Metodo di sostituzione

Vediamo il primo dei quattro metodi per la risoluzione dei sistemi lineari: il metodo di sostituzione.

 

Mettiamoci nel caso dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite e di tre equazioni in tre incognite, che una volta ridotti in forma normale, saranno del tipo:

 

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

 

oppure

 

\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}

 

Il metodo di sostituzione consiste nell'isolare un'incognita in un'equazione e poi sostituire il risultato trovato nelle altre. In questo modo l'incognita che abbiamo isolato scompare in tutte le altre equazioni.

 

Non è molto chiaro, vero? Laughing Come spesso succede gli esempi permettono di capire più in fretta, quindi:

 

Metodo di sostituzione spiegato con esempi

 

1. Sistema di due equazioni in due incognite:

 

\begin{cases} x + y =5 \\ x-y =1\end{cases}

 

Il sistema è già ridotto in forma normale. Prima di procedere col metodo di sostituzione, possiamo vedere se esso è determinato, indeterminato o impossibile come visto nella lezione sui sistemi lineari - click!

 

Essendo a_1=a_2=1, \ b_1=1, \ b_2=-1, poiché

 

\frac{a_1}{a_2}=1 \neq \frac{b_1}{b_2}=-1

 

il sistema è determinato. Ammetterà quindi un'unica soluzione. Troviamola applicando il metodo di sostituzione.

 

Isoliamo la x nella prima equazione:

 

\begin{cases} x=5-y\\x-y =1\end{cases}\right

 

Sosituiamo l'espressione trovata nella seconda equazione

 

\begin{cases} x=5-y\\5-y-y =1\end{cases}

 

Risolviamo la seconda equazione; è un'equazione di primo grado

 

\begin{cases} x=5-y\\-2y =-4\end{cases}

 

\begin{cases} x=5-y\\y =2\end{cases}

 

Sostituiamo il valore di y nella prima equazione

 

\begin{cases} x=5-2\\y =2\end{cases}

 

\begin{cases} x=3\\y =2\end{cases}

 

La soluzione del sistema è data dalla coppia (x,y)=(3,2). Facile, no? Wink

 

 

2. Sistema di due equazioni in due incognite non in forma normale:

 

\begin{cases} \frac{12x-7}{2}-\frac{3(2x+y)}{10}=\frac{7}{10}\\ \frac{2x+y}{3}=\frac{4}{9}+\frac{x+y}{2}\end{cases}

 

Riduciamo il sistema in forma normale. Dopo aver calcolato il denominatore comune e fatto qualche conticino avremo:

 

\begin{cases} 18x-y=14 \\ 3x-3y=8 \end{cases}

 

Provate a verificare col metodo prima visto che siamo di fronte ad un sistema lineare determinato. A questo punto conviene ricavare la y dalla prima equazione così da avere:

 

\begin{cases} -y=-18x+14 \\ 3x-3y=8 \end{cases} \ \to \ \begin{cases}y=18x-14 \\ 3x-3y=8 \end{cases}

 

Sostituiamo ora nella seconda equazione 18x-14 al posto di y

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ 3x-3(18x-14)=8 \end{cases}

 

Nella seconda equazione compare ora solo l'incognita x. Risolvendola abbiamo:

 

\begin{cases}y=18x-14 \\ x=\frac{2}{3} \end{cases}

 

Sostituiamo ora nella prima equazione x con 2/3 così da avere la soluzione:

 

\begin{cases} y=-2 \\ x=\frac{2}{3} \end{cases}

 

Osservate che avremmo anche potuto ricavare la x dalla prima equazione del sistema oppure una delle due incognite dalla seconda equazione, ma in tutti i casi avremmo poi avuto a che fare con un denominatore che, nel modo in cui abbiamo scelto di procedere, abbiamo evitato ;)

 

 

3. Sistema di tre equazioni in tre incognite.

 

Aumentando il numero di equazioni e incognite il metodo di sostituzione rimane comunque valido, semplicemente andrà reiterato più volte. Per la precisione lo dovremo applicare 2 volte. In generale se siamo di fronte ad un sistema di n equazioni in n incognite, ripeteremo il metodo di sostituzione n-1 volte Wink

 

\begin{cases}x+y-z=0\\x+y+z=1 \\x+2y+3z=6\end{cases}

 

Isoliamo x nella prima equazione

 

\begin{cases}x=z-y \\ x+y+z=1 \\ x+2y+3z=6\end{cases}

 

Applichiamo il metodo di sostituzione per la prima volta sostituendo l'espressione che abbiamo trovato per x nelle due equazioni restanti:

 

\begin{cases}x=z-y\\z-y+y+z=1 \\z-y+2y+3z=6\end{cases}

 

Svolgiamo i calcoli

 

\begin{cases}x=z-y\\z=\frac{1}{2} \\y+4z=6\end{cases}

 

In questo caso la seconda equazione ha una forma molto semplice, la z è già isolata ed ha un valore numerico, (non è detto che vada sempre così bene), applichiamo sostituzione per la seconda volta, sostituendo z=1/2 nelle altre due equazioni del sistema:

 

\begin{cases}x=\frac{1}{2}-y\\z=\frac{1}{2} \\y+4\frac{1}{2}=6\end{cases}

 

Svolgendo i calcoli nella terza equazione troviamo un'espressione per y:

 

\begin{cases}x=\frac{1}{2}-y\\z=\frac{1}{2} \\y=4\end{cases}

 

Ora abbiamo i valori di y e z, sostituiamo nella prima ottenendo

 

\begin{cases}x=-\frac{7}{2}\\z=\frac{1}{2} \\y=4\end{cases}

 

Dunque il sistema è determinato e la sua unica soluzione è data da

 

(x,y,z)=\left(-\frac{7}{2}, \ 4, \ \frac{1}{2} \right)

 

 

NOTA BENE

 

Il metodo di sostituzione funziona sempre, ma raramente è il più veloce, quindi vi consigliamo di leggere anche

 

Metodo del confronto

Metodo di riduzione

Metodo di Cramer

 

 


 

 

Se qualcosa non fosse chiaro puoi aprire una discussione nel Forum, e trovare le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca di YM: abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi...Wink

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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