Equazioni binomie (equazioni di grado superiore al secondo)

Tra le equazioni di grado superiore al secondo, ovvero dove l’incognita x compare elevata a una potenza maggiore di due, le equazioni binomie sono le più semplici, infatti in esse compare soltanto l’incognita con coefficiente e un termine noto. Sono della forma

 

ax^n+b=0

 

con a diverso da 0.

 

Metodo di risoluzione delle equazioni binomie

 

La risoluzione di questo tipo di equazioni è decisamente semplice, bisogna però stare attenti alla potenza a cui è elevata la x.

 

 

Procediamo per casi:

 

- n è dispari: la soluzione dell’equazione binomia è data da

 

x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}.

 

Infatti è possibile estrarre la radice di indice dispari di qualunque numero reale indipendentemente dal segno della quantità -\frac{b}{a}.

 

Sappiamo però che non è così per le radici con indice pari, quindi dobbiamo distinguere un ulteriore caso

 

 

- se n è pari: non è possibile estrarre la radice di indice pari di numeri negativi, pensate alla radice quadrata: non è possibile trovare il valore, in termini di numeri reali, di \sqrt{-1}.

 

Avendo fissato n pari dobbiamo distinguere altri due sottocasi.

 

 

1. Se i coefficienti a e b sono discordi, cioè se hanno segno diverso, allora l’equazione binomia ammette due soluzioni:

 

x=\pm\left(\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}\right).

 

Infatti in questo caso la quantità -\frac{b}{a}} sarà positiva, dunque è lecito estrarne la radice.

 

 

2. Se invece a e b sono concordi, cioè se hanno segno uguale, l’equazione binomia non ha soluzioni infatti la quantità -\frac{b}{a}} risulta negativa, quindi non possiamo estrarne la radice n-esima.

 

Schematicamente

 

 

Risoluzione delle equazioni binomie

 

Esempi sulle equazioni binomie


A. Equazioni binomie con n dispari

 

Vi ricordo che per questo tipo di equazioni non è necessario alcun controllo sui coefficienti, perché n è dispari.

 

 

I. x^3-8=0

 

Passiamo a x^3=8 possiamo estrarre la radice senza preoccuparci del segno poiché l’esponente di x è dispari, dunque otteniamo

 

\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{8}

 

cioè x=2.

 

 

II. x^3+8=0

 

Scriviamo l'equazione come x^3=-8 come dicevamo sopra il segno dei coefficienti nel caso di grado dispari non ha nessuna importanza. Quindi otteniamo \sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{-8} che come soluzione ha x=-2.

 

 

III. 3x^5-21=0

 

Il procedimento è identico ai primi due esempi, semplicemente il coefficiente del termine con la x è diverso da 1, ma sostanzialmente non cambia nulla, dovete fare - magari anche a mente - solo un passaggio in più:

 

3x^5=21

 

quindi x^5=\frac{21}{3}Semplifichiamo la frazione

 

x^5=7

 

Dato che l’esponente è dispari  possiamo estrarre a sinistra e a destra dell’uguale. La radice quinta, ottenendo \sqrt[5]{x^5}=\sqrt[5]{7}, cioè

 

x=\sqrt[5]{7}

 

 

IV. 23x^{21}-19=0

 

Numeri un po’ più grandi, ma stessa storia di prima, andiamo un po’ più veloci:

 

23x^{21}=19\mbox{ }\rightarrow\mbox{ }x^{21}=\frac{19}{23}\mbox{ }\rightarrow\mbox{ }x=\sqrt[21]{\frac{19}{23}}

 

 

V. \sqrt{3}x^{11}+\log_{2}5=0

 

Ultimo esempio: per mettere alla prova la vostra pazienza abbiamo scelto numeri un po’ assurdi, ma il punto è che per queste equazioni, quando hanno esponente dispari, dovete andare dritti lungo il vostro procedimento, senza preoccuparvi di nient’altro, e se la radice è facile si esplicita, altrimenti si lascia indicata! Attenzione però che tutto sia coerente, guardate:


\sqrt{3}x^{11}=-\log_{2}5,

 

il logaritmo in base 2 di 5 è un numero reale dunque non dà problemi, (ricordando che i logaritmi sono definiti solo per valori reali strettamente positivi, cioè x>0). Procediamo con il solito metodo ottenendo

 

x^{11}=\frac{-\log_{2}5}{\sqrt{3}}

 

dopo aver estratto la radice undicesima, si ha

 

x=\sqrt[11]{\frac{-\log_{2}5}{\sqrt{3}}}.

