Equazioni goniometriche

Le equazioni goniometriche sono quelle equazioni in cui l'incognita x compare come argomento di una qualche funzione trigonometrica: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. Nella lezione che segue - suddivisa in due parti, mostreremo i principali metodi di risoluzione delle equazioni trigonometriche.

 

Se avete già sentito parlare di queste funzioni e volete fare un ripasso potete consultare le lezioni della categoria sulle funzioni elementari e sulle loro proprietà, nonché i formulari di Trigonometria: potrete ripassare tutto quello che volete. Wink

 

Alcuni esempi di equazioni trigonometriche sono

 

\cos(2x)=\frac{1}{2}, \ \sin^2(x)+2\sin(x)=0, \ \tan(x)-\sec(2x)=4

 

In questa lezione sveleremo la tecnica risolutiva per le equazioni goniometriche elementari, ovvero per le equazioni del tipo:

 

\sin(x)=m, \ \cos(x)=n, \ \tan(x)=p

 

e, nella seconda parte tratteremo il caso delle equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari. Iniziamo!

 

Quasi dimenticavo. La lezione è un po' lunghetta ma abbiate pazienza. Leggetela tutta e con molta attenzione. Vi assicuriamo che poi le equazioni goniometriche non avranno, per voi, più segreti. ;)

 

Come si risolvono le equazioni goniometriche elementari

 

Caso I) \sin(x)=m

 

Ricordando che il seno di angolo rappresenta l'ordinata dei punti della circonferenza goniometrica associati a tale angolo, risolvere l'equazione goniometrica \sin(x)=m equivale a cercare i punti della circonferenza goniometrica la cui ordinata è uguale ad m e ricavare gli angoli che essi individuano.

 

Disegniamo quindi una circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 ed individuato sull'asse y il punto m tracciamo la retta di equazione y=m. I casi che si possono presentare sono i seguenti:

 

\bullet \ \mbox{se} \ m \textgreater 1 \ \mbox{oppure} \ m \textless -1

 

L'equazione \sin(x)=m è impossibile, infatti le retta sarà esterna alla circonferenza. 

 

\bullet \ \mbox{Se} \ m = 1

 

avremo \sin(x)=1 soddisfatta per x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ m = -1

 

Si avrà \sin(x)=-1 verificata per x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ m = 0

 

L'equazione \sin(x)=0 avrà come soluzioni: x=0+2k\pi, \ \vee \ x=\pi + 2k \pi \ k \in \mathbb{Z}.

 

In parole povere, partendo da 0, il seno si annulla ogni pi greco radianti; volendo, quindi, possiamo unire le due soluzioni e scriverle come: x=k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ 0 \textless m \textless 1

 

La retta di equazione y=m incontrerà la circonferenza in due punti distinti situati nel primo e nel secondo quadrante. A questo punto uniamo l'origine con tali punti.

 

Equazione goniometrica elementare col seno

 

Si verranno così a formare i due angoli che soddisfano la nostra equazione. Non ci rimane altro da fare se non determinarne l'ampiezza.

 

Per farlo guardiamo dritta negli occhi la nostra equazione \sin(x)=m

 

- Se m è un valore che compare nella tabella dei valori delle funzioni goniometriche il gioco è fatto. Detto infatti \alpha l'angolo del primo quadrante (in rosso) per cui \sin(\alpha)=m le soluzioni della nostra equazione saranno (ricordano che la funzione seno è una funzione periodica di periodo 2\pi):

 

x=\alpha+2k \pi \ \vee \ x=(\pi-\alpha)+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

- Se m non è un valore noto poco male, ricorreremo alla funzione arcoseno e la nostra equazione sarà soddisfatta per:

 

x=\arcsin(m)+2k \pi \ \vee \ x=[\pi-\arcsin(m)]+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ -1 \textless m \textless 0

 

il ragionamento da seguire è sempre lo stesso; si traccia la retta di equazione y=m che in questo caso incontrerà la circonferenza goniometrica in due punti nel terzo e quarto quadrante.

 

Unendo tali punti con l'origine si verranno a formare i due angoli che soddisfano la nostra equazione e, per determinarne l'ampiezza ricorreremo, ancora una volta, alla tabella dei valori notevoli andando a cercare, attenzione, l'angolo \alpha del primo quadrante per cui \sin(\alpha)=|m|.

 

Trovato tale angolo le soluzioni saranno:

 

x=(\pi+\alpha)+2k \pi, \ \vee \ x=(2\pi-\alpha)+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

se stiamo lavorando nell'intervallo [0,2\pi], oppure:

 

x=-\alpha+2k \pi, \ \vee \ x=(\pi+\alpha)+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

se abbiamo scelto [0, \pi] come intervallo di lavoro ;)

 

 


 

 

Vediamo qualche esempio.

