Seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche

Procediamo con la seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche, analizzando altri possibili casi. Per chi se la fosse persa, nella prima parte abbiamo trattato le equazioni goniometriche elementari - click!

 

Inutile dire che prima di procedere con la lettura di questa lezione bisogna avere ben chiaro come risolvere le equazioni del tipo \sin(x)=m, \ \cos(x)=n, \ \tan(x)=p, infatti, come tra poco vedremo, ci ricondurremo quasi sempre ad esse. Wink

 

Equazioni trigonometriche per sostituzione

 

1. Le equazioni trigonometriche del tipo

 

\sin[f(x)]=m, \ \cos[f(x)]=n, \ \tan[f(x)]=p

 

si possono ricondurre immediatamente ad un'equazione goniometrica elementare ponendo f(x)=y (che diremo variabile ausiliaria), così da avere:

 

\sin(y)=m, \ \cos(y)=n, \ \tan(y)=p

 

che sappiamo più che bene come risolvere ;)

 

Esempi

 

\bullet \ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-1

 

Ponendo x+\frac{\pi}{6}=y avremo

 

\sin(y)=-1

 

che è soddisfatta (tralasciando, per il momento, la periodicità) per:

 

y=\frac{3}{2}\pi

 

A questo punto, ricordando che y=x+\frac{\pi}{6} si avrà:

 

x+\frac{\pi}{6}=\frac{3}{2}\pi \ \to \ x=\frac{3}{2}\pi-\frac{\pi}{6} \ \to \ x=\frac{4}{3}\pi

 

Essendo la funzione seno periodica di periodo 2\pi le soluzioni saranno:

 

x=\frac{4}{3}\pi+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 


 

\bullet \ 4\cos(6x)-9=0

 

Innanzitutto portiamo il 9 a secondo membro e dividiamo tutto per 4, così da avere

 

\cos(6x)=\frac{9}{4}

 

Procediamo ora col cambio di variabile. Dopo aver posto y=6x ricadremo in un'equazione elementare col coseno:

 

\cos(y)=\frac{9}{4}

 

che, evidentemente è impossibile in quanto \frac{9}{4}=2,25 \textgreater 1.

 

Di conseguenza la nostra equazione di partenza non ha soluzioni.

 


 

2. Le equazioni goniometriche che contengono una sola funzione goniometrica si riconducono a quelle elementari ponendo tale funzione come incognita ausiliaria. Più difficile a dirsi che a farsi ;)

 

Vediamo subito qualche esempio:

 

\bullet  \ 8\sin^2(x)+2\sin(x)-3=0

 

Ha decisamente l'aspetto di un'equazione di secondo grado, dunque cambiamo la variabile e, ponendo y=sin(x), otteniamo

 

8y^2+2y-3=0

 

Ora è proprio un'equazione di secondo grado che sappiamo risolvere; risulta:

 

y=-\frac{3}{4} \ \vee \ y=\frac{1}{2}

 

Ricordando la sostituzione che abbiamo fatto: \sin(x)=y riusciamo a ricondurci a due equazioni trigonometriche elementari:

 

\sin(x)=\frac{1}{2} \ \mbox{e} \ \sin(x)=-\frac{3}{4}

 

La prima ha come soluzioni:

 

x=\frac{\pi}{6}+2k \pi \ \vee \ x=\frac{5}{6}\pi + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

La seconda:

 

x=\pi+\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)+2k \pi \ \vee \ x=2\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Abbiamo già discusso il procedimento risolutivo di queste equazioni nella lezione precedente. Se hai dubbi a riguardo dai un'occhiata ;)

 


 

\bullet \ 7\cos(x)-4\cos^3(x)-3=0

 

Ponendo \cos(x)=y ci riconduciamo, all'equazione di terzo grado:

 

7y-4y^3-3=0 \ \to \ 4y^3-7y+3=0

 

Grazie alla regola di Ruffini il polinomio a primo membro lo possiamo scrivere come:

 

4y^3-7y+3=(y-1)(4y^2+4y-3)

 

così da avere:

 

(y-1)(4y^2+4y-3)=0

 

Per la legge di annullamento del prodotto si avrà

 

y-1=0 \ \iff \ y=1

 

oppure

 

