totali e i raccoglimenti parziali potrebbe rivelarsi particolarmente utile!

 

Qualche esempio

 

1. x^3-3x=0

 

Raccogliamo x:  x(x^2-3)=0, applichiamo la regola di annullamento del prodotto e risolviamo separatamente x=0 e x^2-3=0, otteniamo tre soluzioni:

 

x_1=0, x_2=-\sqrt{3}, x_3=+\sqrt{3}.

 

2. x^3+9x^2=0

 

Raccogliamo x^2: x^2(x+9)=0, risolviamo separatemente

 

x^2=0 e x+9=0

 

otteniamo due soluzioni:

 

x_1=0, x_2=-9.

 

E se avessimo raccolto in maniera diversa, sarebbe stata la stessa cosa? Certamente si! Proviamo:

 

Raccogliamo x: x(x^2+9x)=0, risolviamo separatemente

 

x=0 e x^2+9x=0, nella seconda equazione possiamo raccogliere ancora x:

 

x(x+9)=0, cioè x=0 e x=-9. Quindi viene reso più esplicito il

 

fatto che troviamo per due volte la soluzione x=0, ma vedete bene che le soluzioni sono sempre:

 

x_1=0, x_2=-9.

 

3. x^3+12x^2+35x=0

 

Raccogliamo x: otteniamo x(x^2+12x+35)=0. Risolviamo separatamente le due equazioni x=0 e x^2+12x+35=0, otteniamo tre soluzioni (una dalla prima equazione e due dalla seconda):

 

x_1=0, x_2=-7, x_3=-5.

 

4. x^5+3x^4-x-3=0

 

Raccogliamo x^4 trai primi due addendi, otteniamo

 

x^4(x+3)-x-3=0, raccogliamo un meno tra gli ultimi due addendi e aggiungiamo due parentesi per capire come raccogliere:

 

x^4(x+3)-(x+3)=0,

 

raccogliamo x+3:

 

(x+3)(x^4-1)=0.

 

Risolviamo separatamente le due equazioni, rispettivamente un’equazione di primo grado e una binomia, (se questi nomi non vi suonano famigliari, consultate pure gli articoli sulle equazioni binomie e trinomie):

 

x+3=0 e x^4-1=0, otteniamo tre soluzioni:

 

x_1=-3, x_2=-1, x_3=+1.

 

5. x^5+2x^4+2x^3=0

 

Raccogliamo x^3: x^3(x^2+2x+2)=0.

 

I due fattori sono un’equazione binomia e una di secondo grado, risolviamo le equazioni associate a ciascun fattore separatamente:

 

x^3=0 e x^2+2x+2=0.

 

La prima equazione ha come soluzione x=0.

 

La seconda invece ha discriminante negativo, quindi non ammette soluzione, di conseguenza avremo una sola soluzione data da

 

x_1=0.

 

Regola di Ruffini

 

La regola di Ruffini permette di dividere facilmente un polinomio di grado qualsiasi per un polinomio di primo grado. Quindi, supponiamo di avere un’equazione di grado n, applicando Ruffini potremo scrivere l’equazione come prodotto di un polinomio di primo grado e un polinomio di grado n-1. Ripetendo il processo un numero sufficiente di volte potremo ricondurci a un’equazione scomposta come prodotto di fattori di grado 1 e un fattore di grado 2.

 

Qualche esempio

 

1. x^3+6x^2+11x+6=0

 

Per poter applicare la regola di Ruffini dobbiamo trovare una soluzione particolare dell’equazione Per farlo cerchiamo tra i divisori del termine noto (ovvero il termine di grado zero): \pm 1, \pm 2, \pm 3. Partiamo dal più piccolo (per comodità) e sostituiamolo al posto di x nell’equazione, per iniziare poniamo x=1, otteniamo:

 

1^3+6\cdot1^2+11\cdot 1+6=0, sviluppando i calcoli si ha

 

1+6+11+6=0, cioè 24=0, quindi x=1 non è una soluzione dell’equazione.

 

Proviamo con x=-1:

 

(-1)^3+6\cdot(-1)^2+11\cdot(-1)+6=0, sviluppando i calcoli si ha

 

-1+6-11+6=0, cioè 0=0, quindi x=-1 è una soluzione dell’equazione. Quindi potremo riscrivere la nostra equazione come prodotto di due fattori: (x+1)(\mbox{qualcosâaltro})

 

Cosa sia quel qualcos’altro ce lo dice la regola di Ruffini, riportiamo qui la tabella che vi dà la risoluzione.

 

Usare la regola di Ruffini per risolvere un'equazione scomponibile

 

Quindi l’equazione si può riscrivere come

 

(x+1)(x^2+5x+6)=0

 

Rimane da applicare la legge di annullamento del prodotto e il gioco è fatto, risolviamo separatamente

 

x+1=0

 

x^2+5x+6=0

 

Ottenendo tre soluzioni date da

 

x_1=-1, x_2=-2, x_1=-3

 

2. x^3+8x^2+11x-20=0

 

Il procedimento è analogo, la soluzione particolare questa volta è x=1, la regola di Ruffini ci porta alla tabella:

 

Tabella per Ruffini in un'equazione scomponibile di grado superiore al secondo

 

Che ci permette di riscrivere l’equazione come

 

(x-1)(x^2+9x+20)=0

 

Risolviamo

 

x-1=0

 

x^2+9x+20=0

 

Otteniamo tre soluzioni date da

 

x_1=1, x_2=-5, x_1=-4

 

 

Nota bene: negli esercizi su questo tipo di equazioni capita spesso che siano fratte. In questo caso dovrete semplicemente calcolare il denominatore comune, scrivere le condizioni di esistenza ponendo

 

\mbox{denominatore}\neq 0

 

e procedere alla risoluzione di

 

\mbox{numeratore}=0

 

con il metodo spiegato nell'articolo e infine confrontare le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza.

 


  

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\alpha.

 

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