Equazioni goniometriche

Le equazioni goniometriche sono quelle equazioni in cui l'incognita compare come argomento di una funzione goniometrica: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. I metodi di risoluzione delle equazioni goniometriche dipendono dalla forma normale a cui esse possono essere ricondotte.

 

In questa lezione e nelle tre successive analizzeremo le principali tipologie di equazioni goniometriche, l'ultima classe di equazioni trascendenti notevoli che sono oggetto di studio nel triennio delle scuole superiori e nei corsi base di Matematica delle facoltà universitarie. Poiché le possibili tipologie sono parecchie procederemo con ordine, proponendo una classificazione estesa e dettagliata.

 

Se volete fare un ripasso prima di proseguire potete consultare le lezioni sulle funzioni elementari e sulle loro proprietà, nonché quelle di Trigonometria.

 

Nota bene: qui su YM è anche disponibile una spiegazione sulle disequazioni goniometriche. ;)

 
 
 

Come risolvere le equazioni goniometriche 

 

Esiste una moltitudine di equazioni goniometriche, dette anche equazioni trigonometriche (si tratta di un piccolo abuso di linguaggio piuttosto diffuso che talvolta commetteremo anche noi). In realtà in generale sarebbe più corretto parlare di equazioni goniometriche dacché la Goniometria si occupa dello studio degli angoli e delle funzioni definite sugli angoli, mentre la Trigonometria si riferisce all'applicazione della Goniometria nel contesto dei triangoli.

 

Non perdiamoci in ulteriori preamboli e passiamo a un'elenco dei principali tipi di equazioni goniometriche:

 

1) equazioni goniometriche elementari

 

\sin(x)=m\ \ \ ;\ \ \ \cos(x)=n\\ \\ \tan(x)=p\ \ \ ;\ \ \ \cot(x)=q\\ \\ \sec(x)=r\ \ \ ;\ \ \ \csc(x)=s

 

 

2) equazioni goniometriche per sostituzione, del tipo

 

\sin[f(x)]=m\ \ \ ;\ \ \ \cos[f(x)]=n\\ \\ \tan[f(x)]=p\ \ \ ;\ \ \ \cot[f(x)]=q\\ \\ \sec[f(x)]=r\ \ \ ;\ \ \ \csc[f(x)]=s

 

3) equazioni goniometriche per sostituzione, varie ed eventuali

 

4) equazioni goniometriche per confronto

 

\sin[f(x)]=\sin[g(x)]\ \ \ ;\ \ \ \cos[f(x)]=\cos[g(x)]\\ \\ \tan[f(x)]=\tan[g(x)]\ \ \ ;\ \ \ \cot[f(x)]=\cot[g(x)]\\ \\ \sec[f(x)]=\sec[g(x)]\ \ \ ;\ \ \ \csc[f(x)]=\csc[g(x)]

 

5) equazioni goniometriche riconducibili alle elementari mediante definizioni e formule trigonometriche

 

6) equazioni goniometriche lineari in seno e coseno

 

a \sin(x)+b \cos(x)=c

 

7) equazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno

 

a \sin^2(x)+b \sin{(x)}\cos{(x)}+c \cos^2{(x)}=d

 

Il tipo 1) sarà il protagonista di questa lezione. I tipi 2), 3), 4), 5) verranno affrontate nella seconda parte della lezione, il 6) nella lezione sulle equazioni lineari in seno e coseno e infine il 7) in quella sulle equazioni di secondo grado in seno e coseno.

 

Tre precisazioni preliminari. Per quanto l'elenco sia lungo, esso non contempla tutti i possibili casi perché come potete facilmente intuire le possibilità sono infinite. Ciononostante, sapendo risolvere le precedenti tipologie, potrete coprire il 95% degli esercizi assegnati alle superiori o nei corsi universitari. Ricordate sempre che lo studio delle equazioni non si prefigge lo scopo di fornire una classificazione assoluta e completa: non sarebbe solamente impossibile, ma anche inutile. L'obiettivo piuttosto prevede di imparare a gestire una serie di modelli e di sfruttare ulteriori competenze algebriche/geometriche/analitiche in modo da riuscire a gestire ogni possibile caso. :)

 

La seconda osservazione: alcune equazioni goniometriche non ammettono alcun metodo di risoluzione algebrica. Ne parleremo più avanti, tra le ultime lezioni della sezione.

