Disequazioni trascendenti

Avete presente quelle disequazioni che "non possono essere risolte in alcun modo"? Quelle disequazioni per le quali non c'è verso, e l'applicazione di un qualsiasi metodo algebrico di risoluzione non porta da nessuna parte? Parliamo delle disequazioni trascendenti, e proponiamo un metodo che permette di descriverne approssimativamente l'insieme delle soluzioni...

 

...prima obiezione: ma se possiamo dare solamente un'approssimazione delle soluzioni, checcefrega del metodo che stiamo per vedere? Molto semplicemente: le disequazioni trascendenti si presentano solamente in alcuni contesti, e nella pratica ci verrà richiesto di "risolverle" solo in situazioni in cui un'approssimazione delle soluzioni basta e avanza. Un esempio? Nello studio del segno o del segno della derivata prima di una funzione, nel contesto dello studio di funzione, tanto per cominciare. Wink

 

 

Forse non hai ben presente quali siano le disequazioni di cui stiamo parlando, e qualche esempio potrebbe schiarirti immediatamente le idee:

 

\log{(x)}>x

 

e^{x}\leq \frac{x^2+1}{2}

 

\sin{x}>|x-1|+x^2

 

Non prenderti la briga di cercare di risolverle con uno dei metodi tradizionali...non si può! Wink

 

Come risolvere le disequazioni trascendenti

 

Il titoletto appena scritto è in realtà pubblicità ingannevole: ripetiamo che più che di "risolvere" si tratta di dare una stima delle soluzioni per una qualsiasi disequazione trascendente, e per farlo faremo ricorso al metodo grafico.

 

Nota: l'applicazione del metodo che segue è attuabile solamente dagli studenti che sanno cos'è il grafico di una funzione e che sanno rappresentare il grafico di una funzione qualsiasi, in parole povere dal quinto anno di Liceo in poi. Tutti gli altri stiano tranquilli, e continuino la lettura per pura curiosità.

 

Nel frattempo, quando cercherete di applicare il metodo grafico per risolvere una disequazione trascendente qualsiasi, sappiate che il nostro tool per disegnare il grafico di funzioni online vi sarà utile come il pane...Laughing

 

L'idea di base del procedimento risolutivo consiste nel dare una particolare interpretazione alla disequazione trascendente che ci si para davanti. Lo spunto consiste nel leggerla nella seguente forma

 

f(x)>g(x)

 

dove nel simbolo di disequazione > può essere inclusa l'uguaglianza: f(x)\geq g(x). Tutto dipende da come si presenta la nostra disequazione al principio.

 

Diamo alla disequazione trascendente una lettura analitica: si interpreta il membro di sinistra come ordinata y, in particolare come immagine dell'ascissa x mediante la funzione y=f(x). Si fa lo stesso con il membro di destra, che sarà l'ordinata y=g(x) che corrisponde ad una generica ascissa x mediante la funzione g.

 

In questi termini la disequazione trascendente si traduce in un confronto tra ordinate a parità d'ascissa: le soluzioni della disequazione si hanno in corrispondenza dei punti per i quali la generica ordinata y=f(x) è maggiore (o maggiore-uguale) della generica ordinata y=g(x), a parità di ascissa x.

In altri termini: le soluzioni sono tutte e sole le ascisse x per le quali il grafico della funzione y=f(x) si trova al di sopra del grafico di y=g(x). Fine! Laughing

 

 

E quindi? Come facciamo a risolvere una disequazione trascendente?

 

 

1) Interpretiamo la disequazione trascendente come

 

f(x)>g(x)\mbox{ oppure }f(x)\geq g(x)

 

a seconda dei casi.

 

 

2) Disegnamo il grafico di y=f(x) e quello di y=g(x).

 

Abbiamo due possibilità: se le funzioni coinvolte hanno espressioni semplici, possiamo ricorrere al metodo del grafico intuitivo; se invece le espressioni non sono immediate dovremo effettuare due rapidissimi studi di funzione. Per accelerare il processo potremo omettere, in particolare, lo studio della derivata seconda.

 

 

2.Bis) Attenzione! In generale avremo diverse possibilità di scelta, e potremo rimaneggiare la disequazione data inizialmente per ricondurci ad una delle due forme

 

f(x)>g(x)\mbox{ oppure }f(x)\geq g(x)

 

In ogni caso è cosa buona e giusta ottenere come y=f(x) e y=g(x) le funzioni più semplici possibili da gestire. Se ad esempio ci venisse assegnata una disequazione del tipo

 

\frac{x+1}{e^x}>3

 

sarebbe ben più conveniente passare a risolvere

 

x+1>3e^x

 

dove il passaggio è lecito perché e^x>0 per ogni x reale, quindi possiamo moltiplicare in tutta serenità entrambi i membri per e^x.

