Equazioni parametriche di secondo grado

La risoluzione delle equazioni di secondo grado non presenta difficoltà, essendo legata alla famosissima formula che prevede il calcolo del discriminante (Delta). Se però abbiamo a che fare con un'equazione parametrica di secondo grado, sono necessarie discussioni preliminari per evitare errori che purtroppo si riscontrano anche tra gli autori più accreditati.

 

Prima di procedere: hai letto la lezione sul metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado? Se sì, vediamo come risolvere le equazioni parametriche dello stesso grado! Laughing

 

Ricordiamo la scrittura dell'equazione di secondo grado:

 

ax^2 + bx + c = 0

 

In una equazione parametrica di secondo grado si devono discutere nell'ordine:

 

l'annullamento del coefficiente 'a' (primo coefficiente), se questo è parametrico;

 

(se il primo coefficiente è nullo, l'equazione si abbassa di grado e può essere impossibile, indeterminata o determinata con un'unica soluzione come qualunque equazione di primo grado)

 

la realtà delle soluzioni imponendo il discriminante non negativo, ovvero positivo o nullo.

 

Solo dopo aver effettuato queste verifiche è possibile risolvere l'equazione e gli eventuali problemi ad essa collegati. Vediamo di comprendere meglio la teoria attraverso alcuni esempi di equazioni parametriche di secondo grado...

 

Tabella per la risoluzione delle equazioni parametriche di secondo grado

 

In questo paragrafo trovate tutte le possibili richieste degli esercizi sulle equazioni parametriche e tutti i modi in cui tali richieste possono essere esposte. Allo tesso tempo, accanto ad ogni richiesta trovate le formule risolutive! Laughing

 

Prima di passare ad esaminare i vari casi, dovete sapere e stamparvi bene nella mente le relazioni che legano le soluzioni (o radici) generalmente indicate con x_1 e x_2 di un'equazione di secondo grado: ax^2+bx+c=0. Ovvero:

 

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

 

x_1 x_2=\frac{c}{a}

 

dove, per convenzione, in un'equazione di secondo grado scritta in forma normale, si è soliti indicare:

 

- con a il coefficiente di x^2;

- con b il coefficiente della x;

- con c il termine noto.

 

Per capirci bene, ad esempio:

 

\overbrace{(k+1)}^{a}x^2+\overbrace{(2k+3)}^{b}x\overbrace{+6k-5}^{c}=0.

 

Premesso e chiarito ciò andiamo ad esaminare la varie richieste che si possono affrontare in questo genere di esercizi. I possibili casi che si possono trovare sono i seguenti:

 

A) Trovare il valore del parametro k affinché:

 

A.1) le radici siano reali:

 

\Delta \geq 0

 

A.2) Le radici siano reali e distinte:

 

\Delta \textgreater 0

 

A.3) Le radici siano coincidenti, o equivalentemente x_1=x_2:

 

\Delta=0

 

A.4) Le radici non siano reali:

 

\Delta \textless 0

 

B) L'equazione sia di primo grado:

 

a=0

 

dove a è il coefficiente di x^2 della nostra equazione parametrica di secondo grado di partenza.

 

C) L'equazione sia spuria:

 

c=0

 

dove c è il termine noto dell'equazione di partenza.

 

D) L'equazione sia pura:

 

b=0

 

dove b è il coefficiente della x dell'equazione iniziale.

 

E) L'equazione sia monomia:

 

\left\{\begin{matrix}b=0\\c=0 \end{matrix}

 

F) La somma delle radici sia uguale ad r, o in modo del tutto analogo x_1+x_2=r:

 

-\frac{b}{a}=r

 

G) Il prodotto delle radici sia uguale ad r, o equivalentemente x_1 x_2=r:

 

\frac{c}{a}=r

 

H) Una delle due radici sia uguale ad r, cioè x_1=r oppure x_2=r

 

In tal caso si sostituisce nella nostra equazione r al posto dell'incognita x e si risolverà l'equazione nella sola incognita k.