4y^2+4y-3=0 \ \iff \ y=-\frac{3}{2} \ \vee \ y=\frac{1}{2}

 

Ritornando al coseno avremo le tre equazioni goniometriche elementari:

 

\cos(x)=1 \ \iff \ x=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

\cos(x)=\frac{1}{2} \ \iff \ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{3}\pi +2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

\cos(x)=-\frac{3}{2} \ \mbox{impossibile, in quanto} \ -\frac{3}{2}=-1,5\textless -1

 

Le soluzioni della nostra equazione saranno quindi:

 

x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{3}\pi +2k\pi, \ \vee \  x=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 


 

Prima di procedere con le equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari tramite le definizioni e le formule goniometriche è bene dedicare due minuti per vedere come si deve procedere nella risoluzione delle equazioni goniometriche della forma:

 

\sin[f(x)]=\sin[g(x)], \ \cos[f(x)]=\cos[g(x)], \ \tan[f(x)]=\tan[g(x)] 

 

Si potrebbe infatti cadere in errore ponendo f(x)=g(x). Per non sbagliare basta ricordare quando due angoli hanno stesso seno, stesso coseno o stessa tangente. Sapendo che:

 

- due angoli hanno lo stesso seno se differiscono di un numero intero di angoli giri oppure uno di essi differisce per un numero interi di angoli giri dal supplementare dell'altro:

 

\sin[f(x)]=\sin[g(x)] \iff f(x)=g(x)+2k\pi \vee f(x)=[\pi-g(x)]+2k\pi

 

- due angoli hanno lo stesso coseno se differiscono di un numero intero di angoli giri oppure uno di essi differisce per un numero interi di angoli giri dall'opposto dell'altro:

 

\cos[f(x)]=\cos[g(x)] \ \iff \ f(x)=\pm g(x)+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

- due angoli hanno la stessa tangente se differiscono di un numero intero di angoli piatti e sono entrambi diversi da \frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z}:

 

\tan[f(x)]=\tan[g(x)] \ \iff \ f(x)=g(x)+k\pi \ \mbox{con} \ f(x),\ g(x) \neq \frac{\pi}{2}+k\pi

 

Vedremo tra poco qualche esempio di applicazione di tali formule.

 

Equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari mediante formule goniometriche

 

1. Se in un'equazione goniometrica dovessero comparire funzioni che non siano seno, coseno o tangente, possiamo ricondurci ad esse semplicemente ricordando come sono definite cotangente, secante e cosecante :)

 

\cot(x)=\frac{1}{\tan(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}, \ \sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}, \ \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}

 

Esempio:

 

\bullet \ \tan(x)+2\cot(x)=3

 

Poiché, come abbiamo appena ricordato, \cot(x)=\frac{1}{\tan(x)}, andando a sostituire avremo:

 

\tan(x)+\frac{2}{\tan(x)}=3

 

Ovvero, dopo aver portato tutto a primo membro e calcolato il denominatore comune:

 

\frac{\tan^2(x)+2-3\tan(x)}{\tan(x)}=0

 

Dopo aver posto x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z} ed eliminato il denominatore, la nostra equazione è equivalente a:

 

\tan^2(x)-3\tan(x)+2=0 

 

Procediamo ora ad una nuova sostituzione ponendo \tan(x)=y

 

y^2-3y+2=0

 

Equazione di secondo grado che ammette le due soluzioni

 

y=1 \ \vee \ y=2

 

Tornando alla tangente ricadremo nelle due equazioni goniometriche elementari:

 

\tan(x)=1 \ \iff \ x=\frac{\pi}{4}+k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

\tan(x)=2 \ \iff \ x=\arctan(2)+k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

che saranno le due soluzioni della nostra equazione ;)

 


 

2. Se le definizioni delle funzioni trigonometriche non dovessero bastare per risolvere l'equazione goniometrica proposta è sempre bene tener presente le formule trigonometriche, in modo tale da riuscire a ricondurvi ai casi già trattati.

