Metodo di Cramer

Come ultimo metodo per la risoluzione dei sistemi lineari introduciamo il metodo di Cramer: esso permette di risolvere i sistemi lineari. Anche se all'apparenza può sembrare difficile, una volta presa la mano sarà una passeggiata applicarlo, tant'è che è il metodo preferito da molti. Wink

 

Metodo di Cramer per sistemi lineari di due equazioni in due incognite

 

Per cominciare vediamo come applicare il metodo di Cramer nel caso di un sistema lineare di sue equazioni in due incognite

 

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y =c_2\end{cases}

 

 

 

Scriviamo i coefficienti delle incognite in una sorta di tabella che chiameremo matrice

 

(\spadesuit) \ \left[ \begin{matrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix}\right]

 

e calcoliamo il seguente valore:

 

(a_1 \cdot b_2) - (a_2 \cdot b_1)

 

che si dice determinante della matrice e si indica con la lettera \mbox{D}.

 

Per ricordare l'espressione del calcolo del determinante basta, una volta scritta la matrice (tabella) dei coefficienti delle incognite, avere presente il seguente schemino:

 

 

Schema per il calcolo del determinante 2x2

 

 

A questo punto, se il numero ottenuto è uguale a zero dobbiamo fermarci. Il metodo di Cramer non si può applicare ed il sistema sarà indeterminato o impossibile.

 

Se invece D \neq 0 calcoleremo il determinante dell'incognita x, che indichiamo con \mbox{D}_x dato da:

 

\mbox{D}_x=\left| \begin{matrix}c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}\right|=(c_1 \cdot b_2)-(c_2 \cdot b_1)

 

ottenuto da (\spadesuit) sostituendo i coefficienti della x con i termini noti delle equazioni del sistema.

 

Allo stesso modo calcoleremo il determinante dell'incognita y:

 

\mbox{D}_y=\left| \begin{matrix}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix}\right|=(a_1 \cdot c_2)-(a_2 \cdot c_1)

 

ottenuto da (\spadesuit) sostituendo i coefficienti della y con i termini noti delle equazioni del sistema.

 

Fatto questo, la soluzione del nostro sistema sarà data da:

 

x=\frac{\mbox{D}_x}{\mbox{D}}, \ \ y=\frac{\mbox{D}_y}{\mbox{D}}

 

 


 

 

Col seguente esempio sarà tutto più chiaro:

 

\bullet \ \begin{cases} 2x-y=4 \\ x+3y=9 \end{cases}

 

Iniziamo dal calcolo del determinte della matrice dei coefficienti (in rosso i coefficienti della x ed in blu quelli della y)

 

\mbox{D}=\left| \begin{matrix} {\color{red}2} & {\color{blue}-1} \\ {\color{red}1} & {\color{blue}3} \end{matrix}\right| = (2 \cdot 3)-[1 \cdot (-1)] = 6-(-1)=7

 

Essendo \mbox{D}=7 \neq 0 il sistema è determinato, ammette cioè un'unica soluzione che possiamo trovare applicando il metodo di Cramer.

 

Procediamo quindi col trovare il determinante dell'incognita x sostituendo al posto dei suoi coefficienti (in rosso) i termini noti:

 

\mbox{D}_x=\left| \begin{matrix} 4 & {\color{blue}-1} \\ 9 & {\color{blue}3} \end{matrix}\right| = (4 \cdot 3)-[9 \cdot (-1)] = 12+9=21

 

Allo stesso modo calcoliamo il determinante dell'incognita y sostituendo al posto dei suoi coefficienti (in blu) i termini noti:

 

\mbox{D}_y=\left| \begin{matrix} {\color{red}2} & 4 \\ {\color{red}1} & 9 \end{matrix}\right| = (2 \cdot 9)-(1 \cdot 4) = 18-4=14

 

Allora la soluzione del sistema sarà data da:

 

x=\frac{\mbox{D}_x}{\mbox{D}}=\frac{21}{7}=3

 

y=\frac{\mbox{D}_y}{\mbox{D}}=\frac{14}{7}=2

 

Metodo di Cramer per sistemi di tre equazioni in tre incognite

 

La regola di Cramer permette di risolvere anche i sistemi di tre equazioni in tre incognite, ovvero di quei sistemi che, una volta ridotti in forma normale, sono della forma:

 

\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}

 

Vediamo come procedere. Come prima cosa scriviamoci la matrice dei coefficienti delle incognite:

 

(\bigstar) \ \left[\begin{matrix}a_1 & b_1 & c_1  \\ a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3\end{matrix}\right]

 

e ne calcoleremo il determinante D procedendo con la regola di Sarrus (click per approfondire). Cioè scriveremo la matrice senza le parentesi quadre e la ricopieremo pari pari accanto. Il determinante sarà dato dalla somma dei prodotti degli elementi collegati dalle frecce rosse meno la somma dei prodotti degli elementi collegati dalle frecce blu, come mostrato in figura:

 

 Determinante associato al sistema di tre equazioni in tre incognite

 

Ovvero:

 

\mbox{D}=(a_1 \cdot b_2 \cdot c_3) + (b_1 \cdot c_2 \cdot a_3) + (c_1 \cdot a_2 \cdot b_3) - (c_1 \cdot b_2 \cdot a_3) - (b_1 \cdot a_2 \cdot c_3) - (a_1 \cdot c_2 \cdot b_3)

 

Ovviamente è impossibile ricordarla a memoria. Basta fare affidamento sullo schemino prima fatto Wink

 

Una volta calcolato tale determinante, se:

 

\bullet \ \mbox{D}=0: ci fermiamo. Il metodo di Cramer non è applicabile ed il sistema sarà impossibile o inderminato. Per scoprirlo procederemo con uno degli altri 3 metodi (sostituzione, riduzione o confronto).

