Regola di Cartesio

La regola di Cartesio permette di stabilire il segno delle soluzioni di un'equazione di secondo grado senza risolverla, mediante una specifica analisi del segno dei coefficienti. Inoltre la criterio di Cartesio permette di verificare se i segni delle soluzioni trovate sono corretti, nel caso avessimo già risolto l'equazione.

 

In questa lezione impararemo ad utilizzare la regola di Cartesio applicandola dapprima a svariate equazioni di secondo grado, per poi passare alle equazioni di secondo grado parametriche. Infine dedicheremo un paragrafo alla regola di Cartesio per i polinomi di grado superiore a due, la cui lettura è riservata ai soli studenti di quinta superiore o universitari.

 

Come si applica la regola di Cartesio

 

Per cominciare enunciamo la regola di Cartesio. Consideriamo un'equazione di secondo grado:

 

ax^2+bx+c=0, \ \mbox{con} \ a, \ b, \ c \ \in \mathbb{R}, \ a \neq 0

 

e calcoliamone il discriminante

 

\Delta=b^2-4ac

 

Se il discriminante è maggiore o uguale zero possiamo applicare la regola di Cartesio. In caso contrario (discriminante negativo) l'equazione non ammette soluzioni reali.

 

Studiamo in sequenza i segni di a,b,c:

 

- se ad un segno segue lo stesso segno si ha una permanenza;

 

- se ad un segno segue il segno opposto si ha una variazione.

 

La regola di Cartesio stabilisce che:

 

- ad una permanenza corrisponde una soluzione negativa;

 

- ad una variazione corrisponde una soluzione positiva.

 

Inoltre, se siamo in presenza di una permanenza e di una variazione, ovvero a due soluzioni di segno opposto:

 

- se la permanenza precede la variazione la radice negativa sarà maggiore (in valore assoluto) rispetto a quella positiva;

 

- viceversa, se la variazione precede la permanenza la radice positiva sarà maggiore rispetto alla radice negativa (in valore assoluto).

 

Esempi di applicazione della regola di Cartesio

 

Per quanto il criterio possa sembrare astratto ed inutile, abbiate fiducia: avrete modo di apprezzarne l'utilità nel prosieguo dei vostri studi. ;) Vediamo subito alcuni esempi sulla regola di Cartesio in modo da fissare le idee.

 

 

Esempio 1

 

-x^2 - 5x + 6 = 0

 

Calcoliamo il Delta:

 

\Delta=b^2-4ac=(-5)^2- [4 \cdot (-1) \cdot 6] = 25+24=49 \textgreater 0

 

Essendo positivo, possiamo applicare la regola di Cartesio. Consideriamo i segni dei coefficienti:

 

a=-1 \ \mbox{negativo}, \ b=-5 \ \mbox{negativo} \ c=6 \ \mbox{positivo}

 

Sulla prima coppia si passa dal segno (-) al segno (-) e dunque abbiamo una permanenza; sulla seconda coppia di passa dal segno (-) al segno (+), per cui abbiamo una variazione.

 

Essendo di fronte ad una permanenza e ad una variazione ci dobbiamo aspettare una soluzione positiva ed una negativa; inoltre, poiché la permanenza precede la variazione, la soluzione maggiore in valore assoluto sarà quella negativa. Verifichiamolo!

 

\\ x_1=\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-7}{-2}=\frac{-2}{-2}=1\\ \\ \\ x_2=\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+7}{-2}=\frac{12}{-2}=-6

 

Tutto ok: abbiamo una soluzione negativa ed una positiva, col valore assoluto della soluzione negativa maggiore del valore assoluto della soluzione positiva

 

|-6|=6>1

 

 

Esempio 2

 

x^2 + 3x + 2 = 0

 

Abbiamo capito che per iniziare dobbiamo calcolare il discriminante dell'equazione di secondo grado

 

\Delta=b^2-4ac=(3)^2- [4 \cdot 1 \cdot 2] = 9-8=1 \textgreater 0

 

Anche in questo caso possiamo applicare la regola di Cartesio. Abbiamo due permanenze, infatti i segni di a=1,\ b=3,\ c=2 sono positivi.

