Equazioni lineari in seno e coseno

In questa lezione tratteremo le equazioni goniometriche lineari in seno e coseno, cioè quelle equazioni che si presentano nella forma:

  

a\sin(x)+b\cos(x)=c

 

dove sia a che b sono costanti diverse da zero (se una delle due fosse zero, avremmo una equazione goniometrica elementare). Casomai vi servissero le definizioni di seno e coseno, potete trovare tutto quel che serve nella lezione del link.

 

Sostanzialmente esistono tre metodi che consentono di determinare i valori dell'incognita x che soddisfi l'uguaglianza. I tre metodi comunque hanno un obiettivo comune, quello di ricondursi ad una o più equazioni goniometriche elementari :) Vediamone il primo!

 

Equazioni lineari trigonometriche con formule parametriche

 

Supponiamo di voler risolvere l'equazione 

 

a\sin(x)+b\cos(x)=c 

 

La prima cosa da fare è verificare se per x=\pm \pi, l'equazione è soddisfatta o meno, teniamo a mente questa informazione. :]

 

A questo punto facciamo intervenire le formule parametriche per il seno ed il coseno.

 

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\implies \begin{matrix} \sin(x)=\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}\\ \\\cos(x)= \displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{matrix}     (*)

 

Sostituendo nella equazione di partenza, portando a denominatore comune, otteniamo una equazione di secondo grado in t:

  

(b+c)t^2-2 a t -b+c=0

 

In base al discriminante associato avremo due soluzioni reali (distinte oppure coincidenti) oppure nessuna soluzione reale. Immaginiamo che il discriminante associato sia positivo, otterremo due soluzioni

 

t=t_1 \ \vee \ t=t_2

 

Attenzione! Non abbiamo finito! La nostra t è in realtà  \tan\left(\frac{x}{2}\right), pertanto alle soluzioni in t precedentemente determinate, dobbiamo associare le equazioni in cui compare la tangente

 

\begin{matrix}t=t_1&\implies& \tan\left(\frac{x}{2}\right)=t_1\\ \\ t=t_2&\implies&\tan\left(\frac{x}{2}\right)= t_2\end{matrix} 

 

Siamo felici perché abbiamo ottenuto due equazioni elementari facilmente risolvibili! :D

 

Esempio di equazione lineare con le formule parametriche

 

Risolvi l'equazione goniometrica lineare 

 

\sin(x)+\cos(x)=1 

 

Soluzione:

 

1) Verifichiamo se x=\pi \ \vee \ x=-\pi sono soluzioni della equazione: 

 

\begin{matrix}\sin(\pi)+\cos(\pi)&\ne & 1 \\ \sin(-\pi)+\cos(-\pi)&\ne & 1\end{matrix} 

 

x=\pix=-\pi sono soluzioni della equazione.

 

2) Utilizziamo le formule parametriche:

  

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\implies \begin{matrix}sin(x)= \frac{2t}{1+t^2}\\ \\ \cos(x)= \frac{1-t^2}{1+t^2}\end{matrix} 


e sostituiamole nell'equazione: 

 

\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}= 1

 

Dopo aver calcolato il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore: 

 

2t+1-t^2=1+t^2 

 

Scrivendo l'equazione in forma canonica:

 

-2t^2+2t=0 \ \iff \ t= 0 \ \vee  \ t=1

 

3) Associamo alle equazioni t=0 \ \vee \ t=1, le equazioni goniometriche elementari: 

 

\begin{matrix}t=0&\implies&\tan\left(\frac{x}{2}\right)=0&\iff& \frac{x}{2}=k\pi&\iff& x=2k\pi \\  t=1&\implies&\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&\iff &\frac{x}{2}= \frac{\pi}{4}+k\pi&\iff&x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{matrix} 

 

Questo metodo ha il pregio di essere molto semplice, ma la mole di conti a volte può risultare noiosa.  Undecided  Bisogna armarsi di pazienza e una buona dose di memoria, dobbiamo infatti tenere a mente le formule parametriche!

 

Metodo del passaggio al sistema per seno e coseno

 

Un ulteriore strumento che ci viene in aiuto nella risoluzione di equazioni lineari: 

 

a\sin(x)+b\cos(x)=c 

 

consiste nel porre: 

 

Y=\sin(x)\qquad X=\cos(x)

  

Dalla relazione fondamentale della trigonometria segue che:

 

X^2+Y^2=1 

 

Infatti X^2+Y^2= \cos^2(x)+\sin^2(x)=1

 

Grazie alla posizione, possiamo associare all'equazione goniometrica lineare, il sistema:

 

\begin{cases}a Y+b X=c\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases} 

 

Risolvendolo per sostituzione, si potranno presentare tre casi:

 

Caso 1) il sistema ammette due coppie di soluzioni reali e distinte in X e in Y.

 

Caso 2) il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti in X e Y.

 

Caso 3) il sistema non ammette soluzioni in X e in Y, in tal caso nemmeno l'equazione goniometrica ammette soluzioni.

