Formula del discriminante

Ci occupiamo ora di mostrare come si ricava la formula del discriminante (o formula del delta) che permette di risolvere le equazioni di secondo grado ad un'incognita: nell'articolo sulle equazioni di secondo grado avete letto come risolvere le equazioni di secondo grado attraverso il calcolo del discriminante. In quell'articolo, però, non abbiamo scritto perché quella formula funziona né come si ricava, potete leggerlo qui sotto!

 

Come ricavare la formula del discriminante

 

Prima di tutto bisogna ricordare come si sviluppa il quadrato di un binomio:

 

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

 

Le nostre equazioni di secondo grado, vi ricordiamo, sono della forma:

 

ax^2+bx+c=0

 

con a,b,c\in\mathbb{R}a\neq 0

 

L'obiettivo è riuscire a scrivere quell'equazione in modo da sfruttare la formula del quadrato di un binomio, in particolare arriveremo a scrivere (2ax+b)^2=\mbox{qualcosa che chiameremo discriminante} . Iniziamo portando il termine noto c a sinistra:

 

ax^2+bx=-c

 

Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per 4a, otteniamo

 

4a(ax^2+bx)=-4ac

 

4a^2x^2+4abx=-4ac

 

Ora è possibile riscrivere l'ultima equazione come

 

(2ax)^2+2\cdot(2ab)\cdot x=-4ac

 

Cosa manca per ottenere il quadrato (2ax+b)^2 che cerchiamo? Basta aggiungere a entrambi i membri dell'uguaglianza b^2, otteniamo

 

(2ax)^2+2\cdot(2ab)\cdot x+b^2=b^2-4ac

 

cioè

 

(2ax+b)^2=b^2-4ac

 

A destra dell'uguale leggete proprio il discriminante!

 

 

Ora se


\bullet \ \Delta=b^2-4ac \textless 0

 

non avremo soluzioni reali, poiché il quadrato (2ax+b)^2 è sempre positivo o nullo!


\bullet \ \Delta=b^2-4ac=0

 

sostituendo abbiamo che (2ax+b)^2=0, cioè (2ax+b)(2ax+b)=0.

 

Dunque la nostra equazione ha due soluzioni reali coincidenti date da x=-\frac{b}{2a}.


\bullet \ \Delta=b^2-4ac \textgreater 0

 

possiamo estrarre la radice quadrata, ottenendo

 

2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}

 

ovvero la formula risolutiva standard per le equazioni di secondo grado ad un'incognita che ci dà due soluzioni reali e distinte:

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 

 


 

 

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\alpha

 

 

Esercizi correlati

Beginner: SCHEDA 1 - SCHEDA 2

Intermediate: SCHEDA 1 - SCHEDA 2

 

N.B. Gli esercizi correlati a questa lezione sono gli stessi che trovate nella lezione sulle equazioni di secondo grado.

 

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