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Metodo di riduzione

I libri si sprecano con descrizioni generali del metodo di riduzione per la risoluzione dei sistemi lineari (il terzo metodo che trattiamo). In questo articolo vorremmo darvi una visione pratica, senza formalismi, nella speranza di fornirvi un metodo pronto per l'utilizzo.

 

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Metodo di riduzione per sistemi lineari

 

Consideriamo un sistema di due equazioni in due incognite e chiamiamo I (1 in romano) la prima equazione e II la seconda, scrivendolo otteniamo qualcosa di questo tipo:

 

\left\{\begin{matrix} \mbox{I }=b_1\\\mbox{II } =b_2\end{matrix}\right

 

dove b1 e b2 sono i termini noti.

 

Il metodo di riduzione ci assicura che le soluzioni di un sistema non cambiano se al posto di una qualsiasi delle equazioni del sistema, per esempio II, sostituiamo l'equazione

 

m\cdot\mbox{I}+n\cdot\mbox{II}=m\cdot b_1+n\cdot b_2

 

dove m e n sono numeri reali qualunque, (in matematica la nuova equazione che abbiamo ricavato si chiama combinazione lineare di I e II con coefficienti m e n).

 

Praticamente questo metodo ci permette di semplificare moltissimo il sistema ottenendo delle equazioni con soluzioni identiche a quelle di partenza, ma molto più semplici.

 

Cosa significa praticamente tutto ciò? Qualche esempio per voi:

 

Esempi sul metodo di riduzione

 

1) \left\{\begin{matrix} 2x+3y=2\\ x+2y =1\end{matrix}\right

 

Vogliamo sostituire una delle due equazioni in modo da ottenerne una più semplice. In questo caso è conveniente fare

 

1\cdot\mbox{I}+(-2)\cdot\mbox{II}=1\cdot b_1+(-2)\cdot b_2

 

cioè

 

1(2x+3y)+(-2)(x+2y) =1\cdot 2+(-2)\cdot 1

 

svolgiamo i calcoli

 

2x+3y-2x-4y =2-2

 

sommiamo i termini simili, notate che abbiamo scelto i coefficienti in modo furbo, per ottenere un'equazione nella sola y:

 

-y =0

 

cioè

 

y =0

 

Il metodo di riduzione ci assicura che questa equazione è del tutto equivalente a una di quelle del sistema di partenza, dunque sostituiamola:

 

\left\{\begin{matrix} y=0\\ x+2y =1\end{matrix}\right

 

Sostituiamo il valore di y che abbiamo trovato nella seconda equazione

 

\left\{\begin{matrix} y=0\\ x+2\cdot 0 =1\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix} y=0\\ x =1\end{matrix}\right

 

La soluzione del sistema è data dalla coppia di valori (x,y)=(1,0).

 

2) \left\{\begin{matrix} 12x+3y=0\\ x-y =1\end{matrix}\right

 

 

Quali coefficienti dovremo usare in questo caso? Il punto è moltiplicare per numeri piccoli, in modo da non avere coefficienti grandissimi, quindi, potremmo moltiplicare la seconda equazione per -12, così sommandola con la prima la x sparirebbe, ma i coefficienti sarebbero grandi. Conviene invece moltiplicare la seconda equazione per +3 e poi sommarla alla prima, così la y sparirà. Provare per credere:

 

1\cdot\mbox{I}+(3)\cdot\mbox{II}=1\cdot b_1+(3)\cdot b_2

 

cioè

 

1(12x+3y)+3(x-y)=1\cdot 0+(3)\cdot 1

 

Svolgiamo i conti:

 

12x+3y+3x-3y=3

 

15x=3

 

x=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}

 

Sostituiamo a un'equazione del sistema (tipicamente quella con i numeri più brutti, in questo caso la prima)

 

\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{5}\\ x-y =1\end{matrix}\right

 

Sostituiamo il valore di x che abbiamo trovato nella seconda equazione del sistema:

 

\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{5}\\ \frac{1}{5}-y =1\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{5}\\ -y =1-\frac{1}{5}\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{5}\\ -y =\frac{4}{5}\end{matrix}\right

 

Cambiando segno alla seconda equazione

 

\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{5}\\ y =-\frac{4}{5}\end{matrix}\right

 


 

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\alpha

 

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Tags: sistemi lineari di equazioni - metodi di risoluzione dei sistemi lineari - metodo del confronto - riduzione per la risoluzione di sistemi lineari.

 

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