 

 

B. Equazioni binomie con n pari


Questo caso non è così semplice; quando l’esponente dell’incognita è pari, non potendo estrarre la radice di indice pari di numeri negativi, dobbiamo osservare i coefficienti, cioè il numero che moltiplica la x e il termine noto. Se sono discordi (di segno diverso) allora l’equazione ammette due soluzioni distinte, se invece sono concordi (di segno uguale) l’equazione NON ammette soluzioni. Andiamo agli esempi.

 

 

I.  x^4-1=0

 

Il coefficiente del termine in x è 1, mentre il termine noto è -1, sono discordi, quindi abbiamo due soluzioni distinte date da

 

x^4=1, x=\pm 1.

 

 

II.  x^4+1=0

 

I coefficienti sono concordi, non dobbiamo nemmeno proseguire, l’equazione non ha soluzioni. Infatti anche intestardendoci e provando a risolvere l'equazione

 

x^4=-1

 

ci ritroveremmo con una potenza pari, non negativa per definizione, uguagliata ad un numero negativo. Impossibile!

 

 

III.  5x^6+3=0

 

I coefficienti sono concordi, non dobbiamo nemmeno proseguire, l’equazione non ha soluzioni.

 

 

IV. 21(x^3)^2-7=0

 

Per una nota proprietà delle potenze la possiamo riscrivere come:

 

21x^6-7=0

 

I coefficienti sono discordi: sono 21 e -7, quindi procediamo nella risoluzione, otteniamo

 

x^6=\frac{7}{21}

 

ovvero

 

x^6=\frac{1}{3}.

 

Estraiamo la radice sesta e abbiamo finito

 

x=\pm\sqrt[6]{\frac{1}{3}}.

 

 

V. \pi^5x^6-2=0

 

\pi^5 è soltanto un numero reale, e ricordate che nessun esponente ci interessa se non quello del termine in x, che è pari. Confrontiamo i coefficienti che sono \pi^5 e -2, sono discordi. Procediamo con la risoluzione. Otteniamo

 

x=\pm\sqrt[6]{\frac{2}{\pi^5}}.

 

Equazioni binomie fratte

 

Negli esercizi su questo tipo di equazioni capita spesso che siano di mezzo dei rapporti in cui l'incognita compare a denominatore. In questo caso dovrete semplicemente calcolare il denominatore comune, non prima di aver imposto le condizioni di esistenza ponendo tutti i denominatori diversi da zero

 

\mbox{denominatore}\neq 0

 

Successivamente potremo fare i conti con le frazioni algebriche e ridurci ad un'equazione del tipo

 

\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}=0

 

cosicché dovremo solamente eliminare il denominatore e risolvere l'equazione binomia

 

\mbox{numeratore}=0

 

con il metodo spiegato in precedenza. Infine dovremo confrontare le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza.

 

Esempio


\frac{4x^3-7}{x+1}=0

 

Per cominciare, prendiamo nota delle condizioni di esistenza: poniamo

 

x+1\neq 0\mbox{ cioè } x\neq -1.

 

A questo punto procediamo nella risoluzione con il metodo standard per le equazioni binomie, perché le CE ci permettono di cancellare il denominatore!

 

4x^3-7=0\mbox{ cioè } x=\sqrt[3]{\frac{7}{4}}.

 

e la soluzione è accettabile.

 

 


 

 

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\alpha.

 

 

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