Sistemi lineari

Iniziamo questo articolo con un approccio intuitivo al concetto di sistema lineare, se cercate la definizione rigorosa di sistema lineare e i metodi di risoluzione, dovete semplicemente scorrere l'articolo!

 

La lezione è rivolta principalmente agli studenti delle Scuole Superiori. Alla fine, però, c'è un trafiletto dedicato agli universitari! ;)

 

A che servono i sistemi lineari di equazioni? Un esempio

 

A cosa servono i sistemi lineari? Il loro scopo è quello di trovare le soluzioni comuni a più equazioni.

 

 

Alcuni problemi di enigmistica si risolvono proprio grazie ai sistemi, ad esempio: "Trova quei due numeri la cui somma è 24 e la differenza è 6."

 

Chiamiamo i due numeri x e y. Vogliamo che x+y=24 e x-y=6, se non scriviamo un sistema, queste due equazioni, trattate singolarmente, hanno infinite soluzioni!

 

Ad esempio alcuni numeri la cui somma è 24 sono 0+24, 1+23, -26+50,... e numeri che hanno differenza 6: 7-1, 8-2, 27-21,...

 

Per indicare che le due equazioni vanno risolte contemporaneamente, nel senso che vogliamo i risultati che le soddisfano entrambe, scriviamo un sistema, cioè scriviamo le due equazioni comprese in una parentesi graffa:

 

\begin{cases}x + y = 24 \\ x-y = 6\end{cases}

 

Ora? Vedremo molti procedimenti per risolvere i sistemi, ma intuitivamente si potrebbe procedere così: isoliamo la x nella prima equazione e riscriviamo la seconda:

 

\begin{cases} x = 24-y \\ x-y = 6 \end{cases}

 

Abbiamo trovato un'espressione per x che possiamo sostituire nella seconda equazione del sistema:

 

\begin{cases} x = 24-y \\ (24-y)-y = 6\end{cases}

 

Svolgendo i calcoli nella seconda equazione otteniamo:

 

\begin{cases} x = 24-y \\ 24-2y=6 \end{cases}

 

Risolviamo la seconda equazione di primo grado:

 

\begin{cases} x = 24-y\\ 2y=18 \ \to \ y=9 \end{cases}

 

Sostituendo il valore di y nella prima equazione otteniamo

 

\begin{cases} x = 24-9=15 \\ y=9\end{cases}

 

Dunque la soluzione del sistema è data dalla coppia ordinata:


(x,y)=(15,9)

 

Chiameremo questo metodo: metodo di sostituzione e ce ne occuperemo nel dettaglio nella lezione successiva.

 

 


 

 

Generalmente, almeno nella scuola superiore, tratterete sistemi lineari di due equazioni in due incognite o sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, ovvero sarete di fronte a situazioni del tipo:

 

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \ \mbox{(sistema di due equazioni in due incognite)}

 

o del tipo

 

\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases} \ \mbox{(sistema di tre equazioni in tre incognite)}

 

Per farla breve avrete a che fare con due o tre equazioni di primo grado di cui dovrete trovare le soluzioni comuni. Il termine lineare riferito ai sistemi indica proprio che abbiamo a che fare con equazioni le cui incognite sono di grado 1.

 

Ad esempio:

 

\begin{cases}x^2+y^2=1 \\ x+y=0\end{cases}

 

è sì un sistema ma non è lineare in quanto la prima equazione non è di primo grado. Ci occuperemo di questi sistemi in un'altra lezione.

 

Soluzioni di un sistema lineare

 

Dato un sistema lineare si dice che è:

 

- determinato se ha una e una sola soluzione.

- indeterminato se ha infinte soluzioni.

- impossibile se non ammette soluzioni.

 

Nel caso dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite esiste un metodo che permette di stabilire se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile ancor prima di risolverlo. Vediamolo.

 

Dato un sistema lineare di due equazione in due incognite:

 

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \ \mbox{(sistema di due equazioni in due incognite)}

 

Se:

 

\bullet \ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \ \Rightarrow \ \mbox{sistema determinato}

 

\bullet \ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \ \Rightarrow \ \mbox{sistema indeterminato}

 

\bullet \ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \ \Rightarrow \ \mbox{sistema impossibile}

 

Ad esempio, nel sistema considerato all'inizio

 

\begin{cases}x + y = 24 \\ x-y = 6\end{cases}

 

essendo a_1=a_2=1, \ b_1=1, \ b_2=-1

 

si ha

 

\frac{a_1}{a_2}=1 \neq \frac{b_1}{b_2}=-1

 

e quindi, come abbiamo visto il sistema è determinato, ovvero ammette un'unica soluzione (che abbiamo anche trovato) Wink

 

Un'ulteriore verifica delle soluzioni di un sistema lineare di due equazioni in due incognite consiste nel metodo grafico.

