Sistemi di equazioni

Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni e, per definizione, si dicono soluzioni del sistema tutte e sole le soluzioni che soddisfano ogni equazione del sistema. Il metodo di risoluzione di un sistema di equazioni prevede di individuare le soluzioni di ciascuna di esse, per poi considerare l'intersezione degli insiemi delle soluzioni.

 

Siamo giunti a un'importante lezione in cui formalizzeremo un concetto già trattato in precedenza, a partire dai sistemi lineari. Fino a qui ci è capitato talvolta di dover determinare le soluzioni comuni a un gruppo di equazioni: si pensi ad esempio a tutte le volte che abbiamo imposto più di una condizione di esistenza: abbiamo sempre cercato i valori dell'incognita x che soddisfacessero ognuna delle CE.

 

Partendo dalla definizione formale di sistema di equazioni ne presenteremo le varie tipologie al variare del numero di incognite, fornendo una panoramica il più generale possibile. Attenzione: questa lezione è tra le ultime del corso dedicato alle equazioni e si rivolge esclusivamente a chi ha letto e digerito ciò che abbiamo già trattato. ;)

 
 
 

Definizione e metodo di risoluzione di un sistema di equazioni

 

Per definizione un sistema di equazioni è un qualsiasi gruppo di equazioni da considerare congiunte tra loro, dove con congiunte intendiamo che le equazioni del sistema sono correlate dal connettivo logico "e"

 

\mbox{equazione}_1\ \wedge\ \mbox{equazione}_2\ \wedge\ ...\ \wedge\ \mbox{equazione}_n

 

Dal punto di vista delle notazioni, indicheremo i sistemi accorpandoli con una parentesi graffa

 

\begin{cases}\mbox{equazione}_1\\ \mbox{equazione}_2\\ ... \\ \mbox{equazione}_n

 

Poiché le equazioni di un sistema sono correlate dal connettivo "e", possiamo interpretare facilmente il significato di sistema: cerchiamo le soluzioni che soddisfano la prima equazione e la seconda e la terza e ... e la ennesima. In altri termini, risolvere un sistema significa determinare i valori dell'incognita x che risolvono tutte le equazioni contemporaneamente.

 

Se vi state domandando perché sia necessario definire il concetto di sistema di equazioni, sappiate che il motivo è puramente pratico. È una questione di comodità. Poiché capita spesso di dover trovare le soluzioni che soddisfano più equazioni in un colpo solo (si pensi ad esempio alle CE), è comodo utilizzare un simbolo da affiancare a più equazioni per intendere che ci interessano le soluzioni comuni. :)

 

Per quanto concerne il metodo di risoluzione dei sistemi di equazioni, a questo livello possiamo esprimerci solamente in termini generalissimi, perché i metodi pratici e specifici dipendono:

 

- dal numero di incognite coinvolte nelle equazioni del sistema;

 

- dai tipi di equazioni che costituiscono il sistema.

 

In termini generali possiamo limitarci a dire che, per risolvere un sistema, è necessario:

 

1) risolvere separatamente ogni equazione del sistema (non dimenticando le eventuali condizioni di esistenza!) e determinarne le soluzioni;

 

2) cercare l'intersezione degli insiemi di soluzioni delle varie equazioni, vale a dire le soluzioni che soddisfano ognuna di esse. Esse saranno le soluzioni del sistema di equazioni.

 

Le possibilità sul numero di soluzioni sono quelle a noi già note:

 

- sistema determinato → numero finito di soluzioni

 

- sistema indeterminato → infinite soluzioni

 

- sistema impossibile → non esiste alcuna soluzione. Tale eventualità si manifesta se l'intersezione degli insiemi soluzione delle singole equazioni è vuoto. Uno dei possibili casi, seppur non l'unico, per cui un sistema è impossibile è quello in cui anche solo un'equazione è impossibile.