 

La terza precisazione riguarda le condizioni di esistenza. A meno che non sia previsto espressamente dai casi analizzati, non ne faremo menzione. Poiché le vie del Signore sono infinite, spetta sempre allo studente il compito di analizzare la forma iniziale dell'equazione e di stabilire se sono richieste CE prima di procedere con i calcoli.

 

Equazioni goniometriche elementari

 

Studiamo la tecnica risolutiva per le equazioni goniometriche elementari, ossia per le equazioni del tipo

 

\sin(x)=m\ \ \ ;\ \ \ \cos(x)=n\\ \\ \tan(x)=p\ \ \ ;\ \ \ \cot(x)=q\\ \\ \sec(x)=r\ \ \ ;\ \ \ \csc(x)=s

 

Equazioni goniometriche elementari del tipo sin(x)=m

 

\sin(x)=m

 

Ricordando che il seno di un angolo rappresenta l'ordinata del punto della circonferenza goniometrica associato a tale angolo, risolvere l'equazione equivale a cercare i punti della circonferenza goniometrica con ordinata uguale a m e ricavare gli angoli che essi individuano.

 

Disegniamo quindi una circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1, individuiamo sull'asse y il valore m e tracciamo la retta di equazione y=m. I casi che si possono presentare sono i seguenti:

 

m<-1\ \vee\ m>1

 

L'equazione è impossibile, infatti la retta sarà esterna alla circonferenza. 

 

m=1

 

L'equazione è soddisfatta per x=\frac{\pi}{2}+2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}. Il numero intero k è essenziale perché serve a individuare tutte le possibili soluzioni tenendo conto della periodicità della funzione seno (2\pi).

 

m=-1

 

L'equazione è verificata per x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}.

 

m=0

 

L'equazione avrà come soluzioni x=0+2k\pi\ \vee \ x=\pi+2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}.

 

In forma più compatta, partendo da 0, il seno si annulla ogni \pi radianti; volendo possiamo esprimere le soluzioni nella forma x=k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}.

 

0<m<1

 

La retta di equazione y=m incontrerà la circonferenza in due punti distinti situati nel primo e nel secondo quadrante. Uniamo l'origine con tali punti.

 

 

Equazione goniometrica elementare col seno

 

 

Si verranno così a formare i due angoli che soddisfano l'equazione goniometrica. Non ci resta che determinarne l'ampiezza.

 

- Se m è un valore che compare nella tabella dei valori delle funzioni goniometriche, il gioco è fatto. Detto \alpha l'angolo del primo quadrante (in rosso) per cui risulta \sin(\alpha)=m, le soluzioni dell'equazione saranno:

 

x=\alpha+2k\pi \ \vee \ x=(\pi-\alpha)+2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

- Se m non è un valore noto poco male, ricorreremo alla funzione arcoseno e l'equazione sarà soddisfatta per:

 

x=\arcsin(m)+2k\pi \ \vee \ x=[\pi-\arcsin(m)]+2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

 

-1<m<0

 

Il ragionamento da seguire è sempre lo stesso; si traccia la retta di equazione y=m, che in questo caso incontrerà la circonferenza goniometrica in due punti nel terzo e quarto quadrante. Unendo tali punti con l'origine si verranno a formare i due angoli che soddisfano l'equazione, e per determinarne l'ampiezza ricorreremo alla tabella dei valori notevoli o alla funzione arcoseno.

 

Attenzione! Per esprimere correttamente le soluzioni dovremo considerare l'angolo \alpha del primo quadrante per cui \sin(\alpha)=|m|.