 

Avendo due permanenze ci aspettiamo quindi due soluzioni negative. Provate a verificarlo. ;)

 

 

Esempio 3

 

x^2 - 4x + 4 = 0

 

Calcoliamo il Delta:

 

\Delta=b^2-4ac=(-4)^2- [4 \cdot 1 \cdot 4] = 16-16 = 0

 

A titolo di cronaca vi facciamo notare che, volendo, avremmo potuto applicare la formula del delta quarti.

 

Poiché il discriminante è nullo sappiamo già che l'equazione di secondo grado ammette due radici reali e coincidenti. Per la regola di Cartesio esse avranno segno positivo poiché siamo in presenza di due variazioni:

 

\\ a=1, \ b=-4\\ \\ b=-4, \ c=4

 

Regola di Cartesio nelle equazioni parametriche

 

La prima applicazione pratica della regola di Cartesio riguarda lo studio del segno delle soluzioni di un'equazione di secondo grado parametrica. Il principio è sempre lo stesso, partiamo quindi subito con un esempio.

 

Proponiamoci di voler determinare il segno delle soluzioni dell'equazione parametrica:

 

(k + 1)x^2 + 2kx + (k-2) = 0

 

al variare del parametro reale k.

 

Determiniamo il discriminante con la formula del Delta quarti

 

\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac = k^2 - (k+1)(k-2)=k+2

 

Vediamo ora per quali valori di k il discriminante è maggiore o uguale a zero:

 

\frac{\Delta}{4} \geq 0 \ \iff \ k+2 \geq 0 \ \iff \ k \geq -2

 

Possiamo quindi già concludere che per \mbox{Per} \ k \textless -2 l'equazione non ha radici reali. Ci limitiamo così a studiare il segno dei coefficienti a,\ b,\ c per k \geq -2 con particolare riguardo alle permanenze e alle variazioni di segno.

 

\\ a \geq 0 \ \iff \ k+1 \geq 0 \ \iff \ k \geq -1\\ \\ b \geq 0 \ \iff \ 2k \geq 0 \ \iff \ k \geq 0\\ \\ c \geq 0 \ \iff \ k-2 \geq 0 \ \iff \ k \geq 2

 

Rappresentiamo il tutto su una semiretta orientata:

 

 

Regola di Cartesio nelle equazioni parametriche

 

 

Come potete notare il grafico dei segni ci permette di studiare con estrema facilità i segni dei coefficienti e le relative permanenze e variazioni al variare del parametro k. È sufficiente leggerlo verticalmente:

 

\mbox{Per} \ k=-2: \ \Delta=0

 

Abbiamo quindi due radici reali e coincidenti di segno negativo, in quanto vi sono due permanenze (a,\ b,\ c sono tutti negativi).

 

\mbox{Per} \ -2 \textless k \textless -1

 

Due radici reali e distinte di segno negativo. I coefficienti di a,\ b,\ c sono infatti tutti negativi e siamo di fronte a due permanenze.

 

\mbox{Per} \ k=-1: \  a=0

 

Ricadiamo allora in un'equazione di primo grado che avrà un'unica soluzione di segno negativo, in quanto tra b\mbox{ e }c vi è una permanenza di segno.

 

\mbox{Per} \ -1 \textless k \textless -0

 

Una variazione (a,\ b) ed una permanenza (b,\ c); avremo così una radice positiva ed una negativa.

 

\mbox{Per} \ k=0: \ b=0

 

In tale eventualità l'equazione si riduce ad un'equazione pura con due radici reali (ricordate che siamo sempre nel cado Delta positivo) ed opposte.

 

\mbox{Per} \ 0 \textless k \textless 2

 

Qui abbiamo una permanenza (a,\ b) ed una variazione (b,\ c); avremo allora una radice negativa ed una positiva.

 

\mbox{Per} \ k=2: \ c=0

 

Ricadiamo in un'equazione spuria che avrà una soluzione uguale a zero e l'altra negativa, perché tra a \ \mbox{e} \ b c'è una permanenza.