 

Come potete facilmente immaginare, poiché esistono tantissimi tipi di equazioni esisteranno infiniti sistemi di equazioni: possiamo considerare una o più incognite, due o più equazioni e ogni possibile tipo di equazione. Nonostante ciò è possibile fornire una prima classificazione pratica che permetta agli studenti di districarsi nell'ingarbugliato mondo dei sistemi. :)

 

Sistemi di 2 o più equazioni equazioni a 1 incognita

 

Il primo e più semplice caso è quello dei sistemi costituiti da due o più equazioni in una sola incognita. A ben vedere abbiamo già tutti gli strumenti per risolverli. ;)

 

Esempio

 

Risolviamo il sistema di due equazioni a un'incognita

 

\begin{cases}\log(x^3+1)=0\\ x^2+x=0\\ \sin(x)\cos(x)=0\end{cases}

 

La prima è un'equazione logaritmica, e ancor prima di risolverla ci ricordiamo che il logaritmo impone che il proprio argomento sia positivo:

 

x^3+1>0

 

Tale disequazione di grado superiore al secondo è piuttosto banale, ed è soddisfatta per x>-1. Risolviamo l'equazione

 

\log(x^3+1)=\log(1)\ \ \to\ \ x^3+1=1\ \ \to\ \ x^3=0\ \ \to\ \ x=0

 

ed è accettabile.

 

Risolviamo la seconda: è un'equazione di secondo grado su cui possiamo applicare un raccoglimento totale

 

x^2+x=0\ \ \to\ \ x(x+1)=0

 

ed infine la legge di annullamento del prodotto, ottenendo le soluzioni

 

x=0\ \vee\ x=-1

 

Infine, la terza è un'equazione goniometrica riconducibile alle elementari con le formule di duplicazione

 

\sin(x)\cos(x)=0\ \ \to\ \ \frac{1}{2}\sin(2x)=0\ \ \to\ \ \sin(2x)=0

 

da cui le soluzioni

 

2x=k\pi\ \ \to\ \ x=k\frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Cerchiamo infine le soluzioni del sistema, ossia le soluzioni che verificano ogni equazione. Per comodità ci conviene riscrivere il sistema sostituendo in luogo di ogni equazione le relative soluzioni

 

\begin{cases}x=0\\ x=0\ \vee\ x=-1\\ x=k\frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}\end{cases}

 

L'unica soluzione comune è x=0, ottenuta in particolare sulla terza scegliendo k=0. In conclusione il sistema è determinato e ammette come unica soluzione

 

x=0

 

 

Un altro esempio

 

\begin{cases}\sin(x)+\cos(x)=1\\ \\ \dfrac{e^{x+1}}{e^x}=2e^{3x}\\ \\ x^2+1=0\end{cases}

 

Prima di buttarci a capofitto nei calcoli, osserviamo il sistema e nella fattispecie la terza equazione. Si tratta di un'equazione pura evidentemente impossibile, perché la somma tra un quadrato e una quantità positiva non può essere uguale a zero.

 

Poiché la terza equazione è impossibile sappiamo già che il sistema è impossibile. Un modo del tutto equivalente per capirlo prevede di ragionare in termini insiemistici: quali che siano gli insiemi delle soluzioni della prima equazione e della seconda, la loro intersezione con l'insieme vuoto sarà inevitabilmente l'insieme vuoto.

 

Sistemi di 2 o più equazioni in 2 incognite

 

Disclaimer: la lezione da qui in poi sarà più filosofica che pratica. Ciò non significa che non è importante e che potete saltarla a piè pari, perché cercheremo di fare luce sulle zone d'ombra che si vengono a creare nel passaggio dalle scuole superiori all'università. Cercheremo di darvi un quadro d'insieme dei metodi che vi verranno spiegati a lezione, di quelli che dovrete apprendere da soli e vi daremo una certezza: certi sistemi di equazioni possono essere risolti solamente grattando il fondo di tutte le vostre competenze matematiche, e non a caso li affronterete solo quando i tempi saranno maturi; altri sistemi di equazioni, invece, non possono essere risolti a mano in alcun modo. [Fine di una breve storia triste :( ].

