Equazioni logaritmiche

In questa lezione ci occupiamo delle equazioni logaritmiche, ossia delle equazioni in cui l'incognita compare come argomento di uno o più logaritmi (naturali o con basi arbitrarie) e mostriamo i metodi di svolgimento e tutti i trucchetti che si possono usare per determinarne le soluzioni.

 

Importante! Per poter risolvere un'equazione logaritmica dovete sapere risolvere i tipi di disequazioni ed equazioni già studiati!

 

Come si risolvono le equazioni logaritmiche


Per portare a casa le soluzioni corrette di un'equazione logaritmica basta seguire i seguenti passi:

 

1) stabilire le condizioni di esistenza, altrimenti dette condizioni di accettabilità delle soluzioni;

 

2) applicare un opportuno metodo risolutivo (li elencheremo tutti tra poco);

 

3) verificare se le soluzioni ottenute sono accettabili. 

 

 

Seguiteli nell'ordine con cui sono elencati e non cadrete in errori grossolani. Entriamo ora nel vivo della questione...Wink

 

Condizioni di esistenza di un'equazione logaritmica

 

Ricordiamo che la funzione logaritmo indipendentemente dal valore della base (purché sia maggiore di zero e diversa da 1) è definita a patto che il suo argomento sia positivo e non nullo. Ragion per cui, prima di procedere con uno dei metodi risolutivi che tra poco vedremo, bisogna imporre che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita siano strettamente maggiori di zero.

 

Otterremo in questo modo una disequazione o un sistema di disequazioni che sarà nostra premura risolvere. Inoltre:

 

- se la disequazione o il sistema di disequazioni non ha soluzioni inutile, proseguire; la nostra disequazione logaritmica è impossibile.

 

- Se invece giungiamo a delle soluzioni (solitamente intervalli o unione di intervalli) le metteremo da parte ricordandoci di tenerle presenti alla fine.

 

Chiarito questo analizziamo ora i principali metodi risolutivi delle equazioni con i logaritmi.

 

Metodi di risoluzione delle equazioni logaritmiche

 

Dopo aver trovato le condizioni di accettabilità delle soluzioni della nostra equazione, smanettando (se necessario) con le proprietà dei logaritmi ricadremo in uno dei seguenti casi.

 

Equazioni logaritmiche elementari


Se dopo aver trovato le condizioni di esistenza e fatto tutti i conti del caso ricadiamo in una equazione della forma:

 

\log_a{[f(x)]}=\log_a{[g(x)]}, \ \mbox{con} \ a>0, \ a\neq 1

 

Per trovare le soluzioni, in virtù della biiettività della funzione logaritmo, basta uguagliare gli argomenti, ovvero:

 

\log_a{[f(x)]}=\log_a{[g(x)]} \iff f(x)=g(x)

 

A questo punto dovremo trovare le soluzioni dell'equazione f(x)=g(x) ricordandoci, alla fine, di verificare se le soluzioni ottenute rispettano o meno le condizioni di accettabilità trovate all'inizio.

 

Esempio di equazione logartimica elementare

 

2\log_{\frac{2}{3}}(x)+\log_{\frac{2}{3}}(3)=\log_{\frac{2}{3}}(5x-2)

 

Come più volte ribadito, la prima cosa da fare è trovare le condizioni di esistenza; avendo due logaritmi il cui argomento è in funzione di x, ricadremo nel seguente sistema di disequazioni:

 

\begin{cases}x>0 \\ 5x-2>0 \end{cases}

 

formato da due disequazioni di primo grado soddisfatte per

 

\begin{cases}x>0 \\ x>\frac{2}{5} \end{cases}

 

Non ci rimane altro da fare se non procedere col metodo risolutivo visto per i sistemi di disequazioni - click!

 

Segni per l'equazione logaritmica

 

Possiamo quindi concludere che l'intervallo di accettabilità delle soluzioni è \left(\frac{2}{5}, +\infty\right).