 

Proponiamoci di risolvere l'equazione goniometrica elementare col seno:

 

\sin(x)=\frac{1}{2}

 

Dopo aver disegnato una circonferenza goniometrica, la retta di equazione y=\frac{1}{2} ed individuato i due angoli che la verificano:

 

Seno di x uguale a 1/2

 

ricordando che:

 

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin(30^{\circ})=\frac{1}{2} 

 

le soluzioni della nostra equazione saranno:

 

x=\frac{\pi}{6}+2k \pi \ \vee \ x=\underbrace{\frac{5}{6}\pi}_{\pi-\frac{\pi}{6}} + 2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

oppure, volendo esprimere il tutto in gradi:

 

x=30^{\circ}+k360^{\circ} \ \vee \ x=150^{\circ}+k360^{\circ}, \ k \in \mathbb{Z}

 

Potrebbe interessarvi: come passare dai gradi ai radianti e viceversa.

 


 

Risolviamo ora l'equazione goniometrica:

 

\sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

 

Tracciata la circonferenza goniometrica e la retta di equazione y=-\frac{\sqrt{3}}{2} i due angoli che si vengono a formare sono quelli riportati in figura:

 

Seno di x uguale meno radical tre mezzi

 

ricordando poi che 

 

\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{{2}}

 

le soluzioni dell'equazione saranno:

 

x=\underbrace{\frac{4}{3}\pi}_{\pi+\frac{\pi}{3}}+2k \pi \ \vee \ x=\underbrace{\frac{5}{3}\pi}_{2\pi-\frac{\pi}{3}} + 2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 


 

Caso II) \cos(x)=n

 

Se il metodo risolutivo per le equazioni goniometriche elementari con il seno è chiaro, non avrete problemi neanche con le equazioni goniometriche elementari con il coseno. Ricordando che il coseno di un angolo rappresenta l'ascissa dei punti della circonferenza goniometrica associati a tale angolo, basterà ripetere lo stesso ragionamento prendendo in esame i punti di intersezione della circonferenza con la retta di equazione x=n 

 

Anche in questo caso, quindi, disegniamo una circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 ed individuato sull'asse x il punto n tracciamo la retta di equazione x=n. I possibili casi a cui andremo incontro sono i seguenti:

 

\bullet \ \mbox{se} \ n \textgreater 1 \ \mbox{oppure} \ n \textless -1

 

l'equazione \cos(x)=n non ha soluzioni.

 

\bullet \ \mbox{Se} \ n = 1

 

avremo \cos(x)=1 soddisfatta per x=0+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ n = -1

 

si avrà \cos(x)=-1 verificata per x=\pi+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

\bullet \ \mbox{Se} \ n = 0

 

l'equazione \cos(x)=0 avrà come soluzioni: x=\frac{\pi}{2}+k\pi

 

\bullet \ \mbox{Se} \ 0 \textless n \textless 1

 

La retta di equazione x=n intersecherà la circonferenza in due punti distinti situati nel primo e nel quarto quadrante. Uniamo l'origine con tali punti.

 

Equazione goniometrica elementare con il coseno

 

I due angoli evidenziati in figura sono quelli che soddisfano la nostra equazione. Per trovarne l'ampiezza basta considerare il numero n.

 

- Se è un valore presente nella tabella dei valori fondamentali delle funzioni goniometriche, detto \beta l'angolo del primo quadrante (in rosso) per cui \cos(\beta)=n le soluzioni della nostra equazione saranno (ricordandoci della periodicità della funzione coseno):

 

x=\beta+2k \pi \ \vee \ x=(2\pi-\beta)+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

se stiamo lavorando nell'intervallo [0,2\pi], altrimenti:

 

x=\pm \beta+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

se ci siamo proposti di lavorare in [-\pi, \pi]

 

- Se m non è un valore noto poco male, ricorreremo all'arcocoseno e la nostra equazione sarà soddisfatta per:

 

x=\arccos(n)+2k \pi \ \vee \ x=[2\pi-\arccos(n)]+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

oppure

 

x=\pm \arccos(n)+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

La scelta dell'uno o dell'altro modo di scrivere le soluzioni, come ormai avrete capito, dipenderà dall'intervallo in cui ci siamo proposti di agire ;)

 

\bullet \ \mbox{Se} \ -1 \textless n \textless 0

 

si traccia sempre la retta di equazione x=n che in questo caso incontrerà la circonferenza goniometrica in due punti nel secondo e terzo quadrante.

 

Per trovare i due angoli che soddisfano la nostra equazione, uniremo i punti trovati con l'origine degli assi e, per determinarne l'ampiezza ricorreremo alla tabella dei valori notevoli. Cercheremo, questa volta, l'angolo \beta del primo quadrante per cui \cos(\beta)=|n|.

