Equazioni irrazionali

Le equazioni irrazionali sono equazioni in cui l'incognita compare come argomento di una radice. In sostanza sono equazioni di questo tipo:

 

\sqrt[n]{f(x)}=g(x)

 

dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti x. Per questo tipo di equazioni siamo costretti a discutere due procedimenti diversi, a seconda che l'indice di radice n sia pari o dispari.

 

Equazioni irrazionali con radice di indice pari

 

Il primo passo è assolutamente intuitivo: la radice ci dà molto fastidio, come possiamo liberarcene? Semplice: eleviamo entrambi i membri dell'equazione ad una potenza uguale all'indice della radice.

 

L'equazione che otteniamo mediante elevamento ha tutte le soluzioni di quella di partenza ma, nel caso che stiamo trattando (indice di radice è pari) potrebbe averne di più rispetto a quella di partenza!

 

La cosa più semplice da fare è questa: se incontriamo una equazione irrazionale dove l'incognita compare nell'argomento di una radice di indice pari...

 

1. Imponiamo le condizioni di esistenza delle soluzioni: dovremo semplicemente richiedere che l'argomento della radice sia maggiore o uguale a zero. Questo perché non è possibile estrarre la radice pari di un numero negativo!

 

f(x)\geq 0

 

2. Eleviamo entrambi i membri dell'equazione a una potenza uguale all'indice della radice, scriviamo questo passaggio in simboli:

 

\sqrt[n]{f(x)}=g(x)

 

diventa

 

\left[\sqrt[n]{f(x)}\right]^n=[g(x)]^n

 

cioè

 

f(x)=[g(x)]^n

 

3. Risolviamo l'equazione che ne risulta

 

f(x)=[g(x)]^n

 

4. Sostituiamo le soluzioni nell'equazione di partenza (quella con la radice), e scartatiamo quelle che non soddisfano l'uguaglianza!

 

Esempio di equazione irrazionale con radice ad indice pari

 

Consideriamo l'equazione

 

\sqrt{4-x^2}=x

 

Si tratta di un'equazione irrazionale perché x compare come argomento di una radice, inoltre rientra nel caso che abbiamo trattato sopra, dato che l'incognita compare all'interno di una radice quadrata!

 

Poniamo, come indicato inizialmente, le condizioni di esistenza delle soluzioni:

 

4-x^2\geq 0 \ \to \ x^2-4 \le 0

 

le CE conducono ad una disequazione di secondo grado che, risolta, dà -2 \le x \le 2.

 

Procediamo elevando al quadrato entrambi i membri dell'uguaglianza:

 

\left(\sqrt{4-x^2}\right)^2=x^2

 

ovvero

 

4-x^2=x^2 \ \to \ -2x^2=-4 \ \to \ 2x^2-4=0

 

svolgiamo i calcoli. Abbiamo a che fare con un'equazione pura che ha come soluzioni:

 

x=\pm \sqrt{2}

 

Ora, erroneamente, visto che entrambe le soluzioni appartengono al dominio, si potrebbe concludere qui l'esercizio, cadendo in un grossolano errore!

 

Dobbiamo infatti verificare che x=\pm \sqrt{2} siano veramente soluzioni dell'equazione di partenza, per provarlo basta sostituire. Sostituendo

 

x con \sqrt{2} avremo:

 

\underbrace{\sqrt{4-(\sqrt{2})^2}}_{\sqrt{4-x^2}}=\underbrace{\sqrt{2}}_{x}

 

che è un'uguaglianza vera. Mentre sostituendo

 

x con -\sqrt{2} si ha:

 

\underbrace{\sqrt{4-(-\sqrt{2})^2}}_{\sqrt{4-x^2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2} \neq \underbrace{-\sqrt{2}}_{x}

 

Quindi l'unica soluzione della nostra equazione irrazionale è x=\sqrt{2}

 

Quindi mi raccomando! Seguite il procedimento fino all'ultimo passaggio ;)

 

Metodo risolutivo per equazioni irrazionali con radice di indice dispari

 

Il procedimento è esattamente identico al precedente, ma con due notevoli semplificazioni:

 

- non bisogna imporre alcuna condizione sul radicando, perché le radici ad indice dispari ammettono radicando di segno qualsiasi (in caso di dubbi puoi dare un'occhiata alla lezione sui radicali);

 

- elevando entrambi i membri di un'equazione irrazionale ad un indice dispari si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza. Questo significa che la nuova equazione non solo ha le soluzioni di quella di partenza, ma ha proprio solo quelle, quindi non è necessario controllarle alla fine!

 

 


 

 

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\alpha

 

 

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