 

Fermiamoci un attimo. Cosa significano nella pratica le condizioni di esistenza delle soluzioni?

 

Molto semplicemente, una volta trovate le soluzioni, se esse saranno maggiori di 2/5 (ovvero se cadranno all'interno dell'intervallo trovato) saranno accettabili, altrimenti le scarteremo.

 

Torniamo ora all'equazione logaritmica iniziale. Applicando oppurtanamente le propietà dei logaritmi la possiamo riscrivere come un'equazione logartimica elementare, infatti

 

2\log_{\frac{2}{3}}(x)+\log_{\frac{2}{3}}(3)=\log_{\frac{2}{3}}(5x-2) \iff \log_{\frac{2}{3}}\left(3x^2\right)=\log(5x-2)

 

Possiamo uguagliare gli argomenti dei due logaritmi

 

3x^2=5x-2

 

ricadendo in una equazione di secondo grado

 

3x^2-5x+2=0

 

che ha come soluzioni

 

x=1, \  x=\frac{2}{3}

 

le quali, essendo entrambe maggiori di 2/5 sono accettabili e quindi, entrambe, soddisfano le nostra equazione.

 

Equazioni logaritmiche risolvibili con passaggio all'esponenziale

 

Una volta trovate le condizioni di accettabilità delle soluzioni (lo ripeteremo fino alla nausea Wink) e fatto i conticini del caso se ricadiamo in un'equazione della forma:

 

\log_{a}[f(x)]=b, \ \mbox{con} \ a>0, \ a \neq 1

 

troveremo le soluzioni passando all'esponenziale, ovvero utilizzando la definizione di logaritmo. Per farla breve:

 

\log_a[f(x)]=b \iff f(x)=a^b

 

Ancora una volta, arrivati a questo punto, ci basterà trovare le soluzioni di quest'ultima equazione per poi verificare l'accettabilità delle soluzioni.

 

Esempio di equazione logaritmica con passaggio all'esponenziale

 

\log_3(x+8)=2-\log_3(x)

 

Le condizioni di esistenza si trovano risolvendo il sistema:

 

\begin{cases}x+8 >0 \\ x>0 \end{cases}

 

che è soddisfatto per x>0, ovvero le soluzioni accettabili saranno tutte e sole quelle strettamente positive.

 

A questo punto torniamo alla nostra equazione e portiamo \log_{3}(x) a primo membro

 

\log_3(x+8)+\log_3(x)=2

 

che, per una delle proprietà dei logaritmi (somma di due logaritmi con la stessa base è un logaritmo che ha per base la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti) può essere riscritta come

 

\log_3(x^2+8x)=2

 

Ci siamo ricondotti alla forma che cercavamo, per cui:

 

\log_3(x^2+8x)=2 \iff x^2+8x=3^2, \ \mbox{ovvero} \ x^2+8x-9=0

 

Tale equazione ha come soluzioni:

 

x=1 accettabile in quanto maggiore di zero e

 

x=-9 che non è accettabile.

 

Equazioni logaritmiche per sostituzione

 

Capire quando applicare il metodo di sostituzione è relativamente semplice. Il campanello d'allarme sarà dato la presenza di più logaritmi con lo stesso argomento, alcuni dei quali saranno elevati a potenza. Vediamo subito un esempio.

 

Esempio di funzione logaritmica risolvibile con sostituzione

 

2\log^3_2(x+1)-\log^2_2(x+1)-5\log_2(x+1)-2=0

 

Abbiamo tre logaritmi che sono definiti a patto il loro argomento sia strettamente maggiore di zero. Le condizioni di accettabilità delle soluzioni si trovano quindi ponendo

 

x+1>0 \ \mbox{da cui} \ x>-1 

 

A questo punto punto procediamo introducendo una variabile ausialiaria, ovvero poniamo

 

\log_2(x+1)=y

 

Andiamo ora a sostituire \log_2(x+1) \ \mbox{con} \ y così da avere

 

