Equazioni di secondo grado

Dopo aver imparato a risolvere le equazioni di primo grado, il passo successivo è occuparsi delle equazioni di secondo grado ad un'incognita, cioè equazioni dove l'incognita x compare al massimo elevata al quadrato. (Se avete difficoltà con le equazioni di primo grado date uno sguardo all'omonima lezione). 

 

Come sono fatte le equazioni di secondo grado?

 

Un'equazione di secondo grado è del tipo

 

ax^2+bx+c=0

 

dove i coefficienti a,b,c\in\mathbb{R} e a\neq 0. Quest'ultima condizione è necessaria perché l'equazione sia di secondo grado, infatti se a fosse nullo l'equazione sarebbe

 

bx+c=0

 

che è chiaramente un'equazione di primo grado!

 

Chiarite le premesse procediamo verso il nostro obiettivo: trovare le soluzioni!

 

Formula risolutiva per le equazioni di secondo grado

 

Per fortuna per le equazioni di secondo grado esiste una formula standard di risoluzione. Il procedimento potrebbe sembrarvi oscuro all'inizio, ma per ora seguiteci e fidatevi, tutto sarà chiaro in meno di 1000 parole! Procediamo per passi:

 

1. Calcoliamo il discriminante dell'equazione, si indica con la lettera greca \Delta ed è definito come

 

\Delta=b^2-4ac

 

dove a,b,c sono proprio i coefficienti che compaiono nell'equazione.

 

2. Il discriminante è solo un numero reale, ma il suo ruolo è importantissimo: ci dice se l'equazione ha soluzioni e quante ne ha:

 

  • \Delta>0 l'equazione ha due soluzioni reali e distinte;
     
  • \Delta=0 l'equazione ha due soluzioni coincidenti;
     
  • \Delta<0 l'equazione non ha soluzioni reali.

 

Le soluzioni di un'equazione di secondo grado hanno la seguente forma:

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

 

Nel caso \Delta>0 saranno distinte mentre nel caso \Delta=0 saranno coincidenti.

 

Abbiamo già finito! Con questo procedimento potete risolvere qualunque equazione di secondo grado, ma esistono dei casi particolari che possono essere risolti molto più in fretta, o delle strategie che vi risparmieranno molti conti. Ne facciamo una lista qui sotto, ma prima qualche esempio di risoluzione.

Risoluzione di equazioni di secondo grado con il metodo del discriminante

 

Vediamo subito qualche esempio sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado e in particolare sull'applicazione della relativa formula.

 

1. x^2+3x-4=0

 

Calcoliamo il discriminante:

 

\Delta=b^2-4ac=9+16=25

 

e applichiamo la formula

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-3\pm 5}{2}

 

da cui le due soluzioni dell'equazione

 

x_1=\frac{-3- 5}{2}=-\frac{8}{2}=-4

 

x_2=\frac{-3+ 5}{2}=\frac{2}{2}=1

 

 

2a. x^2-2\sqrt{2}x+2=0

 

\Delta=b^2-4ac=8-8=0

 

x_{1,2}=\frac{-b}{2a}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.

 

 

2b. x^2-2\sqrt{2}x+2=0

 

Questa equazione si può risolvere in modo più rapido se ci si rende subito conto che abbiamo a che fare con il quadrato di un binomio:

 

(x-\sqrt{2})^2=0\rightarrow (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})=0

 

e conseguentemente

 

x_{1,2}=\sqrt{2}.

 

 

3. x^2+3x+4=0

 

\Delta=b^2-4ac=9-16=-7

 

Il discriminante è negativo, dunque l'equazione non ha soluzioni reali!

 

 


 

Siete curiosi di sapere come si arriva a questa formula? Leggete l'articolo equazioni di secondo grado ad un'incognita: come si arriva al discriminante?