 

Anche qui: attenzione! Se passiamo ad una disequazione algebricamente equivalente, dobbiamo tenere conto delle condizioni di esistenza delle soluzioni della disequazione iniziale. Supponiamo di effettuare delle operazioni algebriche che trasformino la disequazione in una disequazione algebricamente equivalente

 

\mbox{disequazione originaria}\ \to\ \mbox{disequazione modificata}

 

In generale è meglio evitare riscritture per cui la \mbox{disequazione modificata} ha condizioni di esistenza più restrittive rispetto alla \mbox{disequazione originaria}.

 

È molto meglio passare ad una \mbox{disequazione modificata} con condizioni di esistenza meno restrittive o comunque equivalenti rispetto alla \mbox{disequazione originaria}. In casi del genere, dopo aver trovato le soluzioni della \mbox{disequazione modificata}, applicheremo le condizioni di esistenza della \mbox{disequazione originaria} e avremo finito. Non è chiaro? Dai un'occhiata all'esempio che segue il punto 3).

 

 

3) Guardiamo i due grafici: l'insieme delle soluzioni è l'unione degli intervalli di ascisse x in cui il grafico di y=f(x) si trova al di sopra del grafico di y=g(x).

 

 

Esempio: vogliamo risolvere la disequazione trascendente

 

\log(x)<x

 

che impone come condizioni di esistenza delle soluzioni x>0. Se decidiamo di passare alla disequazione algebricamente equivalente

 

x<e^x

 

Procediamo con il metodo grafico e troviamo

 

Disequazione trascendente con metodo grafico

 

Dato che il grafico della funzione esponenziale y=e^x si trova al di sopra del grafico della retta y=x per ogni x reale, possiamo concludere che le soluzioni della disequazione sono \forall x\in\mathbb{R} ? No, perché dobbiamo tenere conto delle condizioni di esistenza della disequazione originaria, e dunque tutte e sole le soluzioni di

 

\log(x)<x

 

sono date da x>0.

 

Il problema dei punti di intersezione nelle disequazioni trascendenti

 

Ok, vi abbiamo quasi convinto...resta però un importante aspetto da chiarire. È evidente che nel punto 3), nel momento in cui si devono individuare gli intervalli delle soluzioni, dovremo prendere come punti di riferimento i punti di intersezione tra i due grafici e in particolare le loro ascisse.

 

In generale non saremo nella condizione di esprimere i valori esatti di tali ascisse, salvo casi particolarissimi, in cui saranno riconoscibili ad occhio. D'altra parte dovremo pur indicare gli intervalli delle soluzioni in qualche modo, e a tal fine abbiamo due possibili metodi di risoluzione

 

 

4.A) Dare una stima molto approssimativa delle ascisse dei punti di intersezione, valutandole ad occhio. Per non rinunciare al rigore matematico dovremo indicare ciascuna ascissa con una lettera - come ad esempio x_{int}=\alpha - e indicare a parte un valore approssimativo di \alpha. Potremo ad esempio scrivere

 

Soluzioni: x<\alpha\ \vel\ x>\beta

 

con \alpha\simeq -1,3\ ;\ \beta\simeq 3,8

 

 

4.B) Nel caso in cui 4.A) non ci bastasse, dato che siamo molto pignoli, potremmo determinare una approssimazione rigorosa delle ascisse dei punti di intersezione applicando un metodo di approssimazione numerica delle soluzioni dell'equazione

 

f(x)=g(x)

 

e ricorrere, ad esempio, ad un metodo iterativo come il metodo di bisezione o il metodo delle tangenti nella risoluzione dell'equazione equivalente

 

f(x)-g(x)=0

 

tuttavia anche in questo caso dovremo fornire una rappresentazione delle ascisse di intersezione come quella descritta in 4.A). Questo perché, per l'appunto, la risoluzione numerica prodice un'approssimazione e non una rappresentazione esatta.

 

 


 

Se vuoi vedere qualche esempio, sappi che abbiamo tonnellate e tonnelate di esercizi risolti e spiegati fino all'ultimo passaggio, dunque puoi trovare tutto quello che ti serve mediante la barra di ricerca...e se, malauguratamente, il tuo dubbio non dovesse trovare soluzione su YM - nessun problema! - apri una discussione nel Forum! Wink

 

 

Namasté, see you soon guys!

Agente Ω

 

 

Lezione precedente...........Esercizi correlati...........Lezione successiva


Tags: cos'è una disequazione trascendente - come si risolvono le disequazioni trascendenti.