 

 

Per farci un'idea della situazione possiamo ricorrere al metodo grafico. Infatti:

 

X^2+Y^2=1 rappresenta la circonferenza goniometrica, ovvero una circonferenza centrata nell'origine degli assi e con raggio 1, mentre

 

aX+bY=c rappresenta l'equazione di una retta.

 

Rappresentandole nel piano cartesiano i tre casi visti si riassumono nelle seguenti situazioni:

 

Caso 1) retta e circonferenza si intersecano in due punti distinti: la retta è secante la circonferenza.

 

Caso 2) la retta è tangente la circonferenza, ovvero si intersecano in un solo punto.

 

Caso 3) la retta è esterna la corconferenza, ovvero non hanno punti di intersezione.

 

 

Equazioni lineari con metodo grafico

 

 

A titolo di esempio, supponiamo di trovarci nel primo caso e di aver determinato le soluzioni (X_1,Y_1) e (X_2, Y_2). A ciascuna coppia di soluzioni associamo il sistema di equazioni elementari in seno e coseno: 

 

\begin{cases}X=X_1\\ Y=Y_1\end{cases}\iff \begin{cases}\cos(x)=X_1\\ \sin(x)= Y_1\end{cases}

 

Similmente per l'altra coppia:

 

\begin{cases}X=X_2\\ Y=Y_2\end{cases}\iff \begin{cases}\cos(x)=X_2\\ \sin(x)= Y_2\end{cases}

 

Otterremo due sistemi di equazioni goniometriche elementari. Vediamo un esempio pratico.

 

Esempio sul metodo del sistema e metodo grafico

 

Continuiamo a studiare l'equazione:

 

\sin(x)+\cos(x)=1

 

Poniamo Y=\sin(x)\mbox{ e }X=\cos(x) e associamo all'equazione il sistema:

 

\begin{cases}X+Y=1\\ X^2+Y^2=1\end{cases}

 

Risolviamo il sistema per sostituzione! :) Otterremo due coppie di soluzioni (0,1) e (1,0). Graficamente:

 

 

Metodo grafico per equazione lineare

 

 

Per la prima coppia: 

 

\begin{cases}X=0\\ Y=1\end{cases}\iff \begin{cases}\cos(x)=0\\ \sin(x)=1\end{cases} 

 

Dal sistema di equazioni goniometriche, otteniamo x=\frac{\pi}{2}+ 2k\pi con k intero. Per la seconda coppia di soluzioni: 

 

\begin{cases}X=1\\ Y=0\end{cases}\iff \begin{cases}\cos(x)=1\\ \sin(x)=0\end{cases} 

 

Il sistema d'equazioni goniomeriche ha per soluzione x=2k\pi. In definitiva possiamo concludere che l'equazione ha soluzioni:

 

x=2k\pi \vee x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Metodo dell'angolo ausiliario (o dell'angolo aggiunto).

 

Il metodo dell'angolo ausiliario si basa essenzialmente sulle formule di addizione del seno, e permette di esprimere una equazione goniometrica lineare ad una equazione goniometrica equivalente nel solo seno (quindi torniamo ci riconduciamo ad una equazione elementare)  servendoci di un angolo che a volte viene chiamato angolo di fase, o angolo ausiliario.

 

Vediamo come funziona! Vogliamo determinare le soluzioni dell'equazione: 

 

a\sin(x)+b\cos(x)=c 

 

Dobbiamo determinare l'angolo ausiliario \alpha che è dato dal sistema di equazioni elementari: 

 

\begin{cases}\sin(\alpha)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \\ \cos(\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}

 

Determinato l'angolo aggiunto, possiamo costruire l'equazione equivalente a quella di partenza:

 

\sin(x+\alpha)= \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}

 

Siamo molto felici perché ci siamo ricondotti ad una equazione elementare! :) 

 

Esempio sul metodo dell'angolo aggiunto

 

Prendiamo considerazione la solita equazione :) 

 

\sin(x)+\cos(x)=1 

 

1) Determiniamo l'angolo ausiliario: 

 

\begin{cases}\sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \cos(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

 

2) Costruiamo l'equazione in seno: 

 

\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)= \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

 

3) Risolviamo l'equazione elementare 

 

\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)= \frac{1}{\sqrt{2}}\iff

 

\iff x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\vee x+\frac{\pi}{4}= \frac{3}{4}\pi+2k\pi

 

Dalla prima equazione abbiamo che x= 2k\pi dalla seconda equazione invece x= \frac{\pi}{2}+2k\pi. Ancora una volta abbiamo raggiunto lo stesso risultato.

 

Tutte le equazioni lineari  che si incontrano alle scuole superiori vanno trattate con almeno uno dei metodi descritti in questa discussione, sta a voi scegliere quale! :)

 

 


 

 

(*) Nota importante: quando utilizziamo le formule parametriche, utilizziamo la funzione \tan\left(\frac{x}{2}\right) che non è definita in \pm \pi+2k\pi ecco perché nel primo passaggio del primo metodo dobbiamo verificare che \pm \pi è soluzione.

 

Se qualcosa non fosse chiaro non esitare ad aprire una discussione nel Forum.

 

 

Ifrit

 

 

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