Equazioni con valore assoluto

In questo articolo tratteremo un argomento molto delicato e che non è facilmente digeribile dagli studenti: le equazioni con valore assoluto. Proveremo a schematizzare la parte teorica così da semplificare il più possibile il vostro compito e permettervi di risolvere le equazioni con i valori assoluti in modo semplice. Dai, cominciamo!

 

Equazioni con valore assoluto semplici

 

Ossia le equazioni con un solo valore assoluto, della forma

 

|A(x)|= k

 

Consideriamo una espressione generica A(x) dipendente dalla variabile x, e sia k\in\mathbb{R}. Distinguiamo diversi casi:

 

- se k\,\,\textgreater\,\, 0, l'equazione

 

|A(x)|= k è equivalente a A(x)= k\ \vee\ A(x)= -k

 

- Se k=0 

 

|A(x)|=0 è equivalente all'equazione A(x)=0

 

- Se k\,\,\textless\,\, 0

 

|A(x)|=k non ha soluzioni

 

e diremo quindi che l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto. :)

 

Nota bene: due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

 

Esempi di equazioni semplici con un valore assoluto

 

1) |x^2-x-7|= 5

 

Ci ritroviamo nel caso k\textgreater 0 e seguendo la direttiva data, dobbiamo risolvere due equazioni

 

\overbrace{x^2-x-7=5}^{A(x)=k}\ \vee\ \overbrace{ x^2-x-7= -5}^{A(x)=-k}

 

La prima, associata a A(x)=k, è:

 

x^2-x-7&=5\iff x^2-x-12=0

 

Ci siamo ricondotti ad una equazione di secondo grado completa, che va quindi risolta con le formule oramai note. Le soluzioni saranno x_1=-3, x_2= 4.

 

La seconda, associata a A(x)=-k, è:

 

x^2-x-7=-5\iff x^2-x-2=0

 

Ancora una volta ci siamo ricondotti ad una equazione di secondo grado completa che ha per soluzioni x_3= -1,x_4= 2. Unendo le soluzioni trovate, possiamo asserire che l'insieme delle soluzioni dell'equazione |x^2-x-7|= 5 è S= \left\{-3, -1,2,4 \right\}.

 

2) |x^2-x-2|= 0

 

In questo caso k=0 e di conseguenza l'equazione con valore assoluto è equivalente a:

 

x^2-x-2=0

 

Utilizzando il metodo risolutivo per le equazioni di secondo grado otterremo le soluzioni x_1= -1\vee x_2= 2, che sono appunto le soluzioni dell'equazione di partenza. :)

 

3) |x-1|= -2, qui non dobbiamo fare alcun conto. Ci troviamo nel terzo caso dello schema risolutivo, possiamo subito concludere che l'insieme soluzione è l'insieme vuoto o, se vogliamo, l'equazione non ammette soluzioni.

 

Equazioni con due valori assoluti

 

Ossia le equazioni che si presentano nella forma

 

|A(x)|=|B(x)|

 

Siano A(x) e B(x) due espressioni matematiche che dipendono dalla variabile x. Allora l'insieme delle soluzioni dell'equazione |A(x)|=|B(x)| coincide con l'unione degli insiemi delle soluzioni delle equazioni A(x)= B(x) e A(x)= -B(x). Schematizzando, scriveremo che:

 

|A(x)|= |B(x)|\iff A(x)= B(x)\ \vee\ A(x)= -B(x)

 

Esempi di equazioni con due valori assoluti

 

Vogliamo risolvere l'equazione

 

|x^2-1|= |x+1|

 

che equivale alla risoluzione delle equazioni:

 

\overbrace{x^2-1= x+1}^{A(x)=B(x)}\ \vee\ \overbrace{ x^2-1=-x-1}^{A(x)=-B(x)}

 

Cominciamo a risolvere la prima equazione:

 

x^2-1= x+1\iff x^2-x-2=0\implies x_1= -1\vee x_2= 2

 

Ci siamo ricondotti alla risoluzione di una equazione di secondo grado completa. Risolviamo ora la seconda equazione 

 

x^2-1= -x-1\iff x^2+x=0\iff x_3=0\vee x_4=-1

 

Uniamo le soluzioni così da ottenere S=\left\{-1, 0, 2\right\}.

 

Visto com'è facile? Laughing D'ora in poi le cose si fanno un po' più serie, niente panico però, abbiamo bisogno di essere lucidi!

 

Equazioni con un valore assoluto e termine noto variabile

 

In questo caso ci troveremo di fronte ad equazioni del tipo

 

|A(x)|= B(x)

 

L'equazione |A(x)|=B(x) è equivalente all'unione di due sistemi misti:

 

|A(x)|=B(x)\iff\begin{cases}A(x)\ge 0\\ A(x)= B(x)\end{cases}\cup \begin{cases}A(x)\,\,\textless\,\,0\\ -A(x)= B(x)\end{cases}

 

Il perché di questa equivalenza è presto detto, basta ricordare la definizione di valore assoluto:

 

|A(x)|= \begin{cases}A(x)&\mbox{ se }A(x)\ge 0\\ -A(x)&\mbox{ se }A(x)\,\,\textless\,\, 0\end{cases} 

 

Vediamo subito un esempio di applicazione.

