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Rappresentare le soluzioni di una disequazione nel piano

In molti esercizi di Analisi Matematica, che siano del Liceo o dell'Università, è utile e a volte indispensabile rappresentare graficamente le soluzioni di disequazioni di due o più variabili, di qualsiasi grado esse siano. In parole povere, è importante saper disegnare nel piano cartesiano le soluzioni di una disequazione o di un sistema di disequazioni. In questa lezione vedremo come fare. Laughing

 

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Come disegnare le soluzioni di una disequazione nel piano cartesiano

 

Ad ogni disequazione è associata una corrispondente equazione, le cui soluzioni graficamente potrebbero costituire una retta, una conica (circonferenza, parabole, ellisse, iperbole) o più in generale una funzione elementare (seno, coseno, valore assoluto..) delle quali si deve necessariamente conoscere vita, morte e miracoli, disegno compreso. Ovviamente dipende dal vostro corso di studi e dal punto della carriera studentesca in cui vi trovate...Tongue

 

Per quale motivo "si deve"? Perché data una qualsiasi disequazione in una o due variabili, per rappresentarla graficamente, dovremo disegnare nel piano il grafico delle soluzioni dell'equazione ad essa associata, che dividerà il piano in due o più parti.

 

Poi, in base al verso della disequazione (\ \textgreater, \ \textless, \ \geq, \ \leq\ ), dovremo capire "quale parte del piano prendere" ed è quello che faremo proprio ora, analizzando i vari casi che si possono presentare. Laughing

 

Primo caso (disequazione in cui almeno una delle due variabili non presenta termini di secondo grado).

 

Si procede in questo modo:

 

- Si scrive e si rappresenta nel piano il grafico dell'equazione ad essa associata (che sarà una curva che dividerà il piano in due parti)

 

- Si esplicita la variabile che non presenta termini di secondo grado ottenendo una cosa del tipo:

 

(1a) x \ \textgreater \ f(y) : in tal caso prenderemo la parte del piano a destra della curva

 

(1b) x \ \textless \ f(y) : in tal caso prenderemo la parte del piano a sinistra della curva

 

(1c) y \ \textgreater \ f(x) : in tal caso prenderemo la parte del piano al di sopra della curva

 

(1d) y \ \textless \ f(x) : in tal caso prenderemo la parte del piano al di sotto della curva


NOTA BENE: se nei quattro casi visti invece del \textgreater o del \textless c'è il \geq o il \leq non cambia qualsi nulla! Molto semplicemente, se nella disequazione è presente:

 

- il \geq o il \leq, allora prenderemo (considereremo) anche la stessa curva (che si rappresenterà con una linea continua);

 

- il \textgreater o il \textless allora si escluderà la curva (che si rappresenterà con una linea trattegiata)

 

Esempi

 

(A) Rappresentare graficamente l'insieme delle soluzioni della disequazione: x-\frac{1}{2}y-1 \textless 0.

 

Scriviamo l'equazione associata: x-\frac{1}{2}y-1 = 0 (che ovviamente è una retta) e rappresentiamola nel piano (disegnamola) con una linea tratteggiata visto che abbiamo una disuguaglianza stretta. Fatto ciò scriviamola in forma esplicita rispetto ad una delle due variabili di primo grado, ad esempio rispetto ad x ottenendo: x \textless \overbrace{\frac{1}{2}y+1}^{=f(y)}.

 

Siamo nel caso (1b), dunque prenderemo la parte a sinistra rispetto alla retta.

 

Soluzioni di una disequazione con una retta

 

(B) Disegnamo l'insieme delle soluzioni della disequazione: x \textgreater y^2 - 2y +1.

 

Partiamo dall'equazione associata: x = y^2-2y+1. Essa individua una parabola, che rapprentiamo nel piano con una linea tratteggiata, dato che abbiamo una disuguaglianza stretta. La disequazione è già scritta in forma esplicita rispetto ad x, variabile che non presenta termini di secondo grado

 

x \textgreater \overbrace{y^2+2y+1}^{=f(y)}

 

Ci troviamo nel caso (1a), motivo per il quale prenderemo la parte a sinistra rispetto alla parabola.