 

I) Una radice sia uguale ad r ed una radice sia uguale ad s, ossia x_1=r e x_2=s. Si risolve il sistema:

 

\left\{\begin{matrix}r+s=-\frac{b}{a} \\ \\ r s =\frac{c}{a}\end{matrix}

 

L) Le radici siano opposte, vale a dire x_1=-x_2. Si pone:

 

x_1+x_2=0

 

da cui

 

-\frac{b}{a}=0

 

M) Una radice sia l'inversa dell'altra, cioè una radice sia la reciproca dell'altra. Si pone:

 

x_1=\frac{1}{x_2}

 

da cui, facendo il minimo comune multiplo

 

\frac{x_1 x_2-1}{x_2}=0

 

e quindi

 

x_1 x_2=1, ovvero \frac{c}{a}=1

 

N) La differenza delle radici sia uguale ad r, ossia x_2-x_1=r, o ancora x_2=x_1+r:

 

\frac{\sqrt{\Delta}}{a}=r

 

O) La somma dei quadrati delle radici sia r, o in modo del tutto equivalente x_1^2+x_2^2=r.

 

Ricordando che (x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2, si ha:

 

(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=x_1^2+x_2^2

 

e quindi basta risolvere

 

\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)=r

 

P) La somma dei cubi delle radici sia r, ossia x_1^3+x_2^3=r.

 

Basta ricordare che: (x_1+x_2)^3=x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2+x_2^3, e quindi

 

(x_1+x_2)^3-3x_1^2x_2-3x_1x_2^2=x_1^3+x_2^3

 

da cui

 

(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=x_1^3+x_2^3

 

basta allora scrivere

 

\left(-\frac{b}{a}\right)^3-3\left(\frac{c}{a}\right)\left(-\frac{b}{a}\right)=r

 

Q) La somma dei reciproci delle radici sia uguale ad r, cioè \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=r:

 

\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=r

 

da cui, calcolando il minimo comune multiplo

 

\frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}=r

 

e quindi

 

\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=r

 

R) La somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia uguale ad r, o in modo equivalente \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=r. Si pone:

 

\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=r

 

da cui, facendo il minimo comune multiplo:

 

\frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2}=r

 

Il numeratore è la somma dei quadrati delle radici e abbiamo già visto come fare, il denominatore è invece (x_1 x_2)^2 = \left(\frac{c}{a}\right)^2.

 

S) x_1 = r x_2. Si risolve il sistema:

 

\left\{\begin{matrix}x_1=r x_2 \\ \\ x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ \\ x_1 x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}

 

e si sostituisce il r x_2 al posto di x_1 nella seconda e nella terza equazione ottenendo

 

\left\{\begin{matrix}x_1=r x_2 \\ \\ r x_2+x_2=-\frac{b}{a} \\ \\ r x_2^2=\frac{c}{a} \end{matrix}

 

ora si ricava x_2 dalla seconda equazione, lo si sostituisce nella terza e quest'ultima ci fornirà i valori di k cercati.

 

T) Una radice sia il doppio dell'altra, o in modo analogo che una radice sia la metà dell'altra, o ancora che una radice sia un terzo dell'altra, e così via...

 

Son tutti casi particolari del caso precedente: x_1=r x_2quindi si procederà allo stesso modo.

 

U) Le radici siano concordi:

 

\frac{c}{a}\textgreater 0

 

V) Le radici siano discordi, cioè che una radice sia positiva ed una negativa:

 

\frac{c}{a} \textless 0

 

Z) Le radici siano entrambe positive. Si risolve il sistema:

 

\left\{\begin{matrix}\frac{c}{a}\textgreater 0 \\ \\ -\frac{b}{a} \textgreater 0 \end{matrix}

 

α) Le radici siano entrambe negative. Si risolve il sistema:

 

\left\{\begin{matrix}\frac{c}{a}\textgreater 0 \\ \\ -\frac{b}{a} \textless 0 \end{matrix}

 

β) 3(x_1x_2)+\frac{1}{x_1+x_2}=\frac{1}{2}, o altre espressioni simili. In tal caso si va a sostituire x_1+x_2 con -\frac{b}{a}e x_1 x_2 con \frac{c}{a}.

 

That's all! Laughing

 

Grosso modo abbiamo analizzato tutti i principali casi che si incontrano in questo genere di esercizi.

