Sistemi di equazioni con il metodo grafico

In questa lezione vedremo come risolvere un sistema di equazioni con il metodo grafico, ossia come determinare le soluzioni di un sistema di equazioni rappresentando i luoghi geometrici definiti dalle singole equazioni.

 

Se sei alla ricerca del metodo grafico per risolvere un sistema di disequazioni ecco ciò che fa al caso tuo: come rappresentare le soluzioni di una disequazione nel piano.

 

Entriamo nel vivo della questione partendo dal caso più semplice che può capitarci, ovvero proponiamoci di risolvere graficamente un sistema lineare (le equazioni che lo formano sono di primo grado) di due equazioni in due incognite.

 

Risoluzione grafica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite

 

Supponiamo di essere di fronte ad un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite, ovvero di avere un sistema del tipo:

 

\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases}

 

e di volerlo risolverlo con il metodo grafico. 

 

Ci basta ricordare che un'equazione della forma ax+by+c=0 è l'equazione di una retta. Per questo motivo ci basterà disegnare le due rette individuate dalle singole equazioni ed osservare il grafico ottenuto:

 

- se siamo di fronte a due rette parallele il sistema è impossibile, non ammette cioè soluzioni;

 

- se le due rette sono coincidenti il sistema è indeterminato (infinite soluzioni)

 

- se le due rette sono incidenti il sistema è determinato, ammette cioè un'unica soluzione e la coppia di coordinate del punto di intersezione è proprio la soluzione del sistema.

 

Esempio di risoluzione grafica di un sistema lineare

 

Mettiamo in pratica il procedimento appena visto risolvendo graficamente, il seguente sistema:

 

\begin{cases}x+2y-3=0 \\ x-y=0 \end{cases}

 

Iniziamo dal disegnare la retta di equazione x+2y-3=0.

 

Per farlo ricordiamo che per due punti passa una ed una sola retta e dunque è sufficiente assegnare due valori (scelti a caso) ad una delle due incognite (x oppure y) e ricavare i valori corrispondenti per l'altra.

 

Ad esempio assegnando all'incognita y il valore y=0 avremo, per sostituzione nell'equazione di partenza:

 

x+0-3=0 \ \mbox{da cui} \ x=3

 

Abbiamo quindi trovato un punto della retta: A(3,0).

 

Allo stesso modo, assegnando ad y il valore y=1 otteremo x=1 e quindi il secondo punto cercato B(1,1)

 

A questo punto non dobbiamo fare altro che riportare i punti nel piano cartesiano e tracciare la retta che li congiunge.

 

 

Rappresentazione grafica di una retta

 

 

Passiamo ora a disegnare la seconda retta, di equazione x-y=0. Possiamo procedere come nel caso precedente (assegnando due valori scelti a caso ad una delle due incognite) oppure osservare che si tratta della bisettrice del primo e terzo quadrante. Ad ogni modo, la rappresentazione grafica del sistema considerato è la seguente:

 

 

risoluzione grafica sistema lineare

 

 

Poiché le due rette si intersecano nel punto (1,1) il sistema è determinato e la soluzione è data da:

 

\mbox{S}: \ (x,y)=(1,1)

 

Metodo grafico per risolvere un sistema qualsiasi di due equazioni in due incognite

 

Purtroppo sarà impossibile esaminare tutti i casi che si possono presentare. Una cosa è certa però: con un bel ripasso della Geometria Analitica non avremo problemi. In fin dei conti il ragionamento di fondo è quello visto per i sistemi lineari: individuare prima e rappresentare poi i luoghi geometrici delle equazioni che formano il sistema.

 

Vediamo qualche esempio:

 

\mbox{A)} \ \begin{cases}x^2+y^2-2y=0 \\ x^2+y=0 \end{cases}

 

La prima equazione del sistema rappresenta, senza ombra di dubbio, una circonferenza avente come centro il punto (0,1) e raggio r=1.

 

Per la seconda equazione, una volta riscritta come y=-x^2, è immediato scorgere una parabola con vertice nell'origine, asse parallelo all'asse y e concavità rivolta verso il basso. 

 

La rappresentazione grafica delle equazioni del sistema è la seguente

 

 

Intersezione tra circonferenza e parabola

 

 

Possiamo allora concludere che il sistema è determinato ed ha un'unica soluzione: (x,y)=(0,0)

 

 


 

 

\mbox{B)} \ \begin{cases} xy=4 \\ 9x^2+16y^2-144=0 \end{cases}

 

Dagli esempi proposti è chiaro che è indispensabile saper riconoscere le equazioni delle coniche...o no? Wink La prima equazione

 

xy=4

 

individua un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti con vertici nei punti (2,2) \ \mbox{e} \ (-2,-2), mentre

 

9x^2+16y^2-144=0

 

è l'equazione di un'ellisse. Per vederlo è sufficiente dividere ambo i membri per 144 e portare il termine noto a secondo membro, così da ottenere

 

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1

 

che è proprio l'equazione canonica di un'ellisse con vertici nei punti (4,0), \ (-4,0), \ (0,3), \ (0,-3).

 

Abbiamo tutte le informazioni utili per rappresentare il sistema graficamente

 

 

Intersezione tra ellisse e iperbole

 

 

il che ci permette di scoprire che il sistema è determinato ed ammette 4 soluzioni.

 

 

Ma se ora vi chiedessimo il valore esatto delle soluzioni? Sarebbe impossibile farlo senza procedere con i conti!

 

 

Nota bene: l'ultimo esempio mette in risalto un grosso handicap del metodo grafico. Abbiamo visto che è relativamente semplice stabilire se il sistema ammette o meno soluzioni e, nel caso in cui fosse determinato, stabilirne il numero. Se però volessimo determinare le (eventuali) soluzioni, nella maggior parte dei casi sarebbe impossibile farlo ricorrendo alla sola rappresentazione grafica.

 

Non ci credete? Provate allora a risolvere graficamente il seguente sistema:

 

\begin{cases}x+2y=0 \\ x-3y+3=0 \end{cases}

 

Siete in grado di fornire il valore esatto della soluzione utilizzando il solo grafico? Crediamo proprio di no. Wink

 

A cosa serve il metodo grafico per la risoluzione di un sistema

 

Vista l'impossibilità, in generale, di trovare le eventuali soluzioni di un sistema con il metodo grafico, molti di voi staranno pensando che si tratta di un metodo inutile e che è più comodo utilizzare uno dei metodi algebrici, ma non è così.

 

Innnanzitutto bisogna sapere che le soluzioni di un sistema non sono sempre richieste. In alcuni esercizi più complessi e nelle applicazioni più avanzate capita di dover semplicemente stabilire se i luoghi geometrici associati al sistema abbiano o meno punti di intersezione. In casi del genere il metodo grafico sarà il nostro asso nella manica e ci permetterà di evitare un gran mole di conti.

 

In secondo luogo vi consigliamo di procedere col metodo grafico come verifica del metodo algebrico; l'errore di distrazione è sempre in agguato e la rappresentazione grafica delle equazioni del sistema permette di stabilire se le soluzioni ottenute sono attendibili o meno.

 

Supponiamo di aver risolto un sistema lineare e di aver trovato (2,2) come unica soluzione. Poi però, rappresentando graficamente le rette, ci rendiamo conto che il punto di intersezione si trova nel quarto quadrante...Evidentemente c'è qualcosa che non va!

 

 


 

Per questa lezione è tutto! In caso di dubbi non esitate a contattarci nel Forum Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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