\square

 

Un ulteriore tipo di sistemi, che ha una grande rilevanza pratica alle scuole superiori e nei primi corsi di Matematica all'università, è quello in cui compaiono due o più equazioni in due incognite. In effetti abbiamo iniziato ad affrontarli quando abbiamo studiato i sistemi lineari, e in particolare i sistemi lineari 2x2, ma ora vogliamo analizzarli considerando tutte le infinite possibilità.

 

Per comprendere a fondo i metodi di risoluzione dobbiamo partire dal significato delle equazioni in due incognite, di cui abbiamo già ampiamente dibattuto. Un'equazione in due incognite x,y individua sostanzialmente un luogo geometrico nel piano cartesiano, che non è altro che il suo insieme soluzione.

 

F(x,y)=0\ \ \to\ \ S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ \mbox{t.c.}\ F(x,y)=0\}

 

Risolvere un sistema di più equazioni in due incognite significa al solito determinare le soluzioni comuni a tutte le equazioni del sistema, ossia l'intersezione degli insiemi soluzione. In questo caso specifico equivale a determinare l'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano in cui tutte le equazioni del sistema sono soddisfatte.

 

Con i sistemi lineari in due incognite sappiamo già come comportarci. Non abbiamo problemi con le condizioni di esistenza, ogni equazione individua una retta nel piano e abbiamo diverse tecniche algebriche per risolverli. Ma come possiamo risolvere in generale un sistema di due o più equazioni in due incognite?

 

Prima di tutto mettiamoci l'anima in pace, perché non tutti i sistemi di più equazioni in due incognite possono essere risolti. Limitandoci ai sistemi che affronterete nella vostra carriera scolastica e accademica, ci sono essenzialmente due metodi.

 

I) Metodo grafico. Si tratta di una tecnica semplice, intuitiva e piuttosto carina, ma ha una grande limitazione: funziona solamente se le equazioni del sistema individuano luoghi geometrici a noi noti dagli studi di Geometria Analitica, o eventualmente grafici di funzioni, e ci permette di individuare le soluzioni esatte in rarissimi casi.

 

Nei casi in cui è applicabile, il procedimento grafico è una carta vincente. È oggetto di studio alle scuole superiori ed è una vera e propria arma che potremo usare con profitto in moltissimi esercizi, università compresa.

 

Ne parliamo nel dettaglio nella lezione successiva: sistemi di equazioni con il metodo grafico.

 

II) Metodo di sostituzione. Funziona nello stesso identico modo rispetto al metodo di sostituzione per sistemi lineari, con qualche grattacapo in più, e vi anticipiamo che non è sempre applicabile. Come farete a capire se è applicabile o meno? In assenza di intuizioni geniali, proverete ad applicarlo: se funzionerà saremo contenti, se non funzionerà... un po' meno. :(

 

Innanzitutto imponiamo le condizioni di esistenza per ciascuna equazione, e individuiamo l'insieme di esistenza delle soluzioni del sistema come intersezione di insiemi nel piano cartesiano. Possiamo procedere algebricamente o graficamente, e in quest'ultimo caso è importante saper rappresentare le soluzioni di una disequazione a due incognite nel piano.

 

Proseguiamo. Scegliamo un'equazione del sistema, chiamiamola E, per esprimere un'incognita in termini dell'altra. Ne sostituiamo l'espressione in tutte le altre equazioni (E_1,E_2,...). Tali equazioni si ridurranno a un'incognita. Le considereremo come un sistema di equazioni in un'incognita e ne determineremo le soluzioni comuni.

 

Se non ve ne sono, il sistema è impossibile; se ve ne sono, le sostituiamo una alla volta in E ricavando le corrispondenti soluzioni per l'altra incognita. Le soluzioni del sistema in due incognite sono date dalle coppie ordinate (x,y) che soddisfano le CE.