 

Esempi sulle equazioni parametriche di secondo grado

 

1. Discutere e risolvere la seguente equazione parametrica di secondo grado

 

k(k + 1)x^2 + x - k(k - 1) = 0

 

dove k è un parametro reale. Il primo coefficiente si annulla per:

 

k(k + 1) = 0 \ \iff \ k = 0 \vee k = - 1

 

(per la legge di annullamento del prodotto).

 

Per tali valori di k l'equazione si abbassa di grado, divenendo un'equazione parametrica di primo grado:

 

\mbox{Per} \ k = 0 \rightarrow x = 0

 

\mbox{Per} \ k = - 1 \rightarrow x = 2

 

Con

 

k \neq 0 \wedge k \neq - 1

 

imponiamo non negativo il segno del discriminante (delta):

 

\Delta = b^2 - 4ac \geq 0

 

\Delta = 1 + 4k^2(k^2 - 1) = 4k^4 - 4k^2 + 1 = (2k^2 - 1)^2 \geq 0

 

La disequazione è verificata per ogni k reale e può quindi essere risolta senza ulteriori limitazioni.

 

x_{1,2} = \frac{- b \pm\sqrt\Delta}{2a} = \frac{- 1 \pm (2k^2 - 1) }{2k(k + 1)}

 

x_{1} = \frac{- 1 - 2k^2 + 1}{2k(k + 1)} = \frac{- k}{k + 1}

 

x_{2} = \frac{- 1 + 2k^2 - 1}{2k(k + 1)} = \frac{2(k^2 - 1)}{2k(k + 1)} =  \frac{k - 1}{k}

 

 

Diremo quindi:

 

k = 0 \rightarrow x = 0

 

k = - 1 \rightarrow x = 2

 

k \neq 0 \wedge k \neq - 1 \rightarrow x_{1} = \frac{- k}{k + 1} \vee x_{2} = \frac{k - 1}{k}

  

L'importanza del segno del discriminante è dimostrata dall'esempio successivo.

 

 


 

 

2. Determinare per quali valori del parametro risultano reciproche le soluzioni della seguente equazione

 

k^2x^2 - k(2k + 1)x + 2k^2 + k - 6 = 0

 

Il primo coefficiente si annulla per

 

k = 0

 

e per tale valore del parametro l'equazione è impossibile risultando

 

- 6 = 0

 

Nell'ipotesi

 

k \neq 0

 

studiamo il segno del discriminante. Possiamo trascurare il termine k in quanto per ipotesi è sicuramente non nullo:

 

\Delta = (2k + 1)^2 - 4(2k^2 + k - 6) = 4k^2 + 4k + 1 - 8k^2 - 4k + 24 = - 4k^2 + 25 \geq 0

 

4k^2 - 25 \leq 0

 

La disequazione è verificata per

 

-\frac{5}{2} \leq k \leq\frac{5}{2}

 

e le soluzioni reali dell'equazione devono quindi rientrare in questo intervallo.

 

Le soluzioni sono reciproche quando risulta

 

x_1 = \frac{1}{x_2}

 

ovvero quando è

 

x_1x_2 = 1

 

E' inutile imporre la condizione che annulla il denominatore perché se x è nulla si ricade nel caso di impossibilità visto in precedenza.

 

Il prodotto delle soluzioni è dato dal rapporto tra terzo e primo coefficiente:

 

x_1x_2 =  \frac{c}{a} = \frac{2k^2 + k - 6}{k^2}

 

Imponiamo quindi

 

 \frac{2k^2 + k - 6}{k^2} = 1

 

k^2 + k - 6 = 0

 

(k + 3)(k - 2) = 0

 

L'equazione ha soluzioni

 

k_1 = - 3 \vee k_2 = 2

 

e se le accettassimo entrambe commetteremmo un errore gravissimo. Dobbiamo ricordare che per la realtà delle soluzioni i valori del parametro sono limitati:

 

-\frac{5}{2} \leq k \leq\frac{5}{2}

 

La prima soluzione non è accettabile perché per tale valore del parametro il discriminante è negativo e le soluzioni non sono reali ma complesse. Il problema è quindi risolto per

 

k = 2

 

 


 

 

Attenzione dunque alle discussioni preliminari e buono studio su YouMath! :)

 

Danni, tabella a cura di Galois

 

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