 

Dopo aver individuato tale angolo, le soluzioni saranno:

 

x=(\pi+\alpha)+2k\pi\ \vee \ x=(2\pi-\alpha)+2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

o eventualmente

 

x=[\pi+\arcsin(|m|)]+2k\pi\ \vee \ x=[2\pi-\arcsin(|m|)]+2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z} 

 

Esempi sulle equazioni goniometriche elementari del tipo sin(x)=m

 

1) Proponiamoci di risolvere l'equazione goniometrica elementare col seno:

 

\sin(x)=\frac{1}{2}

 

Disegniamo la circonferenza goniometrica, la retta di equazione y=\frac{1}{2} e individuiamo i due angoli che la verificano:

 

 

Seno di x uguale a 1/2

 

 

Ricordando che

 

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin(30^{\circ})=\frac{1}{2} 

 

le soluzioni dell'equazione saranno

 

x=\frac{\pi}{6}+2k \pi \ \vee \ x=\underbrace{\frac{5}{6}\pi}_{\pi-\frac{\pi}{6}} + 2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Se invece volessimo esprimere il tutto in gradi

 

x=30^{\circ}+k360^{\circ} \ \vee \ x=150^{\circ}+k360^{\circ}\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z} 

 

 

2) Risolviamo l'equazione goniometrica:

 

\sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

 

Dopo aver tracciato la circonferenza goniometrica e la retta di equazione y=-\frac{\sqrt{3}}{2}, i due angoli che si vengono a formare sono quelli riportati in figura:

 

 

Seno di x uguale meno radical tre mezzi

 

 

Ricordando che 

 

\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{{2}}

 

le soluzioni dell'equazione saranno:

 

x=\underbrace{\frac{4}{3}\pi}_{\pi+\frac{\pi}{3}}+2k \pi \ \vee \ x=\underbrace{\frac{5}{3}\pi}_{2\pi-\frac{\pi}{3}} + 2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche elementari del tipo cos(x)=n

 

\cos(x)=n

 

Se il metodo risolutivo per le equazioni goniometriche elementari con il seno è chiaro, non avrete problemi neanche con le equazioni goniometriche elementari con il coseno. Ricordando che il coseno di un angolo rappresenta l'ascissa del punto della circonferenza goniometrica associato a tale angolo, basterà ripetere lo stesso ragionamento prendendo in esame i punti di intersezione della circonferenza con la retta di equazione x=n.

 

Anche in questo caso disegniamo una circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 e, dopo aver individuato sull'asse x il valore n, tracciamo la retta di equazione x=n. Analizziamo i possibili casi.

 

n<-1\ \vee\ n>1

 

L'equazione \cos(x)=n non ha soluzioni.

 

n=1

 

L'equazione è soddisfatta per x=0+2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}.

 

n=-1

 

L'equazione è verificata per x=\pi+2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}.

 

n=0

 

L'equazione avrà come soluzioni x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee\ x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}.

 

In forma più compatta possiamo esprimere le soluzioni nella forma x=\frac{\pi}{2}+k\pi.

 

0<n<1

 

La retta di equazione x=n intersecherà la circonferenza in due punti distinti, situati nel primo e nel quarto quadrante. Uniamo l'origine con tali punti.

 

 

Equazione goniometrica elementare con il coseno

 

 

I due angoli evidenziati in figura sono quelli che soddisfano l'equazione goniometrica:

 

- se n è un valore presente nella tabella dei valori fondamentali delle funzioni goniometriche, detto \beta l'angolo del primo quadrante per cui \cos(\beta)=n, le soluzioni saranno:

 

x=\beta+2k \pi \ \vee \ x=(2\pi-\beta)+2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

- se m non è un valore noto ricorreremo all'arcocoseno, e l'equazione sarà soddisfatta per

 

x=\arccos(n)+2k \pi \ \vee \ x=[2\pi-\arccos(n)]+2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

 

-1<n<0

 

Al solito tracciamo la retta di equazione x=n, che in questo caso incontrerà la circonferenza goniometrica in due punti nel secondo e terzo quadrante. Per trovare i due angoli che soddisfano l'equazione uniremo i due punti con l'origine degli assi e, per determinarne l'ampiezza, ricorreremo alla tabella dei valori notevoli o eventualmente la esprimeremo mediante l'arcocoseno.