 

Trovato tale angolo le soluzioni saranno:

 

x=(\pi-\beta)+2k \pi, \ \vee \ x=(\pi+\beta)+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Se |n| non compare nella nostra tabella, ricorreremo alla funzione inversa e scriveremo:

 

x=[\pi-\arccos(|n|)]+2k \pi, \ \vee \ x=[\pi+\arccos(|n|)]+2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 


 

 

Esempi

 

le soluzioni dell'equazione goniometrica elementare col coseno:

 

\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

 

sono:

 

x=\frac{\pi}{4}+2k \pi \ \vee \ x=\underbrace{\frac{7}{4}\pi}_{2\pi-\frac{\pi}{4}} + 2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Infatti basta disegnare una circonferenza goniometrica, la retta di equazione x=\frac{\sqrt{2}}{2}, individuare i due angoli che la verificano:

 

Coseno di x uguale a radical due mezzi

 


 

Risolviamo ora l'equazione goniometrica

 

\cos(x)=-\frac{1}{2}

 

Disegniamo la circonferenza goniometrica, la retta di equazione x=-\frac{1}{2} e i due angoli che si vengono a formare:

 

Coseno di x uguale a meno un mezzo

 

ricordando poi che 

 

\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos(60^{\circ})=\underbrace{\frac{1}{{2}}}_{|n|}

 

le soluzioni della nostra equazione saranno:

 

x=\underbrace{\frac{2}{3}\pi}_{\pi-\frac{\pi}{3}}+2k \pi \ \vee \ x=\underbrace{\frac{4}{3}\pi}_{\pi+\frac{\pi}{3}} + 2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 


 

Caso III) \tan(x)=p

 

Disegniamoci ormai la nostra famosa circonferenza goniometrica e tracciamo la retta tangente alla corconferenza nel punto (1,0). Su tale retta tangente prendiamo il punto T(1,p) di ordinata p e tracciamo la retta passante per l'origine degli assi e per il punto T.

 Equazione goniometrica elementare con tangente

 

Se vuoi saperne di più vedi: tangente di un angolo.

 

Si verranno così a formare i due angoli (in rosso ed in verde) che soddisfano la nostra equazione nell'intervallo [0, 2\pi].

 

A dirla tutta, ricordando che la tangente è una funzione periodica di periodo \pi, una volta individuato l'angolo \alpha del primo quadrante per cui \tan(\alpha)=|p| le soluzioni della nostra equazione goniometrica elementare con la tangente saranno:

 

\bullet \ x=\alpha + k \pi, \ k \in \mathbb{Z} \ \mbox{se} \ p \ge 0

 

\bullet \ x=(\pi-\alpha) + k \pi, \ k \in \mathbb{Z} \ \mbox{se} \ p \textless 0

 

Ovviamente l'angolo \alpha lo andremo a cercare tra i valori fondamentali delle funzioni goniometriche e, se |p| non dovesse comparire in tale tabella ricorreremo all'arcotangente per ottenere poi le soluzioni:

 

\bullet \ x=\arctan(p)+ k \pi, \ k \in \mathbb{Z} \ \mbox{se} \ p \textgreater 0

 

\bullet \ x=[\pi-\arctan(|p|)] + k \pi, \ k \in \mathbb{Z} \ \mbox{se} \ p \textless 0

 

Esempi:

 

- trovare le soluzioni dell'equazione \tan(x)=\sqrt{3}

 

Essendo p=\sqrt{3} un valore positivo e ricordando che:

 

\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tan(60^{\circ})=\frac{\sin(60^{\circ})}{\cos(60^{\circ})}=\sqrt{3}

 

la nostra equazione è soddisfatta per:

 

x=\frac{\pi}{3}+k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 


 

Risolvere l'equazione trigonometrica con la tangente: \tan(x)=-\frac{3}{2}

 

Disegnata la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto (1,0) e preso, su tale retta, il punto di ordinata -3/2, tracciando la retta che passa per l'origine e per tale punto otterremo l'angolo che soddisfa la nostra equazione:

 

Tangente di x uguale meno tre mezzi

 

A questo punto, poiché il valore |p|=\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2} non corrisponde a nessuno dei valori notevoli della tangente, dobbiamo ricorrere alla sua funzione inversa. 

 

Essendo p=-\frac{3}{2} \textless 0 le soluzioni della nostra equazione saranno:

 

x=\pi-\arctan\left(\frac{3}{2}\right)+k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

che possiamo lasciare così o, usando la calcolatrice, esprimere come:

 

x=180^{\circ}-\underbrace{56,31^{\circ}}_{\simeq \arctan\left(\frac{3}{2}\right)}\simeq 123,69^{\circ}+k180^{\circ}

 

L'articolo prosegue nella seconda parte della lezione dove vedremo come risolvere le equazioni goniometriche non elementari!

 

Nel frattempo, se qualcosa non fosse chiaro, aprite pure una discussione nel Forum e cercate le risposte che vi servono tra le migliaia di esercizi risolti e spiegati di YM! Wink

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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