Equazioni trinomie (equazioni di grado superiore al secondo)

Passiamo ad un caso un po' più complesso sulle equazioni di grado superiore al secondo: le equazioni trinomie. Dopo aver studiato le equazioni binomie, vediamo come risolvere le equazioni trinomie, ossia le equazioni che si presentano nella forma

 

ax^{2n}+bx^n+c=0

 

con a,b,c\in\mathbb{R} e a\neq 0 (l'ultima condizione impedisce di ricadere nel caso delle equazioni binomie che sappiamo già risolvere).

 

Prima di partire col metodo di risoluzione vi faccio notare che le equazioni trinomie includono un caso particolare, la famiglia delle cosiddette equazioni biquadratiche, ovvero quelle che si presentano nella forma:

 

ax^4+bx^2+c=0

 

Imparando quindi a risolvere le equazioni trinomie in generale (che è quello che tra poco faremo), saprete automaticamente trovare le soluzioni di un'equazione biquadratica. ;)

 

Metodo di risoluzione delle equazioni trinomie


Per trovare le soluzioni di un'equazione trinomia basta fare un cambiamento di variabile. Niente di che, è solo un modo altisonante per dire che sostituiamo x^n con un'altra incognita. Wink

 

Se siamo quindi di fronte ad un'equazione trinomia del tipo:

 

ax^{2n}+bx^n+c=0

 

basterrà porre y=x^n ed ottenere:

 

ay^{2}+by+c=0

 

Cioè un'equazione di secondo grado nell'incognita y (la scelta della lettera y è assolutamente casuale, avremmo potuto chiamare la nuova incognita w e nulla sarebbe cambiato).

 

Ora, dovreste sapere che un'equazione di secondo grado ammette soluzioni in base al segno del discriminante. Procediamo quindi per casi.

 

 

\bullet \ \Delta=b^2-4ac \textless 0

 

L'equazione ay^{2}+by+c=0 non ammette soluzioni e conseguentemente nemmeno la trinomia ax^{2n}+bx^n+c=0 ad essa associata ne ha. 

 

 

\bullet \ \Delta=b^2-4ac= 0

 

L'equazione di secondo grado ha due soluzioni coincidenti date da y=-\frac{b}{2a}.

 

Dunque ricordandoci che  y=x^n, ci troveremo a risolvere l’equazione binomia

 

x^n=-\frac{b}{2a}.

 

Se non ricordate come si fa potete consultare l’articolo o lo schema riassuntivo per la risoluzione delle equazioni binomie.

 

 

\bullet \ \Delta=b^2-4ac \textgreater 0

 

L'equazione ammette due soluzioni distinte del tipo

 

y_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

 

Torniamo all’incognita x: y=x^n. Dobbiamo risolvere

 

 x^n=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \mbox{ e }\ \ x^n=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 

ovvero due equazioni binomie. 

 

Troppe parole? Nessun problema, prova a guardare lo schema qui sotto e gli esempi subito dopo!

 

Schematicamente

 

 

Schema riassuntivo equazioni trinomie

 

Esempi sulle equazioni trinomie

 

1. x^4+2x^2+1=0

 

(Equazione biquadratica) cambiamo la variabile ponendo y=x^2. Otteniamo l’equazione di secondo grado associata:

 

y^2+2y+1=0

 

Calcoliamo il Δ:

 

\Delta=4-4=0.

 

L’equazione ammette due soluzioni coincidenti:

 

y_{1,2}=-1

 

Torniamo alla prima variabile. Troviamo l’equazione binomia: x^2=-1 che non ammette soluzioni. Dunque l’equazione trinomia non ha soluzioni.

 

 

2. x^6+5x^3+6=0

 

Cambiamo la variabile ponendo y=x^3, in questo modo passiamo all'equazione di II grado associata:

 

y^2+5y+6=0

 

Calcoliamo il discriminante

 

\Delta=25-24=1

 

dunque l’equazione ammette due soluzioni distinte

 

y_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{2}\mbox{ quindi }y_1=-3\mbox{ e }y_2=-2.

 

Tornando alla prima variabile, troviamo le equazione binomie:

 

x^3=-3 \ \mbox{e} \ x^3=-2

 

che sono entrambe risolubili e conducono alle due soluzioni:

 

x_1=\sqrt[3]{-3} e x_2=\sqrt[3]{-2}

 

 

3. 2x^8+5x^4+7=0

 

Cambiamo la variabile ponendo y=x^4. Così facendo avremo la solita equazione di 2° grado associata:

 

2y^2+5y+7=0

 

il cui delta è dato da

 

\Delta=25-56=-31 \textless 0

 

Dunque l'equazione trinomia non ha soluzioni.