 

Cercheremo in particolare l'angolo \beta del primo quadrante per cui \cos(\beta)=|n|, cosicché le soluzioni saranno

 

x=(\pi-\beta)+2k \pi, \ \vee \ x=(\pi+\beta)+2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

o eventualmente

 

x=[\pi-\arccos(|n|)]+2k \pi, \ \vee \ x=[\pi+\arccos(|n|)]+2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Esempi sulle equazioni goniometriche elementari del tipo cos(x)=n

 

1) Le soluzioni dell'equazione goniometrica elementare con coseno

 

\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

 

sono

 

x=\frac{\pi}{4}+2k \pi \ \vee \ x=\underbrace{\frac{7}{4}\pi}_{2\pi-\frac{\pi}{4}} + 2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Per capirlo basta disegnare la circonferenza goniometrica e la retta di equazione x=\frac{\sqrt{2}}{2}, e individuare i due angoli che la verificano:

 

 

Coseno di x uguale a radical due mezzi

 

 

2) Risolviamo l'equazione goniometrica

 

\cos(x)=-\frac{1}{2}

 

Disegniamo la circonferenza goniometrica, la retta di equazione x=-\frac{1}{2} e i due angoli che si vengono a formare:

 

 

Coseno di x uguale a meno un mezzo

 

 

Ricordando che 

 

\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos(60^{\circ})=\underbrace{\frac{1}{{2}}}_{|n|}

 

Le soluzioni dell'equazione saranno:

 

x=\underbrace{\frac{2}{3}\pi}_{\pi-\frac{\pi}{3}}+2k \pi \ \vee \ x=\underbrace{\frac{4}{3}\pi}_{\pi+\frac{\pi}{3}} + 2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche elementari del tipo tan(x)=p

 

\tan(x)=p

 

Il metodo di risoluzione prevede, in questo caso, di fare riferimento alla definizione di tangente di un angolo.

 

In primo luogo ricordiamo che la tangente è definita come rapporto tra seno e coseno, dunque dobbiamo imporre le condizioni di esistenza. Il denominatore non può annullarsi:

 

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \ \longrightarrow \ x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

 

Disegniamo la circonferenza goniometrica e tracciamo la retta tangente alla circonferenza nel punto (1,0). Sulla retta tangente consideriamo il punto T(1,p) di ordinata p, e tracciamo la retta passante per l'origine degli assi e per il punto T.

 

 

Equazione goniometrica elementare con tangente

 

 

Si verranno così a formare i due angoli (in rosso ed in verde) che soddisfano l'equazione goniometrica.

 

Ricordando che la tangente è una funzione periodica di periodo \pi, una volta individuato l'angolo \alpha del primo quadrante per cui \tan(\alpha)=|p|, le soluzioni dell'equazione goniometrica elementare potranno essere di due tipi:

 

- \mbox{ se }p\geq 0\ \ \to\ \ x=\alpha + k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}\\ \\ -\mbox{ se }p<0\ \ \to\ \ x=(\pi-\alpha) + k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Ovviamente l'angolo \alpha andrà cercato tra i valori fondamentali delle funzioni goniometriche e, se |p| non dovesse comparire in tabella, ricorreremo all'arcotangente per ottenere poi le soluzioni:

 

-\mbox{ se }p\geq 0\ \ \to\ \ x=\arctan(p) + k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}\\ \\ -\mbox{ se }p<0\ \ \to\ \ x=[\pi-\arctan(|p|)] + k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Esempi sulle equazioni goniometriche elementari del tipo tan(x)=p

 

1) Trovare le soluzioni dell'equazione

 

\tan(x)=\sqrt{3}

 

Essendo p=\sqrt{3} un valore positivo, e ricordando che

 

\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tan(60^{\circ})=\frac{\sin(60^{\circ})}{\cos(60^{\circ})}=\sqrt{3}

 

ricaviamo le soluzioni

 

x=\frac{\pi}{3}+k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

 

