Equazioni di primo grado

Il primo tipo di equazioni, poiché è il più semplice che si può incontrare in Matematica è dato dalle equazioni di primo grado ad una incognita. Un'equazione di questo tipo è data da un'uguaglianza tra due membri: abbiamo due espressioni contenenti la x di cui una a sinistra ed una a destra dell'uguale.

 

Scopo del gioco: trovare, se esistono, eventuali soluzioni dell'equazione.

 

 

Come sono fatte le equazioni di primo grado?

 

Ci troviamo inizialmente di fronte ad una uguaglianza che possiamo indicare come

 

\mbox{una espressione con x} = \mbox{un'altra espressione con x}

 

Le equazioni di primo grado si caratterizzano per il fatto che l'incognita x compare solo linearmente, ossia troviamo solo moltiplicazioni e somme nelle due espressioni a sinistra e a destra dell'uguale. Non troveremo, ad esempio, frazioni aventi la x a denominatore. L'incognita x, inoltre, compare solamente con grado di potenza 1.

 

Qualcuno potrebbe darci un'equazione del tipo:

 

(4x+3)-\frac{2}{7}x=\frac{1}{7}(3-x).

 

Questa è una equazione di primo grado ad una incognita!

Se invece qualche giocherellone ci dicesse: Che tipo di equazione è

 

\frac{2}{3}(x+1)+\frac{1}{x}=4?

 

Ebbene, questa non è una equazione di primo grado ad una incognita. Ci sono dei termini in cui si divide per x, ovvero la x sta a denominatore. Si tratta quindi di un'equazione fratta di primo grado.

 

Come si risolve un'equazione di primo grado?

 

Vediamo qual è il procedimento per la risoluzione delle equazioni di primo grado. Intanto vale la solita regola delle equazioni: ciò che fai a destra lo devi fare anche a sinistra dell'uguale. Ne abbiamo già parlato nella lezione Cosa sono le equazioni.

 

Da un passaggio al successivo puoi modificare i termini ma non devi alterare l'uguaglianza. Ad esempio, se sommi +4 a sinistra e a destra, è ok; se sommi +4 a sinistra e +3 a destra, non è più ok...

 

Devi cercare di portare tutte le x a sinistra dell'uguale e tutti i numeri a destra dell'uguale: per raggiungere questo scopo dovrai limitarti a sommare e/o sottrarre gli stessi opportuni numeri sia a sinistra che a destra dell'uguale, ed eventualmente a moltiplicare/dividere per gli stessi opportuni numeri sia a sinistra che a destra dell'uguale.

 

 

Consideriamo l'equazione che abbiamo citato poche righe sopra. Vediamo come risolverla.

 

(4x+3)-\frac{2}{7}x=\frac{1}{7}(3-x)

 

Prima di tutto tolgo le parentesi facendo i calcoli che compaiono a sinistra e a destra (niente di particolare!)

 

4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}x

 

Ora devo portare tutte le x a sinistra dell'uguale e tutti i numeri a destra dell'uguale. Come faccio? Abbiamo detto poco fà che possiamo fare qualsiasi operazione, a patto che sia la stessa a sinistra e a destra dell'uguale. Ragiona: se vuoi portare a sinistra il -\frac{1}{7}x che vedi a destra, l'unico modo per farlo è sommare ad entrambi i membri +\frac{1}{7}x. In questo modo trovi:

 

+\frac{1}{7}x+4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}x+\frac{1}{7}x

 

quindi:

 

+\frac{1}{7}x+4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}+0

 

Ora a sinistra compare un +3 che vogliamo portare a destra. Cosa facciamo? Sottraiamo 3 da entrambi i membri!

 

-3+\frac{1}{7}x+4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-3

 

ovvero:

 

+\frac{1}{7}x+4x-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-3.

 

Non ci resta che sommare i termini della sola x a sinistra dell'uguale e sommare i numeri senza x a destra dell'uguale. Calcolando il denominatore comune, troviamo

 

\frac{+1+(4\cdot 7)-2}{7}x=\frac{3-(3\cdot 7)}{7}

 

ossia

 

+\frac{27}{7}x=-\frac{18}{7}.

 

Ora voglio avere la sola x a sinistra dell'uguale. Per farlo dobbiamo togliere il \frac{27}{7}: notiamo che se moltiplichiamo per 7 a sinistra e a destra dell'uguale otteniamo

 

+7\cdot\frac{27}{7}x=7\cdot\frac{-18}{7}

 

semplifichiamo i 7:

 

27x=-18

 

e per togliere il coefficiente 27 che moltiplica la x, cosa faremo mai? Dividiamo per 27!

 

\frac{1}{27}\cdot 27x=\frac{1}{27}\cdot(-18)

 

e abbiamo così la soluzione: x=-\frac{18}{27}=-\frac{2}{3}

 

Se vuoi vedere quali sono i metodi di risoluzione delle equazioni di I grado ad una incognita in generale, sapere quante soluzioni possono avere, etc... leggi la seconda parte dell'articolo!

 

Prendendo confidenza e guardando ogni equazione nell'ottica giusta, farai meno fatica e avrai più possibilità di arrivare al risultato.

 

 

до свидания, see you soon guys!

Agente Ω

 

 

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