 

\mbox{Per} \ k \textgreater 2

 

Due radici negative, infatti siamo in presenza di due permanenze.

 

 

Nota bene: i ragazzi della scuola superiore possono fermarsi qui con la lettura; gli studenti universitari ed i curiosi possono addentrarsi nello studio del seguente paragrafo.

 

Regola di Cartesio per polinomi di grado superiore a due

 

Nel caso di polinomi a coefficienti reali di grado strettamente maggiore di due la regola di Cartesio permette di stabilire solo il numero massimo di radici reali positive e negative, senza riuscire a fornirne il numero esatto.

 

L'enunciato generale della regola di Cartesio è il seguente:

 

- il massimo numero di radici reali positive di un polinomio p(x) a coefficienti reali è dato dal numero di variazioni di segno tra coefficienti consecutivi, trascurando eventuali coefficienti nulli;

 

- il massimo numero di radici reali negative di un polinomio p(x) a coefficienti reali è dato dal numero di variazioni di segno tra coefficienti consecutivi del polinomio p(-x), trascurando eventuali coefficienti nulli.

 

Inoltre il numero effettivo di radici positive o negative può essere diminuito, rispetto al massimo, solo di un numero pari.

 

 

Esempio di applicazione della regola di Cartesio a polinomi di grado superiore a due

 

p(x)=x^6-5x^3+2x^2+3

 

Tale polinomio presenta due variazioni di segno tra coefficienti consecutivi, pertanto possiamo affermare che avrà al massimo 2 radici reali positive. Inoltre il polinomio p(-x) ottenuto da p(x) sostituendo x con (-x) è

 

p(-x)=(-x)^6-5(-x)^3+2(-x)^2+3=x^6+5x^3+2x^2+3

 

che non presenta alcuna variazione di segno tra coefficienti consecutivi. Pertanto il polinomio p(x) non ha radici reali negative.

 

Per la regola di Cartesio (ricordando che il numero massimo di radici può essere diminuito di un numero pari) possiamo concludere che il polinomio p(x) avrà zero o due radici reali positive e nessuna radice reale negativa.

 

Caso particolare: regola di Cartesio per polinomi di grado superiore a due aventi tutte le radici reali

 

Se siamo di fronte ad un polinomio a coefficienti reali di grado n > 2 e sappiamo a priori che tale polinomio ha tutte e sole radici reali allora la regola di Cartesio ci permette di stabilire con esattezza il numero delle radici strettamente positive, nulle e strettamente negative del polinomio.

 

Vediamo come procedere, non prima però di aver ribadito ancora una volta che quanto diremo tra poco vale a patto di sapere a priori che il polinomio dato ha tutte e sole radici reali. Sia

 

p(x)=x^n+a_{n_1}x^{n-1}+a_2x^2+a_1x+a_0 \mbox{ con } a_0 \neq 0

 

un polinomio di grado n>2 a coefficienti reali avente n radici reali. Nel caso in cui uno o più coefficienti tra gli a_i fosse nullo, metteremo al suo posto uno zero, che considereremo un numero positivo.

 

Ad ogni variazione di segno tra un coefficiente ed il successivo corrisponde una soluzione positiva, ad ogni permanenza una soluzione negativa.

 

Nel caso in cui a_0=0, ossia se il polinomio p(x) è omogeneo si dovrà raccogliere a fattor comune un certo x^q, \mbox{ con } 1 \le q \le n. Quindi il polinomio p(x) si potrà scrivere nella forma

 

p(x)=x^q (\mbox{polinomio di grado n-q})

 

Sarà quindi immediato osservare che tale polinomio ha x=0 come radice di molteplicità q, mentre per conoscere il segno delle restanti n-q soluzioni reali del polinomio p(x) conteremo il numero di permanenze e variazioni al polinomio di grado n-q che risulta dal raccoglimento totale di x^q.

 

 


 

That's all! Per consultare problemi ed esercizi svolti con la regola di Cartesio potete usare la barra di ricerca interna. Alla prossima lezione! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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