2) Risolvere l'equazione trigonometrica con la tangente:

 

\tan(x)=-\frac{3}{2}

 

Dopo aver disegnato la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto (1,0), considereremo su tale retta il punto P di ordinata y=-\frac{3}{2}. Tracceremo quindi la retta che passa per l'origine e per tale punto, e otterremo l'angolo che soddisfa l'equazione:

 

 

Tangente di x uguale meno tre mezzi

 

 

Poiché il valore |p|=\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2} non corrisponde a nessuno dei valori notevoli della tangente, dobbiamo ricorrere all'arcotangente. Essendo p=-\frac{3}{2}<0 le soluzioni della nostra equazione saranno:

 

x=\pi-\arctan\left(\frac{3}{2}\right)+k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

che possiamo lasciare così o, usando la calcolatrice, esprimere come:

 

x=180^{\circ}-\underbrace{56,31^{\circ}}_{\simeq \arctan\left(\frac{3}{2}\right)}\simeq 123,69^{\circ}+k180^{\circ}

 

Equazioni goniometriche elementari del tipo cot(x)=q, sec(x)=r, csc(x)=s

 

\cot(x)=p\ \ ;\ \ \sec(x)=r\ \ ;\ \ \csc(x)=s

 

Per non dilungarci troppo non tratteremo nel dettaglio questi casi, anche perché ormai il metodo risolutivo dovrebbe essere chiaro. In particolare dovremo:

 

- imporre le condizioni di esistenza, in accordo con le definizioni:

 

\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\ \longrightarrow \ x\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ \sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}\ \longrightarrow \ x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}\ \longrightarrow \ x\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

 

- fare riferimento alle definizioni delle funzioni goniometriche coinvolte (cotangente, secante e cosecante) per individuare gli angoli base che soddisfano l'equazione, con la condizione 0\leq x\leq 2\pi;

 

- determinare tutte e sole le soluzioni estendendo le soluzioni base mediante la periodicità della specifica funzione goniometrica.

 

- confrontare le soluzioni con le CE.

 

Approfondimento: soluzioni di base e intervallo principale

 

Un ultimo, importante approfondimento prima di concludere. Avrete certamente notato che nella risoluzione delle equazioni goniometriche elementari si individuano tutte e sole le soluzioni partendo dalle cosiddette soluzioni base, che poi vengono estese per periodicità. In pratica le soluzioni base sono quelle che determiniamo con l'ausilio della circonferenza goniometrica.

 

Le soluzioni base vanno determinate in un intervallo di ampiezza 2\pi, con un estremo incluso e l'altro escluso, e fino a qui abbiamo implicitamente considerato

 

0\leq x<2\pi

 

Nulla però vieta di considerare un altro intervallo di riferimento. Ovviamente scelte astruse sarebbero controproducenti, ma ce n'è una particolarmente ricorrente che può rivelarsi comoda in determinate circostanze:

 

-\pi\leq x<\pi

 

La scelta dell'intervallo di riferimento è del tutto arbitraria, può essere effettuata di volta in volta e non è nemmeno necessario dichiararla nella risoluzione di ogni equazione. In linea di principio, quando si risolvono le equazioni goniometriche, è bene che in un medesimo svolgimento ci sia coerenza.

 

Se ad esempio decidessimo di risolvere l'equazione

 

\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

 

nell'intervallo di riferimento 0\leq x<2\pi avremo

 

x=\frac{\pi}{4}\ \ \ ;\ \ \ x=2\pi-\frac{\pi}{4}

 

mentre nell'intervallo di riferimento -\pi\leq x<\pi risulterà

 

x=\pm\frac{\pi}{4}

 

 


 

Qui abbiamo finito, vi aspettiamo nella lezione successiva! :) Nel frattempo vi consigliamo di allenarvi un po' in modo da digerire la logica risolutiva delle equazioni goniometriche elementari, e a tal proposito avete a disposizione le schede correlate di esercizi svolti e proposti, nonché un comodo tool che vi permetterà di risolvere le equazioni goniometriche online. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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