Equazioni esponenziali

Le equazioni esponenziali sono le equazioni in cui compaiono funzioni esponenziali ed in cui l'incognita x compare all'esponente. Per risolverle bisogna sapere cosa significa elevare a potenza un numero e conoscere le proprietà delle potenze. Alcune equazioni esponenziali si risolveranno tramite l'applicazione dei logaritmi, dunque è bene ripassare anche la sua definizione e le proprietà dei logaritmi.

 

Ora che abbiamo a portata di mano tutto ciò di cui avremo bisogno possiamo procedere. Vediamo come si risolvono le equazioni esponenziali distinguendo 5 possibili casi.

 

Metodi di risoluzione delle equazioni esponenziali

 

Equazioni esponenziali elementari

 

Vale a dire la tipologia di equazioni esponenziali della forma

 

a^{f(x)}=b

 

con a numero reale positivo diverso da 0 e da 1 ed f(x) funzione polinomiale nella variabile x; termine complicato per dire che f(x) può essere un qualsiasi polinomioWink

 

Ricordando che la funzione esponenziale è strettamente positiva, l'equazione esponenziale a^{f(x)}=b sarà:

 

- impossibile se b \leq 0

 

- determinata se b \textgreater 0.

 

In quest'ultimo caso sarà possibile trovare le soluzioni scrivendo b come potenza di a, ovvero riconducendoci alla forma:

 

a^{f(x)}=\underbrace{a^k}_b

 

e, a questo punto, uguagliare gli esponenti: Per intenderci, i passaggi da seguire sono i seguenti:

 

a^{f(x)}=b \ \iff \ a^{f(x)}=a^k \ \iff \ f(x)=k

 

E se non si riesce a scrivere b come potenza di a? Niente paura! Basta procedere come indicato nel caso IV) 

 

Esempi

 

\bullet \ 3^x=81

 

Siamo di fronte ad un'equazione esponenziale della forma a^{f(x)}=b, \ \mbox{con} \ a=3, \ f(x)=x, \ b=81.

 

Poiché 81=3^4, avremo

 

3^x=3^4

 

da cui x=4.

 

 


 

 

\bullet \ 2^{x^2-5x}-64=0

 

Dopo aver scritto il 64 \ \mbox{come} \ 2^6 ed averlo portato a secondo membro, avremo:

 

x^2-5x=6 \ \to \ x^2-5x-6=0

 

che è un'equazione di secondo grado soddisfatta per x_1=-1, \ x_2=6 che saranno le soluzioni della nostra equazioni esponenziale di partenza :)

 

 


 

 

\bullet \ 10^{x^3+3x}+100=0

 

Senza fare alcun conto, semplicemente guardandola, possiamo concludere che questa equazione è impossibile! Portando infatti 100 a secondo membro avremo:

 

10^{x^3+3x}=-100

 

che non ha soluzioni essendo b=-100 minore di zero.

 

Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

 

Una volta che ci siamo ricondotti alla forma canonica:

 

a^{f(x)}=b

 

se non si riesce a scrivere b come potenza di a, l'unico modo per uscirne fuori è ricorrere al logaritmo. Ricordando che:

 

a^{f(x)}=b \ \iff \ f(x)=\log_{a}(b)

 

Risolveremo l'equazione esponenziale in un battibaleno. ;)

 

Esempio

 

\bullet \ 5^{2x^2}=3

 

L'equazione è già nella forma canonica, ma scrivere 3 come potenza di 5 non è proprio immediato; applicando la regola appena vista avremo:

 

\2x^2=\log_{5}{(3)}

 

Da cui:

 

x^2=\frac{\log_{5}{(3)}}{2}

 

Il logaritmo a destra dell'uguale non è calcolabile a mano, ma è comunque un numero positivo in quanto ha base ed argomento maggiore di 1; lo lasciamo quindi indicato, proprio come se al suo posto ci fosse un qualsiasi numero, e risolviamo l'equazione pura:

 

x^2=\frac{\log_{5}{(3)}}{2}

 

Estraendo la radice quadrata avremo le due soluzioni:

 

x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{\log_{5}{(3)}}{2}}

 

Equazioni esponenziali con termine noto esponenziale e con incognita

 

In soldoni le equazioni esponenziali che si presentano come

 

a^{f(x)}=b^{g(x)}

 

È un caso molto simile al precedente. Dobbiamo infatti cercare di scrivere b come potenza di a per poi uguagliare gli esponenti.

 

Attenzione però! Non è detto che f(x) \ \mbox{e} \ g(x) siano funzioni polinomiali, quindi è necessario trovare il dominio delle due funzioni. In parole povere, le condizioni di esistenza...

 

Esempio

 

\bullet \ 2^{\frac{x+1}{x-1}}=4^{\frac{3}{x}} \cdot \sqrt{4^{\frac{x+3}{x}}}

 

Per le proprietà delle potenze:

 

4=2^2 \ \to \ 4^{\frac{x}{3}}=\left(2^2\right)^{\frac{3}{x}}=2^{2 \cdot \frac{3}{x}}=2^{\frac{6}{x}}

 

\sqrt{4^{\frac{x+3}{x}}}=\sqrt{2^{2 \cdot \frac{x+3}{x}}}=2^{2 \cdot \frac{x+3}{x} \cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{x+3}{x}}

 

Quindi:

 

4^{\frac{3}{x}} \cdot \sqrt{4^{\frac{x+3}{x}}}=2^{\frac{6}{x}} \cdot 2^{\frac{x+3}{x}}=2^{\frac{6}{x}+\frac{x+3}{x}}=2^{\frac{x+9}{x}}

 

La nostra equazione esponenziale la possiamo allora scrivere come:

 

2^{\frac{x+1}{x-1}}=2^{\frac{x+9}{x}}

 

da cui, uguagliando gli esponenti:

 

\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+9}{x}

 

Ci siamo così ricondotti ad un'equazione fratta di primo grado definita per x \in \mathbb{R}-\{0,1\}.