 

Soluzioni di una disequazione con una parabola

 

Secondo caso: (curve chiuse, ad esempio circonferenza ed ellisse)

 

Si procede in questo modo: si scrive e si rappresenta nel piano il luogo delle soluzioni dell'equazione ad essa associata. Esso sarà una curva che dividerà il piano in due parti. Successivamente portiamo tutto a primo membro e pensiamo:

 

- "Al \textgreater come a qualcosa di esterno alla curva";

 

- "Al \textless come a qualcosa di interno alla curva".

 

Attenzione: prima di trarre le dovute conclusioni, assicuratevi che i termini di secondo grado abbiano segno positivo!

 

Esempio

 

(C) Rappresentare graficamente le soluzioni della disequazione: x^2+y^2-2x+4y+1 \geq 0

 

Consideriamo l'equazione associata: x^2+y^2-2x+4y+1 = 0. È facile vedere che essa individua una circonferenza di centro C(1,-2) e raggio r=2, dunque la rappresentiamo con una linea continua, dato che nel simbolo di disequazione è incluso il simbolo di uguaglianza. Inoltre, dato che è presente un simbolo di maggiore, considereremo la parte esterna alla circonferenza.

 

Soluzioni di una disequazione con una circonferenza

 

Terzo caso: disequazioni con iperbole

 

Come al solito consideriamo l'equazione associata, che nel caso in esame avrà come luogo delle soluzioni un'iperbole, che disegnamo nel piano. Chiameremo la parte compresa tra i due rami dell'iperbole parte interna, mentre le due parti restanti le chiameremo parte esterna.

 

Portiamo tutto a primo membro nella disequazione, ad eccezione del termine noto che porteremo a secondo membro. Indicando con f(x,y) l'espressione a primo membro abbiamo quattro possibilità, a seconda della forma con cui si presenta la disequazione:

 

(3a) f(x,y)\textless a, con a\in \mathbb {R}, \  a\textgreater 0: prenderemo la parte interna.

 

(3b) f(x,y)\textless a, con a\in \mathbb {R}, \  a\textless 0: prenderemo la parte esterna.

 

(3c) f(x,y)\textgreater a, con a\in \mathbb {R},  \ a\textgreater 0: prenderemo la parte esterna.

 

(3d) f(x,y)\textgreater a, con a\in \mathbb {R},  \ a\textless 0: prenderemo la parte interna.


Esempio


(D) Rappresentiamo le soluzioni della disequazione: xy \leq -2, e per farlo procediamo seguendo la scaletta appena vista.

 

Scriviamo l'equazione associata: xy = -2. Essa individua un'iperbole equilatera, che disegnamo con una linea continua, poiché nel simbolo di disuguaglianza è incluso l'uguale. Osserviamo poi che ci troviamo nel caso (3b), perché la disequazione è del tipo \overbrace{xy}^{f(x,y)} \leq \overbrace {-2}^{a\textless 0}.

 

L'insieme delle soluzioni è dato dalla parte esterna all'iperbole

 

Soluzioni di una disequazione con un'iperbole

 

Quarto caso: sistemi di disequazioni

 

Ultimo che vedremo, ma non meno importante e al contrario il più frequente nella risoluzione degli esercizi: vediamo come rappresentare le soluzioni di un sistema di disequazioni. Pensate ad esempio alla rappresentazione del dominio di una funzione di due variabili o ad un esercizio su massimi e minimi vincolati.

 

In questo caso rappresenteremo singolarmente gli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni che formano il sistema, e ne prenderemo l'intersezione.

 

Esempio

 

(E) Rappresentare nel piano le soluzioni del sistema di disequazioni:

 

\left\{\begin{matrix}y\leq |x| \\ y\geq x^3 \\ -1\leq x\leq 0 \end{matrix}

 

Per prima cosa rappresentiamo singolarmente le soluzioni di ciascuna delle tre disequazioni

 

y\leq |x| -> le soluzioni sono date dalla regione piana che si trova al di sotto del grafico di y=|x|;

 

y\geq x^3 -> regione al di sopra della curva di equazione y=x^3;

 

-1\leq x \leq 0 -> striscia di piano compresa tra le rette verticali x=-1 e x=0.

 

La rappresentazione grafica delle soluzioni del sistema di disequazioni è data dalla parte di piano in cui sono presenti tutte e tre le linee" (in blu)


Soluzioni di un sistema di disequazioni nel piano

 


 

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