 

 

Esempio

 

\begin{cases}\dfrac{1}{xy}=4\\ \\ x-y=0\\ \\ xy-\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}=0\end{cases}

 

Con un po' di esperienza potremmo risolvere il sistema in diversi modi, ma vogliamo provare a risolverlo per sostituzione. La seconda e la terza equazione non richiedono alcuna CE, mentre la prima equazione impone che sia

 

xy\neq 0

 

Tale condizione si verifica solamente se entrambi i fattori sono non nulli

 

x\neq 0\ \wedge\ y\neq 0

 

Non servirebbe nemmeno scomodarsi con l'interpretazione geometrica, ma noi vogliamo essere precisi e ci accorgiamo che le condizioni di esistenza escludono tutti e soli i punti degli assi cartesiani (asse x e asse y).

 

Sfruttiamo la seconda equazione per applicare il metodo di sostituzione:

 

\begin{cases}\dfrac{1}{xy}=4\ \ \to\ \ \dfrac{1}{x^2}=4\\ \\ y=x\ \ \ (\bullet)\\ \\ xy-\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}=0\ \ \to\ \ x^2-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=0\end{cases}

 

e restringiamoci al sistema in un'incognita

 

\begin{cases}\dfrac{1}{x^2}=4\\ \\ x^2-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=0\end{cases}

 

Risolviamolo tenendo conto che siamo già coperti dalle CE

 

\begin{cases}\dfrac{1}{x^2}=4\ \ \to\ \ x^2=\dfrac{1}{4}\ \ \to\ \ x=-\dfrac{1}{2}\ \vee\ x=\dfrac{1}{2}\\ \\ x^2-x+\dfrac{1}{4}=0\ \ \to\ \ 4x^2-4x+1=0\ \ \to \ \ x=\dfrac{1}{2}\end{cases}

 

L'unica soluzione è x=\frac{1}{2}. Sostituiamola in (\bullet)

 

y=\frac{1}{2}

 

Abbiamo finito: \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) rispetta le CE ed è l'unica soluzione del sistema in due incognite.

 

Sistemi di 2 o più equazioni in 3 o più incognite

 

Quando si parla di sistemi di tre o più equazioni in tre o più incognite, senza alcun riferimento particolare, la situazione si fa estremamente complicata.

 

Per fissare qualche paletto conviene innanzitutto distinguere tra sistemi lineari e sistemi non lineari, intendendo con quest'ultimi qualsiasi sistema in cui sia presente almeno un'equazione non lineare.

 

Per i sistemi lineari abbiamo avuto un piccolo antipasto nel caso 3x3 (tre equazioni, tre incognite), ma nulla vieta di considerare m equazioni in n incognite. I sistemi lineari m\times n sono oggetto di studio approfondito nei corsi di Algebra Lineare al primo anno delle varie facoltà universitarie.

 

E per quanto riguarda i sistemi non lineari? Se si considerano 3 incognite, c'è una limitatissima gamma di sistemi che possono essere affrontati con il metodo grafico. Oltre a essere pochi bisogna anche considerare che le rappresentazioni nello spazio euclideo sono tutt'altro che semplici. Studieremo un po' di luoghi geometrici tridimensionali in Geometria dello spazio (corso di Algebra Lineare), ma il metodo grafico sarà comunque sostanzialmente inapplicabile per i sistemi con 3 incognite. Se poi si considerano 4 incognite possiamo dire addio a qualsiasi tipo di rappresentazione grafica.

 

Nel complesso ci rimarrà la possibilità di applicare il metodo di sostituzione, seguendo una logica affine a quella per i sistemi di due o più equazioni in due incognite. Si tratterà comunque di un metodo non sempre utilizzabile perché, come vi abbiamo anticipato, ci sono sistemi per cui non esiste una tecnica di risoluzione algebrica. Non abbattetevi: i sistemi non lineari compariranno non prima dei corsi di Analisi 2, e in linea di massima avrete a che fare con applicazioni per cui sarete in grado di cavarvela appellandovi a ogni possibile competenza già acquisita. ;)

 

 

 


 

 

Nella prossima lezione torneremo sulla Terra e tratteremo il metodo grafico per sistemi in due incognite, richiestissimo sia alle superiori che all'università. Se volete giocare un po', potete usare il tool per risolvere i sistemi di equazioni online, e ricordate che qui su YM potete reperire tantissimi esercizi svolti con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Wilujeung angkat, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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