 

Dopo aver portato tutto a primo membro, calcolato il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore, e fatto qualche conticino:

 

\frac{-7x+9}{x(x-1)}=0

 

da cui

 

x=\frac{9}{7}

 

che è l'unica soluzione della nostra equazione esponenziale.

 

Equazioni esponenziali per sostituzione

 

Se vi trovate davanti ad un'equazione esponenziale dall'aspetto complicato e in cui compaiono somme e differenze tra più esponenziali, vale la pena di tentare di applicare il metodo di sostituzione, che consiste nel porre il termine esponenziale che si ripete uguale ad una nuova variabile. Col seguente esempio sarà tutto più chiaro ;)

 

Esempio

 

\bullet \ -2^{x-1}+4^{x-\frac{1}{2}}-6=0

 

Applichiamo le proprietà delle potenze, grazie alle quali possiamo scrivere:

 

-2^{x-1}=-(2^{x}:2)=-\frac{2^x}{2}

 

4^{x-\frac{1}{2}}=4^x : 4^{\frac{1}{2}} = 2^{2x} : 2^{2 \cdot \frac{1}{2}}=\frac{2^{2x}}{2}

 

La nostra equazione esponenziale di partenza la possiamo quindi riscrivere come:

 

-\frac{2^x}{2}+\frac{2^{2x}}{2}-6=0

 

E, a questo punto, procedere con la sostituzione ponendo {\color{red}2^x=y}, da cui:

 

-\frac{y}{2}+\frac{y^2}{2}-6=0 \ \to \ y^2-y-12=0

 

Grazie alla sostituzione abbiamo ridotto l'equazione esponenziale ad un'equazione di secondo grado, che ha come soluzioni:

 

y_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1 \pm 7}{2}

 

y_1=-3, \ y_2=4

 

Ricordandoci della sostituzione effettuata, \left({\color{red}2^x=y}\right), avremo:

 

2^x=-3 che è un'equazione impossibile, e

 

2^x=4 \ \to \ 2^x=2^2 \ \to \ x=2 che sarà la soluzione cercata.

 

Equazioni esponenziali con il metodo grafico

 

Se abbiamo tra le mani un'equazione del tipo:

 

a^{f(x)}=g(x)

 

ovvero un'equazione in cui l'incognita non compare solo all'esponente, non abbiamo molta scelta. L'unico metodo per farci un'idea delle soluzioni è il metodo grafico.

 

Scriveremo la nostra equazione come un sistema:

 

\begin{cases}y=a^{f(x)} \\ y=g(x) \end{cases}

 

e tracceremo il grafico delle due curve y=a^{f(x)} \ \mbox{e} \ y=g(x) magari ricorrendo al metodo del grafico intuitivo.

 

Gli eventuali punti di intersezione saranno le soluzioni delle nostra equazione di partenza. Se non hanno punti di intersezione l'equazione sarà impossibile.

 

Esempio

 

\bullet \ -x^2+2-\left(\frac{1}{2}\right)^x=0

 

Riscrivendola nel modo seguente:

 

\left(\frac{1}{2} \right)^x = -x^2+2

 

ci siamo ricondotti al caso appena visto, con:

 

a^{f(x)}=\left( \frac{1}{2}\right)^x \ \mbox{e} \ g(x)=-x^2+2

 

Impostiamo allora il sistema:

 

\begin{cases}y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \\ y=-x^2+2\end{cases}

 

e tracciamo il grafico delle due funzioni.

 

y=\left(\frac{1}{2}\right)^x

 

è una funzione esponenziale con base tra 0 e 1 (click!)

 

y=-x^2+2

 

è una parabola con asse parallelo all'asse y, concavità rivolta verso il basso e vertice V(0,2)

 

 

Metodo grafico equazioni esponenziali

 

 

Dal grafico possiamo vedere che ci sono due punti di intersezione A \ \mbox{e} \ B. Di conseguenza l'equazione considerata avrà due soluzioni. Una (diciamola \alpha=x_A) compresa tra -1 e 0 e l'altra (\beta=x_B) nell'intervallo (1,2).

 

Vi salutiamo dicendo che l'ultimo tipo di equazioni che abbiamo visto ha in realtà un nome; esso rientra nella più ampia famiglia di equazioni trascendenti.

 

A tal proposito è bene sapere che difficilmente riusciremo a determinare i valori esatti delle soluzioni di un'equazione trascendente, ammesso che esistano, e che il più delle volte potremo solo dare una stima delle soluzioni. Da qui l'esigenza di usare un metodo di approssimazione numerica, ad esempio metodo di bisezione o al metodo di Newton.

 

 


 

 

Se qualcosa non fosse chiara non esitare a contattarci. Nel frattempo, ricorda che puoi trovare la soluzione che cerchi con la barra di ricerca e cliccando sui link in basso potrai raggiungere decine di esercizi. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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