 

 

4. 2x^{10}+3x^5-2=0

 

Procediamo per sostituzione ponendo y=x^5, ricaveremo anche qui l’equazione di secondo grado associata:

 

2y^2+3y-2=0

 

Ormai sappiamo come fare Wink

 

\Delta=9+16=25

 

Tale equazione ammette due soluzioni distinte:

 

y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}\mbox{ quindi }y_1=-2\mbox{ e }y_2=\frac{1}{2}.

 

Riprendiamo la variabile di partenza: otteniamo le due equazione binomie

 

x^5=-2 \ \mbox{e} \ x^5=\frac{1}{2}

 

entrambe risolubili:

 

x_1=\sqrt[5]{-2} \ \mbox{e} \ x_2=\sqrt[5]{\frac{1}{2}}

 

 

5. 3x^{12}+2x^6-5=0

 

Dopo aver cambiato la variabile ponendo y=x^6, arriviamo a

 

3y^2+2y-5=0

 

calcoliamo il discriminante

 

\Delta=4+60=64

 

L’equazione ammette due soluzioni distinte:

 

y_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{6}\mbox{ quindi }y_1=-\frac{5}{3}\mbox{ e }y_2=1.

 

Torniamo alla prima variabile. Troviamo le equazione binomie:

 

x^6=-\frac{5}{3} \ \mbox{e} \ x^6=1.

 

La prima equazione binomia non ammette soluzioni, infatti non possiamo estrarre la radice di indice pari di un numero negativo. Al contrario la seconda è risolubile e le sue due soluzioni sono:

 

x_1=-1 \ \mbox{e} \ x_2=1.

 

Un'ultima osservazione sulla risoluzione delle equazioni trinomie

 

Può capitare di dover risolvere equazioni trinomie che potrebbero ingannarvi, ma in realtà non sono più complesse di quelle trattate nell'articolo, cioè equazioni del tipo:

 

a\left[f(x)\right]^{2n}+b\left[f(x)\right]^n+c=0

 

dove f(x) è un'espressione contente la x. Nessun problema, semplicemente invece della sostituzione y=x^n dovrete porre y=\left[f(x)\right]^n.

 

Grazie all'esempio che segue tutto dovrebbe risultare chiaro. Consideriamo:

 

(x-3)^{2}x^2+8x(x-3)-20=0

 

che possiamo riscrivere come:

 

\left[x(x-3)\right]^2+8[x(x-3)]-20=0

 

ovvero siamo di fronte ad un'equazione trinomia particolare con

 

f(x)=x(x-3)

 

Utilizzando il procedimento standard, cambiamo la variabile ponendo y=x(x-3).

 

Ne verrà fuori l'equazione

 

y^{2}+8y-20=0

 

In questo specifico caso possiamo addirittura risparmiare fatica usando la formula del delta quarti (non è obbligatoria!)

 

\frac{\Delta}{4}=36

 

e di conseguenza le due soluzioni sono y_{1,2}=-4\pm 6, ovvero:

 

y_1=-10 \ \mbox{ e } \ y_2=2.

 

Torniamo alla variabile di partenza, e consideriamo le relative equazioni:

 

\bullet \ (x-3)x=10 \ \mbox{ ovvero }  \ x^2-3x-10=0

 

le cui soluzioni sono x_1=-2 \ \mbox{ e } \ x_2=5

 

\bullet \ (x-3)x=2 \ \mbox{ ovvero }  \ x^2-3x+2=0

 

le cui soluzioni sono x_3=1 \ \mbox{ e } \ x_4=2

 

Equazioni trinomie fratte

 

Può capitare a volte di imbattersi in equazioni trinomie fratte. In questo caso è sufficiente imporre le condizioni di esistenza ponendo ogni denominatore diverso da zero

 

\mbox{denominatore}\neq 0

 

e ridursi ad un'unica frazione algebrica, facendo i calcoli, in modo da arrivare a

 

\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}=0

 

A questo punto cancelliamo il denominatore e risolviamo

 

\mbox{numeratore}=0

 

In parole povere si procede secondo il metodo spiegato nell'articolo sulle equazioni fratte di secondo grado, solo che in questo caso arriviamo a dover risolvere un'equazione trinomia. ;)

 

 


 

 

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\alpha.

 

 

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