2y^3-y^2-5y-2=0

 

Ci siamo cioè ricondotti ad un'equazione scomponibile di grado superiore a due che ammette le tre soluzioni:

 

y_1=-1, \ y_2=-\frac{1}{2}, \ y_3=2

 

Non abbiamo finito! Ricordandoci dell'imposizione fatta \left[\log_2(x+1)=y\right] ricadiamo in tre equazioni logaritmiche risolvibili con passaggio all'esponenziale:

 

\bullet \ \log_2(x+1)=-1

 

\bullet \ \log_2(x+1)=-\frac{1}{2}

 

\bullet \ \log_2(x+1)=2

 

Da cui le tre soluzioni tutte accettabili:

 

x=-\frac{1}{2}, \ x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1, \ x=3

 

Equazioni logaritmiche con metodo grafico

 

Se dopo aver trovato le condizioni di accettabilità delle soluzioni e fatto i dovuti conti ricadiamo in un'equazione della forma:

 

\log_a[f(x)]=g(x), \ \mbox{con} \ a>0, \ a\neq 1 

 

ovvero in un'equazione in cui l'incognita non compare solo come argomento del logaritmo, l'unico modo di procedere è il metodo grafico.

 

Siamo infatti di fronte a quelle che in Matematica prendono il nome di equazioni trascendenti e l'unica strada percorribile è la seguente:

 

- scriviamo l'equazione come un sistema

 

\begin{cases}y=\log_a[f(x)] \\ y=g(x) \end{cases}

 

- tracciamo il grafico delle due curve y=\log_a[f(x)] \ \mbox{e} \ y=g(x). Niente paura! Nella maggior parte dei casi saremo di fronte a due funzioni elementari e, nella peggiore delle ipotesi potremo ricorrere al metodo del grafico intuitivo.

 

- le soluzioni della nostra equazione saranno gli eventuali punti di intersezione tra i due grafici. Se non si intersecano la nostra equazione sarà impossibile.

 

Esempio di equazione trascendente con logaritmo

 

x^2-6x+\log_{\frac{1}{e}}(x)+8=0

 

Dopo aver posto x>0 (condizione di accettabilità delle soluzioni) riscriviamola nel modo seguente:

 

\log_{\frac{1}{e}}(x)=-x^2+6x-8

 

ed impostiamo il sistema

 

\begin{cases}y=\log_{\frac{1}{e}}(x) \\ y=-x^2+6x-8 \end{cases}

 

Tracciamo il grafico delle due funzioni così ottenute.

 

y=\log_{\frac{1}{e}}(x)

 

è una funzione logaritmica con base tra 0 e 1 - click! - mentre

 

y=-x^2+6x-8

 

rappresenta una parabola con asse parallelo all'asse y, concavità rivolta verso il basso e vertice nel punto (3,1)

 

equazione logaritmica con metodo grafico

 

Dal grafico si vede immediatamente che la nostra equazione ha due soluzioni:

 

\alpha=x_A \ \mbox{e} \ \beta=x_B

 

la prima delle quali è compresa tra 1 e 2, la seconda tra 4 e 5, ovvero:

 

1< \alpha < 2 \ \mbox{e} \ 4 < \beta < 5

 

Come avrete potuto notare questo metodo non ci fornisce un valore esatto delle soluzioni ma con esso riusciamo solo ad estrapolare l'intervallo in cui vivono le (eventuali) soluzioni e sarà così per ogni equazione trascendente con cui avrete a che fare.

 

Se vogliamo fornire una stima un po' più precisa delle soluzioni possiamo ricorrere ad un metodo di approssimazione numerica: il metodo di bisezione o il metodo di Newton.

 


 

Per il momento è tutto! Se qualcosa non fosse chiaro puoi cercare la risposta ai tuoi dubbi utilizzando la barra di ricerca. Inoltre, a fine pagina, trovi un mucchio di esercizi con cui fare pratica. Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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