 

Come ben saprete infatti ogni equazione di primo grado in una o due incognite altro non è se non l'equazione di una retta.

 

Possiamo quindi rappresentare nel piano cartesiano le due rette che formano il sistema e:

 

- se sono rette parallele il sistema è impossibile;

- se sono coincidenti è inderminato;

- se siamo di fronte a due rette incidenti il sistema è determinato ed il punto di intersezione sarà la soluzione del sistema.

 

Sempre nel caso del primo sistema preso in esame

 

\begin{cases}x + y = 24 \\ x-y = 6\end{cases}

 

rappresentando le due rette di equazione x+y=24 \ \mbox{e} \ x-y=6

 

si può vedere che si intersecano proprio nel punto (15,9).

 

 

Soluzioni di un sistema lineare

 

Metodi di risoluzione dei sistemi lineari

 

Ce ne sono diversi, e li trattiamo nel dettaglio nelle lezioni successive:

 

sistemi lineari per sostituzione

sistemi lineari per confronto

sistemi lineari per riduzione

metodo di Cramer

 

 


 

Disclaimer: la parte che segue la riserviamo ai lettori universitari o ai ragazzi più volenterosi Wink

 

La maggior parte delle volte avrete a che fare con sistemi quadrati, ovvero dove il numero delle incognite e il numero delle equazioni coincidono.

 

Se il numero delle incognite supera il numero delle equazioni il sistema sarà indeterminato o impossibile, mentre, in generale, non si può dire nulla se le equazioni superano le incognite.

 

In ogni caso, quando il numero di equazioni si fa importante o quando siamo di fronte a sistemi non quadrati, il metodo migliore di procedere è con l'applicazione del teorema di Rouché Capelli.

 

Definizione di sistema lineare

 

Si dice sistema di equazioni lineari in m equazioni ed n incognite un'espressione del tipo

 

\begin{cases}a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots a_{1,3}x_3+\cdots+a_{1,n}x_n =b_1\\a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots a_{2,3}x_3+\cdots+a_{2,n}x_n =b_2\\ \vdot\\a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+\cdots a_{m,3}x_3+\cdots+a_{m,n}x_n =b_m\end{cases}

 

dove:

 

(x_1, \ x_2, \ ... \ x_n) sono le incognite e

 

a_{ij} i loro coefficienti; il primo numero al pedice indica a quale equazione appartengono, mentre il secondo indica a quale incognita sono legati.

 

Ad esempio a_{2,5} è il coefficiente che moltiplica la quinta incognita nella seconda equazione.

 

In particolare si dice soluzione del sistema di equazioni lineare la n-upla (x_1, \ ..... \ x_n) che soddisfa tutte le equazioni del sistema.

 

Solitamente un sistema lineare di m equazioni in n incognite si rappresenta con la notazione matriciale:

 

Ax=b, dove:

 

A è la matrice dei coefficienti delle incognite,

x è la colonna delle incognite e

b la colonna dei termini noti, cioè:

 

A=\left[\begin{matrix}a_{11} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right], \ \ \ x=\left[\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right], \ \ \ b=\left[\begin{matrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix} \right]

 

Sistemi lineari omogenei

 

Se i termini noti di tutte le equazioni che formano il nostro sistema sono nulli, ovvero se

 

b_1=b_2=....=b_m=0

 

il sistema si dice lineare omogeneo. Questo aspetto, all'apparenza poco rilevante, ha una grande ripercussione sull'insieme delle soluzioni del sistema.

 

Infatti un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile cioè è determinato o, nella peggiore delle ipotesi, avrà infinite soluzioni. Tali sistemi hanno infatti sempre almeno una soluzione data dalla n-pla banale, formata cioè da tutti zeri.

 

Provate a pensarci un attimo. Avendo a che fare con una colonna di termini noti formata da tutti zero, la matrice completa associata al sistema avrà una colonna nulla; conseguentemente il rango di tale matrice sarà, per forza di cose, uguale al rango della matrice incompleta. Per il teorema di Rouché Capelli questo sistema è dunque compatibile. Wink

 

 


 

 

Per questa lezione è tutto! Se qualcosa non fosse chiaro puoi cercare le risposte ai tuoi dubbi tra le migliaia di esercizi che abbiamo risolto e spiegato, ed eventualmente puoi aprire una discussione nel Forum.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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