 

\bullet \ \mbox{D} \neq 0: possiamo procedere col metodo di Cramer. Andremo a calcolare:

 

- il determinante dell'incognita x (\mbox{D}_x) che si ottiene da (\bigstar) andando a sostituire al posto dei coefficienti a_1, \ a_2, \ a_3 dell'incognita x i termini noti d_1, \ d_2, \ d_3, ovvero:

 

 

Determinante associato all'incognita x in un sistema lineare

 

 

- il determinante dell'incognita y (\mbox{D}_y) ottenuto da (\bigstar) andando a sostituire al posto dei coefficienti b_1, \ b_2, \ b_3 dell'incognita y i termini noti d_1, \ d_2, \ d_3:

 

 Determinante associato all'incognita y in un sistema lineare

 

 

- il determinante dell'incognita z (\mbox{D}_z) che vien fuori sempre da (\bigstar) sostituendo i coefficienti c_1, \ c_2, \ c_3 dell'incognita z con i termini noti d_1, \ d_2, \ d_3:

 

 

Determinante associato all'incognita z in un sistema lineare

 

 

Una volta fatto tutto questo, la soluzione del nostro sistema sarà data da:

 

x=\frac{\mbox{D_x}}{\mbox{D}}, \ y=\frac{\mbox{D_y}}{\mbox{D}}, \ z=\frac{\mbox{D_z}}{\mbox{D}}

 

 


 

 

Per non lasciar spazio a dubbi vediamo subito un esempio di risoluzione di un sistema di tre equazioni in tre incognite col metodo di Cramer.

 

\begin{cases}2x+y+z=1 \\ 4x-y+z=-5 \\ -x+y+2z=5 \end{cases} 

 

Iniziamo col trovare il determinante \mbox{D} associato al sistema:

 

\mbox{D}=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix}\right|

 

Calcolando il suo valore con la regola di Sarrus si ha:

 

 

Esempio risoluzione sistema lineare con Cramer

 

 

Ovvero \mbox{D}=(-4)+(-1)+(+4)-(+1)-(+8)-(+2)=-4-1+4-1-8-2=-12

 

Essendo diverso da zero il sistema sarà determinato. Per trovare la soluzione col Metodo di Cramer calcoliamo il valore dei determinanti associati alle tre incognite x, y e z.

 

 

Esempio sul calcolo del determinante associato ad un'incognita

 

 

Da cui:

 

\mbox{D}_x=(-2)+(5)+(-5)-(-5)-(-10)-(+1)=-2+5-5+5+10-1=12

 

Ottenuto sostituendo nella matrice di partenza la colonna dei coefficienti dell'incognita x con i termini noti (in arancione).

 

Procedendo allo stesso modo:

 

\mbox{D}_y=\left| \begin{matrix} 2 & {\color{DarkOrange}1} & 1 \\ 4 & {\color{DarkOrange}-5} & 1 \\ -1 & {\color{DarkOrange}5} & 2 \end{matrix}\right|=-24

 

\mbox{D}_z=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & {\color{DarkOrange}1} \\ 4 & -1 & {\color{DarkOrange}-5} \\ -1 & 1 & {\color{DarkOrange}5} \end{matrix}\right|=-12

 

la soluzione del nostro sistema di partenza sarà quindi data da:

 

x=\frac{\mbox{D}_x}{\mbox{D}}=\frac{12}{-12}=-1, \ y=\frac{\mbox{D}_y}{\mbox{D}}=\frac{-24}{-12}=2, \ z=\frac{\mbox{D}_z}{\mbox{D}}=\frac{-12}{-12}=1

 

Cioè: (x,y,z)=(-1,2,1)

 

 


 

 

Chiudiamo questo intenso articolo con una parentesi dedicata agli studenti universitari Wink 

 

Innanzitutto vi invitiamo a prendere visione della lezione sul calcolo del determinante (click!) dove spieghiamo come calcolare il determinante di una matrice quadrata di qualsiasi ordine.

 

Un'altra lettura interessante potrebbe essere quella sul teorema di Rouché Capelli dove vediamo come cavarcela se siamo di fronte a sistemi parametrici.

 

Infine, visto che al liceo ci insegnano ad utilizzare il metodo di Cramer solo ai sistemi quadrati, cioè ai sistemi di n equazioni in n incognite, ora avete l'età giusta per sfatare questo mito. Il metodo di Cramer è infatti applicabile anche ai sistemi rettangolari di m equazioni in n incognite (con m<n). Vuoi un esempio? Eccolo qui:

 

applicazione del metodo di Cramer ad un sistema rettangolare.

 


 

 

Ora è davvero tutto! In caso di dubbi utilizzate la barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina) e, se ancora non dovesse bastare, non esitate a contattarci! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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