 

Come sempre, per farvi capire come procedere procediamo con una serie di esempi ;)

 

Equazioni goniometriche risolvibili tramite relazione fondamentale della trigonometria

 

Se abbiamo (o ci si siamo ricondotti) ad un'equazione in cui compaiono seno e coseno di cui uno due elevato al quadrato, sfruttando l'identità fondamentale della trigonometria:

 

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

 

ci ricondurremo ad una sola funzione e possiamo procedere poi con i metodi già visti. Vediamo un esempio.

 

\bullet \ 5-2\cos^2(x)-4\sin(x)=2\cos^2(x)

 

Sostituendo

 

\cos^2(x) \ \mbox{con} \ 1-\sin^2(x)

 

ricadremo in un'equazione di secondo grado col solo seno:

 

5-2[1-\sin^2(x)]-4\sin(x)=2[1-\sin^2(x)]

 

5-2+2\sin^2(x)-4\sin(x)=2 -2\sin^2(x)

 

5-2+2\sin^2(x)-4\sin(x)-2+2\sin^2(x)=0 

 

da cui, sommando i termini simili:

 

4\sin^2(x)-4\sin(x)+1=0

 

A questo punto basterrà porre y=\sin(x) e ricondursi all'equazione di secondo grado:

 

4y^2-4y+1=0

 

che ha due soluzioni coincidenti:

 

y=\frac{1}{2} \ \to \ \sin(x)=\frac{1}{2} \ \iff \ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{6}\pi + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche risolvibili con le formule di addizione e sottrazione


Se l'argomento delle nostre funzioni è una somma o una differenza la strada per portare a casa l'equazione sarà in discesa se ricorreremo alle formule di addizione e sottrazione degli archi - click!


Ad esempio, l'equazione goniometrica


\bullet \ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 1 


la possiamo risolvere molto agevolmente applicando le formule di addizione e sottrazione del seno, così da avere:


\underbrace{\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}_{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}-\left[\underbrace{\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}_{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\right]=1

 

Ovvero:

 

\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=1

 

da cui, sommando i termini simili

 

2\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=1

 

Ricordando ora che

 

\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

 

(vedi tabella valori funzioni goniometriche) ci ricondurremo a

 

2\cos(x)\frac{\sqrt{2}}{2}=1 \ \iff \ \sqrt{2}\cos(x)=1 \ \iff \ \cos(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}

 

razionalizzando

 

\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \ \iff \ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{7}{4}\pi + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche risolvibili tramite le formule di duplicazione

 

\bullet \ \cos(2x)+\cos(x)=0

 

La presenza del \cos(2x) deve subito farci venire alla mente le formule di duplicazione, grazie alle quali la nostra equazione equivale a:

 

\underbrace{2\cos^2(x)-1}_{\cos(2x)}+\cos(x)=0

 

ovvero a:

 

2\cos^2(x)+\cos(x)-1=0

 

che lasciamo a voi (ormai dovreste aver capito come procedere) dandovi solo le soluzioni:

 

x=\pi+2k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+2k \pi \ \vee \ x=\frac{5}{3}\pi + 2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche con le formule di bisezione

 

\bullet \ \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos(x)=1

 

\tan^2 \left(\frac{x}{2}\right) è il campanello dall'allarme per l'utilizzo delle formule di bisezione grazie alle quali la nostra equazione equivale a:

 

\underbrace{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}_{\tan^2 \left(\frac{x}{2}\right)}+\cos(x)=1

 

a patto che x \neq -\pi+2 k \pi \ \wedge \ x \neq \pi + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

che sono i valori che annullano il denominatore e fanno sì che non esista la tangente.

 

A questo punto, dopo qualche conticino, la possiamo scrivere come:

 

\frac{1-\cos(x)+\cos(x)[1+\cos(x)]-1-\cos(x)}{1+\cos(x)}=0 

 

\frac{\cos^2(x)-\cos(x)}{1+\cos(x)}=0

 

che equivale a (in virtù delle condizioni prima poste):

 

\cos^2(x)-\cos(x)=0  \iff  \cos(x)[\cos(x)-1]=0

 

Da cui

 

\cos(x)=0 \ \vee \ \cos(x)=1

 

e quindi le soluzioni:

 

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche risolvibili tramite le formule di Werner

 

