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Metodo del confronto: sistemi lineari

Il metodo del confronto per sistemi lineari consiste nel isolare in due equazioni la stessa incognita ottenendo, per esempio x1=f(x2,...xn) dalla prima equazione, e x1=g(x2,...xn). Dove f(x2,...xn)  e g(x2,...xn) sono solo due espressioni contenti come incognite x2,...,xn.

 

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Esempi sul metodo del confronto

 

Qualche esempio chiarirà tutto, risolviamo nuovamente i sistemi metodi di risoluzione per sistemi lineari 1 - Sostituzione, usando il metodo del confronto:

 

1) \left\{\begin{matrix} x + y =5\\x-y =1\end{matrix}\right

 

 

Isoliamo la x in entrambe le equazioni:

 

\left\{\begin{matrix} x=5-y\\x =1+y\end{matrix}\right

 

Riscriviamo identica la prima equazione (sarebbe indifferente riscrivere la seconda e lavorare sulla prima, solo la pratica vi suggerirà quale equazione è meglio scegliere!), e al posto della seconda equazione uguagliamo i valori di x trovati:

 

\left\{\begin{matrix} x=5-y\\5-y =1+y\end{matrix}\right

 

Il ragionamento è: se x=5-y e al contempo deve essere x=1+y, poiché x è sicuramente uguale a sé stessa, deve essere che 5-y=1+y.

 

Svolgiamo i conti nella seconda equazione:

 

\left\{\begin{matrix} x=5-y\\-2y =-4\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix} x=5-y\\2y =4\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix} x=5-y\\y =2\end{matrix}\right

 

Abbiamo trovato il valore di y, sostituiamolo nella prima equazione:

 

\left\{\begin{matrix} x=5-2\\y =2\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix} x=3\\y =2\end{matrix}\right

 

Il sistema è determinato con soluzione (3,2).


2) \left\{\begin{matrix} 2x + 3y =6\\ \frac{2}{3}x+y =0\end{matrix}\right

 

 

Isoliamo y in entrambe le equazioni

 

\left\{\begin{matrix} y =\frac{6-2x}{3}\\ y =-\frac{2}{3}x+\end{matrix}\right

 

Riscriviamo invariata la prima equazione e al posto della seconda uguagliamo le due espressione per y che abbiamo trovato:

 

\left\{\begin{matrix} y =\frac{6-2x}{3}\\ \frac{6-2x}{3} =-\frac{2}{3}x\end{matrix}\right

 

Svolgiamo i calcoli:

 

\left\{\begin{matrix} y =\frac{6-2x}{3}\\ 2-\frac{2}{3}x =-\frac{2}{3}x\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix} y =\frac{6-2x}{3}\\ 2 =0\end{matrix}\right

 

La seconda equazione è impossibile, non ha soluzione e conseguentemente anche il sistema è impossibile.


3) \left\{\begin{matrix} 3x+\frac{5}{2}y=7\\ x+\frac{5}{6}y=\frac{7}{3}\end{matrix}\right

 

 

\left\{\begin{matrix} x=\frac{7-\frac{5}{2}y}{3}\\ x=\frac{7}{3}-\frac{5}{6}y\end{matrix}\right

 

Riscriviamo la prima e al posto della seconda confrontiamo le due equazioni:

 

\left\{\begin{matrix} x=\frac{7-\frac{5}{2}y}{3}\\ \frac{7-\frac{5}{2}y}{3}=\frac{7}{3}-\frac{5}{6}y\end{matrix}\right

 

Svolgiamo i calcoli:

 

\left\{\begin{matrix} x=\frac{7-\frac{5}{2}y}{3}\\\frac{7}{3}-\frac{5}{6}y=\frac{7}{3}-\frac{5}{6}y\end{matrix}\right

\left\{\begin{matrix} x=\frac{7-\frac{5}{2}y}{3}\\0=0\end{matrix}\right

 

La seconda equazione è una tautologia, dunque il sistema è indeterminato.

 

4) \left\{\begin{matrix}x+y-z=0\\x+y+z=1 \\x+2y+3z=6\end{matrix}\right

 

 

Isoliamo x nelle prime due equazioni

 

\left\{\begin{matrix}x=z-y\\x=1-y-z \\x+2y+3z=6\end{matrix}\right

 

Riscriviamo identica la prima equazione e al posto della seconda confrontiamo le due espressioni di x che abbiamo trovato, (si capisce adesso la notazione che abbiamo usato introducendo il metodo: abbiamo trovato x=f(y,z) e x=g(y,z)).

 

\left\{\begin{matrix}x=z-y\\z-y=1-y-z \\x+2y+3z=6\end{matrix}\right

 

Svolgiamo i conti:

 

\left\{\begin{matrix}x=z-y\\2z=1 \\x+2y+3z=6\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix}x=z-y\\z=\frac{1}{2} \\x+2y+3z=6\end{matrix}\right

 

z ha un valore ben preciso, sostituiamolo:

 

\left\{\begin{matrix}x=z-y\\z=\frac{1}{2} \\x+2y+3\frac{1}{2}=6\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix}x=z-y\\z=\frac{1}{2} \\x+2y+\frac{3}{2}=6\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix}x=z-y\\z=\frac{1}{2} \\x=\frac{9}{2}-2y\end{matrix}\right

 

Confrontiamo la prima e la terza equazione (riscriviamo la prima e al posto della terza mettiamo il confronto tra le due):

 

\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}-y\\z=\frac{1}{2} \\\frac{1}{2}-y=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}y\end{matrix}\right

 

Svolgiamo i calcoli nella terza equazione:

 

\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}-y\\z=\frac{1}{2} \\y=\frac{8}{2}\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}-y\\z=\frac{1}{2} \\y=4\end{matrix}\right

 

Sostituiamo nella prima e otteniamo la soluzione:

 

\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}-4\\z=\frac{1}{2} \\y=4\end{matrix}\right

 

\left\{\begin{matrix}x=-\frac{7}{2}\\z=\frac{1}{2} \\y=4\end{matrix}\right

 

NOTA BENE: in quest'ultimo caso il metodo del confronto non ci permette certo di risparmiare passaggi. in generale questo metodo è molto simile a quello di sostituzione.

 

Sono invece decisamente più rapidi, se usati opportunamente il metodo di riduzione e quello di Cramer.

 

Metodo di riduzione

Metodo di Cramer

 


 

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