 


 

 

Equazioni di secondo grado spurie

 

Un'equazione di secondo grado si dice spuria se il coefficiente c=0, cioè se è della forma

 

ax^2+bx=0

 

Risolverla in questo caso è molto più facile e non è necessario calcolare il discriminante, infatti potete ottenere le soluzioni applicando la legge di annullamento del prodotto, cioè il prodotto di due fattori è zero se almeno uno dei due fattori è nullo:

 

ax^2+bx=0\rightarrow x(ax+b)=0

 

Applicare la legge di annullamento al prodotto x(ax+b)=0 significa sostanzialmente porre ognuno dei due fattori uguale a zero, abbiamo:

 

x=0

 

e

 

ax+b=0

 

Otteniamo così due soluzioni distinte:

 

x_1=0\mbox{ e }x_2=\frac{-b}{a}

 

Esempio di equazione spuria


3x^2+7x=0

 

Applicando il procedimento descritto sopra otteniamo x(3x+7)=0, ovvero:

 

x=0

 

e


3x+7=0

 

Quindi le soluzioni sono

 

x_1=0\mbox{ e }x_2=\frac{-7}{3}

 

Per approfondire, vedi equazione spuria - click!

 

Equazioni di secondo grado pure

 

Un'equazione di secondo grado si dice pura se il coefficiente b=0, cioè se è della forma

 

ax^2+c=0

 

Risolvere un'equazione in questa forma è semplice, infatti la soluzione si calcola direttamente:

 

x^2=\frac{-c}{a}

 

A questo punto dobbiamo estrarre la radice quadrata, ma sappiamo che non è possibile estrarre la radice quadrata di quantità negative!

 

Quindi se \frac{-c}{a}>0 l'equazione ammette due radici reali e distinte data da:

 

x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}

 

Se invece \frac{-c}{a} \textless 0, l'equazione è impossibile nell'insieme dei numeri reali.

 

Esempi di equazioni pure

 

1. -2x^2+4=0

 

Applicando il procedimento otteniamo

 

x^2=\frac{-4}{-2}=\frac{4}{2}=2

 

Il secondo membro, 2, è positivo, quindi l'equazione ammette due soluzioni distinte date da x_{1,2}=\pm\sqrt{2}

 

2. 3x^2+7=0

 

Si ha

 

x^2=\frac{-7}{3}

 

dove \frac{-7}{3} è negativo, dunque l'equazione non ammette soluzioni reali.

 

Non basta? Vedi qui: equazioni pure.

 

Equazioni di secondo grado monomie

 

Un'equazione di secondo grado si dice monomia se b=0 c=0, cioè se è della forma

 

ax^2=0

 

In questo caso l'equazione ammette due soluzioni coincidenti e nulle, cioè

 

x_1=x_2=0.

 

Vi state chiedendo se dovete per forza memorizzare tutti questi tipi di equazioni di secondo grado? La risposta scolastica sarebbe: certamente!

 

Volendo essere pragmatici la risposta è questa: riconoscere questi tre (anzi due, il terzo è decisamente riconoscibile anche presi dall'ansia da verifica/esame) tipi di equazioni di secondo grado vi risparmia un buon numero di calcoli; però la formula risolutiva del discriminante risolve senza problemi anche questi tre casi particolari. Quindi vi basterà sostituire il valore 0 al posto del coefficiente nullo, per vederlo risolviamo con il discriminante un'equazione per tipo:

 

 

1. 3x^2+7x=0

 

Potete riscrivere l'equazione come

 

3x^2+7x+0=0

 

Il discriminante è dato da

 

\Delta=b^2-4ac=49-4\cdot 3\cdot 0=49-0=49

 

Le soluzioni sono

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-7\pm\sqrt{49}}{6}

 

cioè

 

x_1=\frac{-7+7}{6}=\frac{0}{6}=0

 

e

 

x_2=\frac{-7-7}{6}=\frac{-14}{6}=\frac{-7}{3}.

 

 

2. -2x^2+4=0

 

Potete riscrivere l'equazione come

 

-2x^2+0x+4=0

 

Il discriminante è dato da

 

\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot(-2)\cdot 4=0+32=32

 

Le soluzioni sono

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0\pm\sqrt{32}}{-4}=\frac{\pm 4\sqrt{2}}{-4}.

 

cioè

 

x_1=-\sqrt{2}\mbox{ e }x_2=\sqrt{2}.

 

 


 

 

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\alpha

 

Esercizi correlati

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Intermediate: SCHEDA 1 - SCHEDA 2

 

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