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Equazioni scomponibili (equazioni di grado superiore al secondo)

Come si risolve un’equazione di grado superiore al secondo che non sia né binomiatrinomia? Come si risolve un'equazione scomponibile? L’unico modo è cercare di scomporla in fattori per ottenere prodotti di polinomi di gradi inferiore a quello di partenza, e poi risolvere l’equazione applicando la legge di annullamento del prodotto.

 

Come risolvere le equazioni scomponibili di grado superiore al secondo

 

Quali armi abbiamo per scomporre in fattori un’equazione?

 

Raccoglimento

 

Tramite raccoglimenti opportuni è possibile ricondurre un’equazione di grado superiore al secondo a prodotti di polinomi di primo e secondo grado, o equazioni binomie e trinomie. Questo metodo, sebbene intuitivo e rapido non è sempre applicabile facilmente; in ogni caso saper effettuare i raccoglimenti totali e i raccoglimenti parziali potrebbe rivelarsi particolarmente utile!

 

Qualche esempio

 

\bullet \ x^3-3x=0

 

Raccoglendo a fattor comune il termine x avremo:

 

x(x^2-3)=0.

 

Applichiamo ora la regola di annullamento del prodotto e risolviamo separatamente

 

x=0 \ \mbox{e} \ x^2-3=0.

 

Otteniamo le tre soluzioni:

 

x_1=0, \ x_2=-\sqrt{3}, \ x_3=\sqrt{3}

 

 


 

 

\bullet \ x^3+9x^2=0

 

Raccogliamo x^2: \ x^2(x+9)=0 e risolviamo separatemente

 

x^2=0 e x+9=0

 

otteniamo due soluzioni:

 

x_1=0, x_2=-9

 

 


 

 

\bullet \ x^7+12x^6+35x^5=0

 

Raccogliamo a fattor comune x^5.

 

Otteniamo x^5(x^2+12x+35)=0.

 

Risolviamo separatamente le due equazioni

 

x^5=0, da cui la prima soluzione x_1=0

 

Passando al secondo fattore

 

x^2+12x+35=0

 

dobbiamo risolvere un'equazione di secondo grado che ha come soluzioni:

 

x_2=-7, \ x_3=-5

 

 


 

 

4. x^5+3x^4-x-3=0

 

Optiamo per un raccogliemento parziale, mettendo in evidenza x^4 trai primi due addendi e -1 tra gli ultimi due. Otterremo:

 

x^4(x+3)-(x+3)=0

 

Da cui, dopo un raccoglimento totale del termine x+3:

 

(x+3)(x^4-1)=0.

 

Risolviamo separatamente le due equazioni, rispettivamente un’equazione di primo grado e una binomia.

 

x+3=0 \ \to \ x=-3

 

x^4-1=0 \ \to \ x=\pm 1

 

Avremo quindi le tre soluzioni:

 

x_1=-3,\ x_2=-1,\ x_3=1.

 

 


 

 

Regola di Ruffini

 

La regola di Ruffini permette di scrivere un polinomio di grado n, come prodotto di un polinomio di primo grado e un polinomio di grado n-1. Ripetendo il processo un numero sufficiente di volte potremo quindi ricondurci a un'equazione scomposta come prodotto di fattori di grado 1 e un fattore di grado 2.

 

Qualche esempio

 

\bullet \ x^3+6x^2+11x+6=0

 

In questo caso i raccoglimenti non ci portano da nessuna parte. Provare per credere ;)

 

Optiamo quindi per la regola di Ruffini.

 

Iniziamo col trovare una soluzione particolare dell’equazione. Per farlo dobbiamo ricorrere al teorema del resto, ovvero cercare tra i divisori del termine noto (ovvero il termine di grado zero) che in questo caso sono:

 

\pm 1, \pm 2, \pm 3.

 

Partiamo dal più piccolo (per comodità) e sostituiamolo al posto di x nell’equazione, per iniziare poniamo x=1, otteniamo:

 

1^3+6\cdot1^2+11\cdot 1+6=0, sviluppando i calcoli si ha

 

1+6+11+6=0, cioè 24=0 che è ovviamente impossibile.

 

Quindi x=1 non è una soluzione dell’equazione.

 

Proviamo con x=-1:

 

(-1)^3+6\cdot(-1)^2+11\cdot(-1)+6=0, sviluppando i calcoli si ha

 

-1+6-11+6=0, cioè 0=0, quindi x=-1 è una soluzione dell’equazione.

 

Potremo allora riscrivere la nostra equazione come prodotto di due fattori:

 

(x+1)(\mbox{qualcosâaltro})

 

Cosa sia quel qualcos’altro ce lo dice la regola di Ruffini, riportiamo qui la tabella che vi dà la risoluzione.

 

 

Usare la regola di Ruffini per risolvere un'equazione scomponibile

 

 

Quindi l’equazione si può riscrivere come

 

(x+1)(x^2+5x+6)=0

 

Rimane da applicare la legge di annullamento del prodotto e il gioco è fatto, risolviamo separatamente

 

x+1=0

 

x^2+5x+6=0

 

Ottenendo tre soluzioni date da

 

x_1=-1, \ x_2=-2, \ x_1=-3

 

 


 

 

\bullet \ x^3+8x^2+11x-20=0

 

Il procedimento è analogo, la soluzione particolare questa volta è x=1, la regola di Ruffini ci porta alla tabella:

 

Tabella per Ruffini in un'equazione scomponibile di grado superiore al secondo

 

Che ci permette di riscrivere l’equazione come

 

(x-1)(x^2+9x+20)=0

 

Risolviamo

 

x-1=0

 

x^2+9x+20=0

 

Otteniamo tre soluzioni date da

 

x_1=1, \ x_2=-5, \ x_1=-4

 

 

Nota bene: negli esercizi su questo tipo di equazioni capita spesso che siano fratte. In questo caso dovrete semplicemente calcolare il denominatore comune trovando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e scrivere le condizioni di esistenza ponendo

 

\mbox{denominatore}\neq 0

 

e procedere alla risoluzione di

 

\mbox{numeratore}=0

 

con il metodo spiegato nell'articolo e infine confrontare le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza.

 

 


 

 

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\alpha.

 

 

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