Equazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno

In questa lezione ci occuperemo delle equazioni omogenee e non omogenee in seno e coseno, di secondo grado, ovvero di quelle equazioni goniometriche che si presentano nella forma

 

a\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}+c\cos^2{(x)}=0

 

o nella forma

 

a\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}+c\cos^2{(x)}=d

 

con a,b,c,d coefficienti reali.

 

Se vi state chiedendo da dove vien fuori il nome, è presto detto: tali equazioni, come potete vedere, contengono solo seno e coseno intesi come termini di secondo grado. Inoltre se il termine noto è zero si dicono omogenee, altrimenti non omogenee.

 

Come si risolvono le equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

 

Vediamo quindi come procedere quando ci troviamo di fronte ad un'equazione del tipo

 

a\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}+c\cos^2{(x)}=0

 

Iniaziamo dal prendere in esame i casi particolari:

 

1. Se a=0 ci riconduciamo all'equazione

 

b\sin{(x)}\cos{(x)}+c\cos^2{(x)}=0

 

raccogliendo a fattor comune \cos(x) si ha

 

\cos{(x)}(b\sin{(x)}+c\cos{(x)})=0

 

A questo punto grazie alla legge di annullamento del prodotto si scompone nelle due equazioni:

 

\cos{(x)}=0

 

che è un'equazione goniomerica elementare e

 

b\sin{(x)}+c\cos{(x)}=0

 

equazione lineare in seno e coseno. Se hai dubbi su come trovare la soluzione, ti basta cliccare sui link!

 

2. Il caso c=0 è analogo al precedente. Avremo infatti:

 

a\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}=0

 

Basterà allora raccogliere \sin(x) per ricadere nella forma

 

\sin{(x)}(a\sin{(x)}+b\cos{(x)})=0

 

da cui:

 

\sin{(x)}}=0 \ \mbox{oppure} \ a\sin{(x)}+b\cos{(x)=0

 

Ci siamo ancora una volta ricondotti ad un'equazione elementare e ad una lineare.

 

3. Se b=0 si ha

 

a\sin^2(x)+c\cos^2{(x)}=0

 

e si procede come nel caso generale che vedemo tra poco ;)

 

Caso generale

 

Se i coefficienti a e b non sono nulli si procede dividendo ambo i membri per \cos^2(x):

 

a\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}+c\cos^2{(x)}=0 \ \iff

 

\iff\ \frac{a\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}+c\cos^2{(x)}}{\cos^2(x)}=\frac{0}{\cos^2(x)}

 

Da cui

 

a\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+b\frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)}+c\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=0

 

Dopo aver semplificato e ricordato com'è definita la tangente di un angolo avremo:

 

a\tan^2(x)+b\tan(x)+c=0

 

che è un'equazione goniometrica riconducibile ad una elementare procedendo per sostituzione. In caso di dubbi basta un click sul link precedente ;)

 

Vi facciamo notare che il passaggio fatto - dividere per \cos^2(x) - è lecito solo se i valori della x per cui \cos(x)=0 non sono soluzioni della nostra equazione omogenea di secondo grado. Ma poiché per la relazione fondamentale della trigonometria:

 

\cos^2(x)=0 \ \iff \ \sin^2(x)=1

 

andando a sostituire nell'equazione di partenza avremo:

 

a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0

 

da cui a=0 che è un assurdo in quanto all'inizio abbiamo supposto che a sia non nullo ;)

 

 

Vediamone ora un esempio

 

\bullet \ \sin^2(x)-(1+\sqrt{3})\sin(x)\cos(x)+\sqrt{3}\cos^2(x)=0

 

Abbiamo a che fare con un'equazione omogenea del secondo ordine in seno e coseno nel caso generale, ovvero con 

 

a=1, \ b=-(1+\sqrt{3}), \ c=\sqrt{3}

 

Possiamo quindi tranquillamente dividere per \cos^2(x) e ricadere nell'equazione:

 

\tan^2(x)-(1+\sqrt{3})\tan(x)+\sqrt{3}=0

 

Introducendo la variabile ausiliaria \tan(x)=y ricadremo nell'equazione di secondo grado

 

y^2-(1+\sqrt{3})y+\sqrt{3}=0

 

che ha come soluzioni

 

y=1 \ \vee \ y=\sqrt{3}

 

Tornando alla tangente:

 

\tan(x)=1 \ \iff \ x=\frac{\pi}{4}+k \pi, \ k \in \mathbb{Z} \ \mbox{(prima soluzione)}

 

oppure

 

\tan(x)=\sqrt{3} \ \iff \ x=\frac{\pi}{3}+k \pi, \ k \in \mathbb{Z} \ \mbox{(seconda soluzione)}

 

Equazioni trigonometriche non omogenee in seno e coseno di secondo grado

 

Se abbiamo un'equazione della forma

 

a\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}+c\cos^2{(x)}=d

 

con d \neq 0

 

È facile ricondurci al caso delle omogenee, sfruttando l'ormai nota identità fondamentale: 

 

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

 

Infatti riscrivendo l'equazione di partenza come

 

a\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}+c\cos^2{(x)}=d {\color{red}\cdot 1}

 

grazie all'identità appena citata si ha:

 

a\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}+c\cos^2{(x)}=d\underbrace{[\sin^2(x)+\cos^2(x)]}_{1}

 

Svolgendo il prodotto e portando tutto a primo membro abbiamo:

 

a\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}+c\cos^2{(x)}-d\sin^2(x)-d\cos^2(x)=0

 

e raccogliendo come segue:

 

(a-d)\sin^2(x)+b\sin{(x)}\cos{(x)}+(c-d)\cos^2{(x)}=0

 

ricadremo nell caso di equazioni trigonometriche in seno e coseno omogenee di secondo grado.

 

Esempio di equazione non omogenea di secondo grado in seno e coseno

 

\bullet \ \sin^2(x)-3\sin(x)\cos(x)+6\cos^2(x)=2

 

Per l'osservazione precedente:

 

\sin^2(x)-3\sin(x)\cos(x)+6\cos^2(x)=2[\cos^2(x)+\sin^2(x)]

 

ovvero:

 

\sin^2(x)-3\sin(x)\cos(x)+6\cos^2(x)-2\cos^2(x)-2\sin^2(x)=0

 

Sommando i termini simili:

 

-\sin^2(x)-3\sin(x)\cos(x)+4\cos^2(x)=0  

 

\sin^2(x)+3\sin(x)\cos(x)-4\cos^2(x)=0

 

Procediamo ora come nel caso delle omogenee. Dividiamo quindi tutto per \cos^2(x) così da avere, dopo qualche conticino, l'equazione di secondo grado nella tangente:

 

\tan^2(x)+3\tan(x)-4=0

 

Che ha come soluzioni:

 

\tan(x)=1 \ \iff \ x=\frac{\pi}{4}+k \pi, \ k \in \mathbb{Z} \ \mbox{(prima soluzione)}

 

oppure

 

\tan(x)=-4 \ \iff \ x=\pi-\arctan(4)+k \pi, \ k \in \mathbb{Z} \ \mbox{(seconda soluzione)}

 

 


 

 

Se dovessi avere dubbi o problemi non esitare a contattarci e ricorda che puoi reperire moltissimi esercizi interamente risolti e spiegati usando la barra di ricerca ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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