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Metodo del confronto: sistemi lineari

Il metodo del confronto per sistemi lineari consiste nell'isolare in due equazioni la stessa incognita ed uguagliare poi le due espressioni ottenute. Con qualche esempio sarà tutto molto più chiaro Wink

 

Esempi sul metodo del confronto

 

Risolviamo nuovamente i sistemi che sistemi che abbiamo svolto col metodo di sostituzione, usando, questa volta, il metodo del confronto:

 

1) \begin{cases} x + y =5\\x-y =1\end{cases}

 

 

Isoliamo la x in entrambe le equazioni:

 

\begin{cases} x=5-y \\x =1+y \end{cases}

 

Riscriviamo identica la prima equazione (sarebbe indifferente riscrivere la seconda e lavorare sulla prima, solo la pratica vi suggerirà quale equazione è meglio scegliere!), e al posto della seconda equazione uguagliamo i valori di x trovati:

 

\begin{cases} x=5-y\\5-y =1+y\end{cases}

 

Il ragionamento è: se {\color{red}x}=5-y e allo stesso tempo deve essere {\color{red}x}=1+y, poiché x è sicuramente uguale a sé stessa, deve valere 5-y=1+y

 

Svolgiamo i conti nella seconda equazione di primo grado:

 

\begin{cases} x=5-y\\-2y =-4\end{cases}

 

\begin{cases} x=5-y\\2y =4\end{cases}

 

\begin{cases} x=5-y\\y =2\end{cases}

 

Abbiamo trovato il valore di y, sostituiamolo nella prima equazione:

 

\begin{cases} x=5-2\\y =2\end{cases}

 

\begin{cases} x=3\\y =2\end{cases}

 

Il sistema è quindi determinato con soluzione (x,y)=(3,2)

 


 

2) \begin{cases} \frac{12x-7}{2}-\frac{3(2x+y)}{10}=\frac{7}{10}\\ \frac{2x+y}{3}=\frac{4}{9}+\frac{x+y}{2}\end{cases}

 

Innanzitutto, calcolando il denominatore comune e facendo qualche conticino riduciamo il sistema in forma normale:

 

\begin{cases} 18x-y=14 \\ 3x-3y=8 \end{cases}

 

 A questo punto, procedendo col metodo del confronto, ricaviamo la y da entrambe le equazioni:

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ y=\frac{3x-8}{3} \end{cases}

 

Riscriviamo la prima equazione (che è quella che ha un'espressione più semplice) e, al posto della seconda, uguagliamo le due espressioni trovate:

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ 18x-14=\frac{3x-8}{3} \end{cases}

 

Risolviamo la seconda equazione (che contiene la sola incognita x). Calcolando il minimo comune multiplo:

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ 54x-42=3x-8 \end{cases}

 

Portiamo ora le incognite a primo membro e i termini noti a secondo membro:

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ 54x-3x=42-8 \end{cases}

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ 51x=34 \end{cases}

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ x=\frac{34}{51} \end{cases}

 

Riducendo ai minimi termini \frac{34}{51} (dividendo per 17) si ha:

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ x=\frac{2}{3} \end{cases}

 

Sostituendo ora il valore trovato nella prima equazione

 

\begin{cases} y=18 \cdot \frac{2}{3}-14 \\ x=\frac{2}{3} \end{cases}

 

\begin{cases} y=-2 \\ x=\frac{2}{3} \end{cases}

 

che è la soluzione del nostro sistema.

 


 

3) \begin{cases}x+y-z=0\\x+y+z=1 \\x+2y+3z=6\end{cases}

 

Isoliamo x nelle prime due equazioni

 

\begin{cases}x=z-y\\x=1-y-z \\x+2y+3z=6\end{cases}

 

Riscriviamo identica la prima equazione e al posto della seconda confrontiamo le due espressioni di x che abbiamo trovato.

 

\begin{cases}x=z-y\\z-y=1-y-z \\x+2y+3z=6\end{cases}

 

Svolgiamo i conti:

 

\begin{cases}x=z-y\\2z=1 \\x+2y+3z=6\end{cases}

 

\begin{cases}x=z-y\\z=\frac{1}{2} \\x+2y+3z=6\end{cases}

 

z ha un valore ben preciso, sostituiamolo:

 

\begin{cases}x=z-y\\z=\frac{1}{2} \\x+2y+3\frac{1}{2}=6\end{cases}

 

\begin{cases}x=z-y\\z=\frac{1}{2} \\x+2y+\frac{3}{2}=6\end{cases}

 

\begin{cases}x=z-y\\z=\frac{1}{2} \\x=\frac{9}{2}-2y\end{cases}

 

Confrontiamo la prima e la terza equazione (riscriviamo la prima e al posto della terza mettiamo il confronto tra le due):

 

\begin{cases}x=\frac{1}{2}-y\\z=\frac{1}{2} \\\frac{1}{2}-y=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}y\end{cases}

 

Svolgiamo i calcoli nella terza equazione:

 

\begin{cases}x=\frac{1}{2}-y\\z=\frac{1}{2} \\y=\frac{8}{2}\end{cases}

 

\begin{cases}x=\frac{1}{2}-y\\z=\frac{1}{2} \\y=4\end{cases}

 

Sostituiamo nella prima e otteniamo la soluzione:

 

\begin{cases}x=\frac{1}{2}-4\\z=\frac{1}{2} \\y=4\end{cases}

 

\begin{cases}x=-\frac{7}{2}\\z=\frac{1}{2} \\y=4\end{cases}

 

NOTA BENE: in quest'ultimo caso il metodo del confronto non ci permette certo di risparmiare passaggi. in generale questo metodo è molto simile a quello di sostituzione.

 

Sono invece decisamente più rapidi, se usati opportunamente il metodo di riduzione e quello di Cramer.

 

Metodo di riduzione

Metodo di Cramer

 


 

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