 

Esempio di equazione con un valore assoluto e termine noto variabile

 

Vogliamo risolvere l'equazione

 

|x^2-4|= 2x-4.

 

Associamo ad essa l'unione dei sistemi misti

 

\begin{cases}x^2-4\ge 0\\ x^2-4= 2x-4\end{cases}\cup \begin{cases}x^2-4\,\,\textless\,\,0\\ -(x^2-4)= 2 x-4\end{cases}

 

Risolviamo il primo

 

\begin{cases}x^2-4\ge 0\\ x^2-4= 2x-4\end{cases}\iff \begin{cases}x\le -2\vee x\ge 2\\x^2-2x=0\end{cases}

 

\begin{cases}x\le -2\vee x\ge 2\\x_1=0\vee x_2= 2\end{cases}

 

Osserviamo che l'equazione presente nel sistema conduce a due soluzioni, ma solo una è accettabile x=2. Teniamola a mente! Laughing

 

Concentriamoci ora con il secondo sistema

 

\begin{cases}x^2-4\,\,\textless\,\, 0\\ -x^2+4= 2x-4\end{cases}\iff \begin{cases}-2\,\,\textless\,\,x\,\,\textless\,\,2 \\ -x^2-2x+8=0\end{cases}

 

L'equazione presente nel secondo sistema dà per soluzioni: x= -4\vee x= 2, ma nessuna delle due soddisfano la prima condizione. Il secondo sistema non ha soluzioni. 

 

Concludiamo dicendo che l'equazione |x^2-4|= 2x-4 ha come (unica) soluzione x=2.

 

Equazioni con più valori assoluti

 

Per trattare questa parte procederemo con un esempio con il quale poi estrapoleremo il metodo generale . Risolviamo insieme l'equazione:

 

|x|+|x+1|-|x+2|=x

 

Siamo in presenza di una equazione con tre valori distinti. Procediamo come segue:

 

1) Studiamo il segno degli argomenti di ciascun valore assoluto presente nella equazione:

 

\begin{align*}x\ge 0&\mbox{ segno dell'argomento di }|x|\\ x\ge -1&\mbox{ segno dell'argomento di }|x+1|\\ x\ge -2&\mbox{ segno dell'argomento di }|x+2|\end{align}

 

2) Disegnamo lo schema dei segni ottenuti nel punto uno:

 

Metodo di risoluzione delle equazioni con valori assoluti

 

3) Con l'ausilio della tabella del punto 2, esplicitiamo i casi e risolviamo per ciascuno di essi le equazioni che variano in base ai segni.

 

Nell'ipotesi che x\textless -2, per definizione di valore assoluto si ha che:

 

|x|= -x\qquad |x+1|= -1-x\qquad |x+2|= -x-2

 

L'equazione diventa

 

-x-1-x-(-x-2)= x che risolta porta al risultato x=\frac{1}{2}

 

Attenzione: la soluzione ottenuta non è accettabile perché non rispetta la condizione x\textless -2.

 

Se -2\le x\textless -1 allora:

 

|x|= -x\qquad |x+1|= -x-1\qquad |x+2|= x+2

 

L'equazione diventa:

 

-x-x-1-x-2= x\implies x= -\frac{3}{4}

 

Anche questa soluzione non è accettabile perché non rispetta la condizione -2\le x\textless -1 .

 

Sotto l'ipotesi che -1\le x\textless 0 si ha invece che

 

|x|= -x\qquad |x+1|= x+1\qquad |x+2|= x+2

 

L'equazione diventerà:

 

-x+x+1-x-2=x

 

che conduce alla soluzione x= -\frac{1}{2}. Questa soluzione è accettabile perché soddisfa la condizione -1\le x\textless 0.

 

Infine se x\ge 0 allora  

 

|x|= x\qquad |x+1|= x+1\qquad |x+2|= x+2

 

L'equazione diventerà quindi

 

x+x+1-x-2=x

 

che non ammette soluzioni perché impossibile. 

 

4) Prendiamo solo le soluzioni accettabili trovate nel punto 3. Esse comporranno l'insieme soluzione della equazione di partenza. 

 

Nel nostro caso, l'equazione |x|+|x+1|-|x+2|=x ha per unica soluzione x= -\frac{1}{2}.

 

Ricapitolando

 

1. Studiare i segni degli argomenti di ciascun valore assoluto.

 

2. Costruire lo schema dei segni grazie al quale potremo distinguere gli intervalli in cui studiare l'equazione.

 

3. Determinare l'insieme soluzione parziale per ciascun caso, risolvendo l'equazione in ogni intervallo determinato nel punto 2. Utilizziamo la definizione di valore assoluto così che esso "sparisca".

 

4. L'insieme soluzione dell'equazione di partenza è dato l'unione delle soluzioni parziali determinati nel punto 3.

 

 


 

 

Dubbi o domande? Potete sempre effettuare una ricerca, abbiamo trattato molto spesso questo argomento! Ora tocca a voi "sporcarvi un po' le mani". Non scoraggiatevi alle prime avversità, insistete!

 

 

Alla prossima!

Ifrit

 

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