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Metodo di riduzione

I libri si sprecano con descrizioni generali del metodo di riduzione per la risoluzione dei sistemi lineari (il terzo metodo che trattiamo). In questo articolo vorremmo darvi una visione pratica, senza formalismi, nella speranza di fornirvi un metodo pronto per l'utilizzo.

 

Metodo di riduzione per sistemi lineari

 

Consideriamo un sistema di due equazioni in due incognite. Il metodo di riduzione o di eliminazione consiste nel cercare di eliminare, in un solo colpo, una delle due incognite. Come?


1) si moltiplica una delle due equazioni (o entrambe se necessario) per un numero diverso da zero in modo tale che i coefficienti di una stessa incognita siano uguali od opposti nelle due equazioni.

 

2) Si sottraggono o sommano membro a membro le due equazioni ed una delle due incognite sparirà. 

 

3) Si scrive quindi un nuovo sistema (del tutto equivalente al primo) formato da una delle due equazioni iniziali (a nostra scelta) e dell'equazione in un'incognita ottenuta al punto 2).

 

4) Si risolve il sistema così ottenuto.

 

Con gli esempi che seguono sarà tutto molto più chiaro. Wink

 

Esempi sul metodo di riduzione

 

1) \begin{cases} 2x+3y=6\\ x+4y =8 \end{cases}

 

Vogliamo cercare di rendere uguali i coefficienti di una stessa incognita. Fissiamo la nostra attenzione sulla x. Nella prima equazione il suo coefficiente è 2, nella seconda equazione il suo coefficiente è 1.

 

A questo punto, al fine di rendere i due coefficienti della x uguali moltiplichiamo entrambi i membri della seconda equazione per 2, così da avere:

 

\begin{cases} 2x+3y=6\\ 2x+8y =16\end{cases}

 

A questo punto sottraiamo membro a membro la seconda equazione dalla prima:

 

2x-2x=0, \ 3y-8y=-5y, \ 6-16=-10

 

Ottenendo in questo modo un'equazione nella sola incognita y:  -5y=-10

 

Scriviamo quindi un nuovo sistema formato dall'equazione appena ottenuta e da una delle due equazioni di partenza (ad esempio la prima):

 

 

\begin{cases} 2x+3y=6\\ -5y=-10\end{cases}

 

Risolvendo la seconda equazione:

 

\begin{cases} 2x+3y=6\\ y=2\end{cases}

 

Sostituendo il valore di y così ottenuto nella prima equazione avremo:

 

\begin{cases} 2x + 3 \cdot 2 = 6 \\ y=2\end{cases}

 

\begin{cases} 2x = 0 \\ y=2\end{cases}

 

\begin{cases} x=0 \\ y=2\end{cases}

 

La soluzione del sistema è data dalla coppia di valori (x,y)=(0,2).

 

 


 

 

2) \begin{cases} 12x+3y=0\\ x-y =1\end{cases}

 

Quali coefficienti dovremo usare in questo caso? Non c'è una regola fissa. L'unico criterio da seguire è quello della comodità e del cercare di non ottenere numeri non troppo grandi.

 

Potremmo, ad esempio, in questo caso, moltiplicare la seconda equazione per 3, così da avere:

 

\begin{cases} 12x+3y=0\\ 3x-3y =3\end{cases}

 

In questo modo i coefficienti delle y nelle due equazioni sono opposti. Sommando le due equazioni membro a membro avremo:

 

12x+3x=15x, \ 3y+(-3y)=0, \ 0+3=3

 

da cui 15x=3

 

Riscriviamo quindi un nuvo sistema formato dall'equazione appena ottenuta e da una delle due equazioni iniziali (scegliamo la seconda che ha un aspetto più semplice):

 

\begin{cases} x-y=1 \\ 15x=3\end{cases}

 

Dalla seconda equazione possiamo ora ricavare il valore della x:

 

\begin{cases} x-y=1 \\ x=\frac{1}{5}\end{cases}

 

che sostituito nella prima ci darà il valore della y:

 

\begin{cases} y=\frac{1}{5}-1 \\ x=\frac{1}{5}\end{cases}

 

\begin{cases} y=-\frac{4}{5} \\ x=\frac{1}{5}\end{cases}

 

La soluzione del nostro sistema è quindi (x,y)=\left(\frac{1}{5}, \ -\frac{4}{5}\right)

 

 


 

 

3) \begin{cases} 6x+2y=13 \\ 4x-5y=-4 \end{cases}

 

Per eliminare l'incognita x possiamo moltiplicare la prima equazione per 2 e la seconda per 3, così da avere

 

\begin{cases} 12x+4y=26 \\ 12x-15y=-12 \end{cases}

 

Sottraendo la prima equazione dalla seconda otteniamo un'equazione nella sola incognita y, che riscriviamo in un nuovo sistema insieme alla seconda equazione del sistema iniziale:

 

\begin{cases} 19y=38 \\ 4x-5y=-4 \end{cases}

 

\begin{cases} y=2 \\ 4x-5y=-4 \end{cases}

 

Sostituendo il valore di y appena trovato nella seconda equazione si ottiene la soluzione del sistema:

 

\begin{cases} y=2 \\ x=\frac{3}{2} \end{cases}

 


 

Se qualcosa non fosse chiaro cerca le risposte ai tuoi dubbi tra le migliaia di esercizi che abbiamo risolto, ed eventualmente non esitare a contattarci nel Forum. Wink

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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Tags: sistemi lineari di equazioni - metodi di risoluzione dei sistemi lineari - metodo di riduzione - metodo di eliminazione per la risoluzione di sistemi lineari.

 

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