La regola è che ogni volta che avete prodotti di seni e coseni con argomenti diversi, dovrete pensare alle formule di Werner ;)

 

\bullet \ \sin(4x)\sin(3x)=\sin(2x)\sin(x)

 

Per le formule di Werner abbiamo:

 

\underbrace{\frac{1}{2}\left[\cos(4x-3x)-\cos(4x+3x)\right]}_{\sin(4x)\sin(3x)}=\underbrace{\frac{1}{2}\left[\cos(2x-x)-\cos(2x+x)\right]}_{\sin(2x)\sin(x)}

 

Moltiplicando ambo i membri per 2 e sommando i termini all'interno del coseno:

 

\cos(x)-\cos(7x)=\cos(x)-\cos(3x)

 

Da cui

 

\cos(7x)=\cos(3x)

 

Ricordando ora che, in generale:

 

\cos[f(x)]=\cos[g(x)] \ \iff \ f(x)=\pm g(x)+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

si ha:

 

\cos(7x)=\cos(3x) \ \iff \ 7x=3x+2k\pi \ \vee \ 7x=-3x+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Ora:

 

7x=3x+2k\pi \ \iff \ 4x=2k\pi \ \iff \ x=\frac{\pi}{2}k, \ k \in \mathbb{Z} \ \mbox{(prima soluzione)}

 

7x=-3x+2k\pi \ \iff \ 10x=2k\pi \ \iff \ x=\frac{\pi}{5}k, \ k \in \mathbb{Z} \ \mbox{(seconda soluzione)}

 

Equazioni goniometriche con le formule di prostaferesi 

 

Se siete di fronte a somme o sottrazioni di funzioni goniometriche dovete subito a pensare alle formule di prostaferesi.

 

 

Esempio di equazione goniometrica risolvibile con le formule di prostaferesi

 

\bullet \ \sin(4x)+\sin(3x)+\sin(2x)+\sin(x)=0

 

Applicando le suddette formule si ha:

 

\underbrace{2\sin \left(\frac{4x+3x}{2}\right) \cos\left(\frac{4x-3x}{2}\right)}_{\sin(4x)+\sin(3x)}+\underbrace{2\sin \left(\frac{2x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x-x}{2}\right)}_{\sin(2x)+\sin(x)}=0

 

Ovvero

 

2\sin\left(\frac{7x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)+2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0

 

Raccogliendo a fattor comune 2\cos\left(\frac{x}{2}\right):

 

2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\left[\sin\left(\frac{7x}{2}\right)+\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\right]=0

 

Per la legge di annullamento del prodotto avremo:

 

2\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0 \ \iff \ \cos\left(\frac{x}{2}\right)=0

 

Ovvero

 

\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k \pi \ \iff \ x=\pi+2k\pi \ k \in \mathbb{Z}

 

\sin\left(\frac{7x}{2}\right)+\sin\left(\frac{3x}{2}\right)=0 \ \iff \ \sin\left(\frac{7x}{2}\right)=-\sin\left(\frac{3x}{2}\right) \ \iff

 

(per le formule degli archi associati)

 

\sin\left(\frac{7x}{2}\right)=\sin\left(-\frac{3x}{2}\right)

 

Ricordando ora che, in generale,

 

\sin[f(x)]=\sin[g(x)] \ \iff \ f(x)=g(x)+2k\pi \ \vee \ f(x)=[\pi-g(x)]+2k\pi

 

Avremo:

 

\frac{7x}{2}=-\frac{3x}{2}+2k \pi \ \iff \ \frac{10x}{2}=2k\pi \ \iff \ x=\frac{2}{5}k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

oppure

 

\frac{7x}{2}=\left[\pi-\left(-\frac{3x}{2}\right)\right]+2k \pi \ \iff \ \frac{7x}{2}=\left[\pi+\frac{3x}{2}\right]+2k \pi \ \iff

 

 \iff \ 2x=\pi(1+2k) \ \iff \ x=\frac{\pi}{2}(1+2k) \ \iff \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

La nostra equazione è quindi soddisfatta per:

 

x=\pi+2k\pi \ \vee \ x=\frac{2}{5}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z} 

 

 


 

 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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